Odwzorowanie struktury budynku na graf, co to jest wierzchołek, łuk grafu, macierz incydencji.

Każdą strukturę budynku, a dokładnie przestrzeń każdego pomieszczenia można odwzorować przy pomocy punktów, które tworzą graf.

Graf jest więc formalnym zapisem struktury budynku. Posiada on wierzchołki, które są odwzorowaniem przestrzeni wewnętrznych pomieszczeń, płaszczyzny przekroju gruntu na pewnej głębokości oraz przestrzeni otaczającej budynek. Wierzchołki grafu połączone są między sobą łukami grafu. Łuki te odwzorowują drogi przepływu ciepła między poszczególnymi wierzchołkami.

Graf przepływu, którego wierzchołkom i łukom przypisano zbiory stałych i zmiennych wartości oraz określonych na tych zbiorach funkcje nazywa się siecią przepływu ciepła. Natomiast graf przenikania, którego wierzchołkom i łukom przypisano zmienne i stałe wartości fizyczne oraz opisane na tych zbiorach funkcje nazywa się siecią przenikania ciepła. Funkcje opisane na ww zbiorach określają gęstość strumienia ciepła np. q_i=k_i⋅f_i⋅Δt_i . Do stałych i zmiennych wartości należą natomiast: pole powierzchni wymiany ciepła, współczynniki przenikania ciepła, strumień ciepła.

Numeryczną reprezentacją grafu jest macierz incydencji. W macierzy takiej wszystkie wiersze przypisane są wierzchołkom grafu, a wszystkie kolumny - łukom.

A=[a_i,j], gdzie i=1,2,...,m −liczba wierzchołków

j=1,2,...,n − liczba łuków.

W każdej komórce tej macierzy powinna być wpisana liczba:

1 − jeżeli i-ty wierzchołek jest

początkiem j-tego łuku,

0 − jeżeli i-ty łuk nie jest incydentny z

i-tym wierzchołkiem,

-1 − jeżeli i-ty wierzchołek jest końcem

j-tego łuku.

Np. :

Zadanie obliczania temp. w pomieszcz. Nieogrzewanych, wzór na wektory temperatury.

Przystępując do obliczenia temperatury w pomieszczeniach nieogrzewanych należy najpierw narysować graf przenikania ciepła, a następnie odpowiadającą mu macierz incydencji A. Potem trzeba podzielić ją na dwie części: tę której odpowiadają temperatury niewiadome − A_n oraz wiadome ­− A_d.

Wiemy, że A_n⋅q=q₀ , gdzie q - wektor strumienia, którego elementami są wartości strumienia; q₀ - wektor, którego elementami są zyski strumienia: q₀=q_q+q_d−q_inf (q_d - q dodatkowe, q_inf -q infiltracji).

Ale również: q=F⋅K⋅Δt, gdzie F - macierz diagonalna z wartościami pola powierzchni; K - macierz diagonalna, której wszystkie wartości są równe 0 oprócz przekątnych, bo ich wartości są równe współczynnikom przenikania ciepła.

Ponadto Δt=A^T⋅t, gdzie:

Czyli:

Rozwiązując dalej otrzymujemy:

M- macierz.

Ostatecznie można wyprowadzić wzór na wektory temperatury:

gdzie:

jest to macierz symetryczna.

p1

p2

p3

p4

p5

p0

p5

p4

p3

p0

p2

p1

u6

u5

u2

u7

u9

u4

u8

u1

u3

w3

w1

w2

w5

w4

w5

w2

w3

w1

w4

u2, u7, u4

u5, u8

u6

u1

u3

u9

u6

u5

u2

u7

u9

u4

u8

u1

u3

w3

w1

w2

w5

w4

w5

w2

w3

w1

w4

u2, u7, u4

u5, u8

u6

u1

u3

u9

A_n⋅q=q₀

---