Materiały do ekonometrii część I

(ekonometryczny model liniowy)

Opracowanie: dr inż. Mirosława Szewczyk

Literatura

W trosce o własne dobro sugeruję NIE KUPOWAĆ, natomiast nie wątpię, iż Student, który będzie chciał poszerzyć swoją wiedzę z ekonometrii, pobiegnie z chęcią do biblioteki lub czytelni karta opisu przedmiotu

Podstawowe pojęcia:

Ekonometria - w szerszym znaczeniu: metody matematyczne i statystyczne stosowane do badania zjawisk ekonomicznych; klasycznie: nauka zajmująca się ustalaniem za pomocą metod ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu gospodarczym

Zmienna objaśniana - zjawisko wyjaśniane przez model (zwykle oznaczana Y)

Zmienne objaśniające - zjawiska ekonomiczne, które oddziałują na zmienną objaśnianą (zwykle oznaczane X₁, X₂, ...)

Cele badań ekonometrycznych:

• cel poznawczy - wyjaśnienie mechanizmu kształtowania się zjawisk ekonomicznych, tj. sformułowanie konkretnych zależności wynikających z analiz empirycznych, zmierzających do potwierdzenia lub odrzucenia teoretycznie opisywanych praw i hipotez ekonomicznych

• cel predyktywny - przewidywanie dalszego (czasowo) przebiegu zjawisk ekonomicznych (budowa prognoz gospodarczych)

• cel decyzyjny - sterowanie przebiegiem zjawisk ekonomicznych (oddziaływanie na wybrane zjawiska w kierunku pożądanym przez decydenta)

• cel predyktywno-decyzyjny - projektowanie możliwych scenariuszy rozwoju badanego zjawiska, poprzez symulację zachowań zmiennych i modelu.

Etapy modelowania:

1. Określenie celu badań

2. Dobór zmiennych objaśniających do modelu

3. Wybór postaci analitycznej modelu

4. Szacowanie parametrów strukturalnych modelu

5. Weryfikacja modelu

6. Wykorzystanie modelu do analizy lub/i prognozy

Opisowy model ekonometryczny - równanie lub układ równań, który w sposób przybliżony przedstawia powiązania ilościowe występujące między rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi. Opisowy model ekonometryczny przedstawiający zależność zmiennej Y od zmiennych X₁, X₂, ...X_k można zapisać w ogólnej postaci następująco: Y=f(X₁, X₂, ... X_k, ε), gdzie ε - tzw. składnik losowy.

Jeżeli zależność zmiennej objaśnianej Y od zmiennych objaśniających X₁, X₂, ...X_k ma charakter liniowy, to mamy do czynienia z modelem postaci:

Y=α₀+ α ₁X₁+ α ₂X₂+...+ α _kX_k+ ε

gdzie α ₀, α ₁, α ₂,..., α _k - parametry strukturalne.

Po oszacowaniu parametrów strukturalnych otrzymujemy równanie

gdzie         - wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej,

a₀, a₁, ..., a_k - oceny parametrów strukturalnych.

1. Określenie celu badań

2. Dobór zmiennych objaśniających do modelu

Z formalnego punktu widzenia zmienne objaśniające w liniowym modelu ekonometrycznym powinny się odznaczać następującymi własnościami:

• mieć odpowiednio wysoką zmienność

• być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą

• być słabo skorelowane między sobą

• być silnie skorelowane z innymi zmiennymi nie pełniącymi roli zmiennych objaśniających (zmienne objaśniające powinny być dobrymi reprezentantkami zmiennych, które nie weszły do modelu).

Schemat postępowania:

• Na podstawie wiedzy merytorycznej sporządza się zestaw tzw. potencjalnych zmiennych objaśniających X₁, X₂, ...X_k.

• Następnie zbiera się dane statystyczne będące realizacjami zmiennej objaśnianej i potencjalnych zmiennych objaśniających. Otrzymuje się w ten sposób wektor y obserwacji zmiennej Y oraz macierz X obserwacji zmiennych X₁, X₂, ...X_k postaci:

• 
  Eliminuje się potencjalne zmienne objaśniające odznaczające się zbyt niskim poziomem zmienności

v_i - współczynnik zmienności wyznaczony dla zmiennej objaśniającej X_i, s_i - odchylenie standardowe wyznaczone dla zmiennej objaśniającej X_i,
- średnia arytmetyczna wyznaczona dla zmiennej objaśniającej zmiennej objaśniającej X_i.

v* - wartość krytyczna współczynnika zmienności (najczęściej przyjmuje się v*=0,05 lub v*=0,1 lub v*=0,15)

Jeżeli v_i ≤ v*, to zmienna objaśniająca X_i jest quasi-stała (charakteryzuje się zbyt niską zmiennością) i powinna zostać wyeliminowana z modelu. Jeżeli v_i > v*, to zmienna objaśniająca X_i charakteryzuje się odpowiednio wysoką zmiennością i może pozostać w modelu.

Przykład

Dokonaj wyboru spośród kandydatek X₁, X₂, X₃ zmiennych objaśniających charakteryzujących się odpowiednio wysoką zmiennością, jeśli v*=0,15.

Y	X1	X2	X3
10	5	6	118
12	6	6	120
8	4	6	116

• Oblicza się współczynniki korelacji między wszystkimi rozpatrywanymi zmiennymi (R₀ - wektor współczynników korelacji, R - macierz współczynników korelacji).

Własności macierzy współczynników korelacji:

1. r_ii=1

2. r_ij= r_ji

• Przeprowadza się redukcję zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających za pomocą wybranej procedury statystycznej (metoda grafowa, metoda optymalnego doboru predykant).

Metoda grafowa

Idea: spośród kandydatek na zmienne objaśniające należy wybrać takie zmienne, które byłyby silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabo skorelowane z innymi zmiennymi objaśniającymi.

Podstawą wyboru są macierz i wektor współczynników korelacji. Na bazie współczynników korelacji zawartych w macierzy współczynników korelacji wyznaczamy wartość krytyczną r* (r*=min max |r_ij|). Następnie wyznaczamy tzw. macierz przyległości grafu, w której współczynniki korelacji r_ij spełniające nierówność |r_ij| ≤ r* zastępowane są liczbą 0, natomiast współczynniki r_ij spełniające |r_ij| > r* zastępowane są liczbą 1. Na podstawie macierzy przyległości grafu budowany jest graf, w którym węzłami są kandydatki na zmienne objaśniające, a wiązadłami łączy się węzły wskazane przez współczynniki korelacji równe 1.

Jako zmienne objaśniające do modelu wejdą:

• wszystkie zmienne odosobnione,

• z każdego podgrafu spójnego dokładnie jedna reprezentantka. Będzie nią kandydatka o największej liczbie wiązadeł, a jeśli jest kilka kandydatek o takiej samej liczbie wiązadeł, to do modelu wejdzie ta z nich (czyli tych o największej liczbie wiązadeł), która jest najsilniej skorelowana ze zmienna objaśnianą.

Przykład

Dokonaj wyboru zmiennych objaśniających do modelu spośród kandydatek X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, jeśli dane są macierz i wektor współczynników korelacji:

Metoda optymalnego doboru predykant

Idea: spośród kandydatek na zmienne objaśniające należy wybrać takie zmienne, które byłyby silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabo skorelowane z innymi zmiennymi objaśniającymi.

Podstawą wyboru są macierz i wektor współczynników korelacji. Rozpatruje się wszystkie kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających, których ogólna liczba wynosi K=2^m-1.

Dla każdej kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających oblicza się wskaźniki indywidualne i integralne pojemności informacyjnej.
Indywidualne wskaźniki pojemności informacyjnej zmiennych w ramach rozpatrywanej kombinacji są zdefiniowane następująco:

gdzie k - numer kombinacji, j - numer zmiennej w kombinacji.

Integralne wskaźniki pojemności informacyjnej zmiennych w ramach rozpatrywanej kombinacji są zdefiniowane następująco:

Jako zmienne objaśniające wybiera się kandydatki z kombinacji o największej pojemności integralnej.

Przykład

Biuro podróży „Latawica” przeprowadziło badania ankietowe dotyczące współzależności pomiędzy rocznymi wydatkami rodzin na agroturystykę (Y) a przeciętnym dochodem (X₁), przeciętną ceną dziennego pobytu w gospodarstwie agroturystycznym (X₂) oraz liczbą dzieci w rodzinie (X₃).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Wybór postaci analitycznej modelu

• Metoda oceny wzrokowej rozrzutu punktów polega na przedstawieniu na wykresie korelacyjnym rozrzutu punktów empirycznych i przypisaniu badanej zależności funkcji, której przebieg zmienności jest najbardziej zbliżony do uzyskanej smugi punktów. Warunkiem stosowania tej metody jest występowanie tylko jednej zmiennej objaśniającej.

• Metoda aprioryczna polega na doborze postaci analitycznej modelu na podstawie informacji pozastatystycznych, dotyczących związku łączącego zmienną objaśnianą ze zmiennymi objaśniającymi. Źródłami informacji mogą być: teoria ekonomii i ekonomik branżowych, opinie ekspertów, tradycje i doświadczenia badawcze.

• Metoda heurystyczna polega na zastosowaniu modeli o różnych postaciach analitycznych i wyborze jednego z nich na podstawie wyróżnionego kryterium dobroci dopasowania modelu do rzeczywistości.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Szacowanie parametrów strukturalnych modelu

Najpowszechniej stosowaną w praktyce metodą estymacji parametrów jest klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK). KMNK służy do estymacji parametrów strukturalnych modeli liniowych i sprowadzalnych do liniowych.

Idea KMNK: należy ustalić takie wartości ocen parametrów strukturalnych a₀, a₁, ..., a_k dla których suma kwadratów odchyleń wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych jest najmniejsza

Rys. Idea szacowania parametrów prostej regresji.

Źródło: opracowanie własne.

Ogólna postać modelu liniowego: Y=α₀+α₁X₁+α₂X₂+...+α_kX_k+ɛ

Model po oszacowaniu:

Reszta modelu:

Założenia KMNK:

• Model jest niezmienniczy ze względu na obserwacje. Zakłada się stabilność relacji wystepujących między badanymi zmiennymi.

• Model jest liniowy.

• Zmienne objaśniające są nielosowe.

• Zmienne objaśniające są liniowo niezależne. Żadna ze zmiennych nie może stanowić kombinacji liniowych pozostałych.

• Liczba obserwacji n musi być większa od liczby szacowanych parametrów strukturalnych.

• Składnik losowy ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej zero i stałej skończonej wariancji.

• Nie występuje autokorelacja składników losowych, czyli składniki losowe pochodzące z różnych okresów nie są wzajemnie zależne.

• Składnik losowy nie jest skorelowany z żadną ze zmiennych objaśniających.

Szacowany model: Y=α₀+α₁X₁+α₂X₂+...+α_kX_k+ɛ

a=(X^TX)^-1X^TY wektor ocen parametrów strukturalnych

wariancja odchyleń losowych

(n - liczba obserwacji, m - liczba szacowanych parametrów)

S_e odchylenie standardowe reszt; informuje o ile średnio rzecz biorąc zaobserwowane wartości zmiennej objaśnianej odchylają się od wartości wyznaczonych na podstawie oszacowanego modelu

macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych

standardowy błąd szacunku parametru strukturalnego α_i; informuje o ile średnio rzecz biorąc pomylilibyśmy się szacując wielokrotnie parametr α_i na podstawie różnych n-elementowych prób wylosowanych z tej samej populacji

Przykład

			Y		X1	X2
			10		2	1
			12		1	1
			13		2	2
			15		1	3
			20		4	3
Model, którego parametry szacujemy ma postać:
Y=0+1X1+2X2+ɛ
		10				1	2	1
		12				1	1	1
y=		13			X=	1	2	2
		15				1	1	3
		20				1	4	3
		1		1	1	1	1
X^T=		2		1	2	1	4
		1		1	2	3	3
		5		10	10
X^TX=		10		26	22
		10		22	24
		1,4		-0,2	-0,4
(X^TX)^-1=		-0,2		0,2	-0,1
		-0,4		-0,1	0,3
		0,60		0,80	0,20	0,00	-0,60
(X^TX)^-1X^T=		0,10		-0,10	0,00	-0,30	0,30
		-0,30		-0,20	0,00	0,40	0,10
				6,2	a0
		a=(X^TX)^-1X^Ty=		1,3	a1
				2,6	a2
Model po oszacowaniu parametrów strukturalnych:
= 6,2+1,3X1+2,6X2

Wektor teoretycznych wartości zmiennej objaśnianej:
	11,4
	10,1
y^=Xa=	14,0
	15,3
	19,2
	Wektor reszt:
	-1,40
	1,90
e=	-1,00
	-0,30
	0,80
e^T=	-1,4	1,9	-1,0	-0,3	0,8
Y	X1	X2	Y^	e	e^2
10	2	1	11,4	-1,40	1,96
12	1	1	10,1	1,90	3,61
13	2	2	14	-1,00	1,00
15	1	3	15,3	-0,30	0,09
20	4	3	19,2	0,80	0,64
				S=	7,30
				lub	e^Te=	7,3
Se^2=	3,65
Se=	1,91
		5,11	-0,73	-1,46
D^2(a)=	Se^2(X^TX)^-1=	-0,73	0,73	-0,37
		-1,46	-0,365	1,095
Standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych wynoszą:
S(a0)=	2,26	S(a1)=	0,85	S(a2)=	1,05
Wyniki szacowania modelu można zapisać następująco:
=6,2 + 1,3X1 + 2,6X2
(2,26) (0,85) (1,05)

Interpretacja oceny a_i parametru strukturalnego α_i (i=1, 2, ..., k) występującego przy zmiennej X_i jest następująca:

• ocena parametru strukturalnego a_i wskazuje, o ile przeciętnie zmieni się wartość zmiennej objaśnianej Y, jeżeli przy niezmienionych wartościach innych zmiennych objaśniających (ceteris paribus) wartość zmiennej X_i zmieni się o jednostkę,

• zasada ceteris paribus znajduje zastosowanie w interpretacji ocen parametrów strukturalnych modeli ekonometrycznych, ponieważ ocena parametru informuje o bezpośrednim efekcie jednostkowej zmiany zmiennej objaśniającej, pod warunkiem że pozostałe zmienne objaśniające są constans.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Weryfikacja modelu

1. Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych

2. Badanie jakości ocen parametrów strukturalnych

3. Badanie wybranych własności wektora reszt

5a) Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych

• współczynnik zmienności losowej W

• współczynnik determinacji R²

• współczynnik zbieżności φ²

Współczynnik zmienności losowej W informuje jaką część (jaki procent) średniej wartości zmiennej objaśnianej modelu stanowi odchylenie standardowe reszt

Współczynnik determinacji R² informuje jaka część zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez zmienne objaśniające modelu

Współczynnik zbieżności φ² informuje jaka część zmienności zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona przez zmienne objaśniające modelu

-----------------------------------

5b) Badanie jakości ocen parametrów strukturalnych

• badanie koincydencji

• badanie istotności parametrów strukturalnych

• badanie dopuszczalności

Ogólna postać modelu liniowego: Y=α₀+α₁X₁+α₂X₂+...+α_kX_k+ɛ

Model po oszacowaniu:

Badanie koincydencji

Znak oceny a_i powinien informować o kierunku oddziaływania zmiennej objaśniającej X_i na zmienną objaśnianą Y. Jeżeli wraz ze wzrostem wartości zmiennej objaśniającej X_i rosną wartości zmiennej objaśnianej Y, to ocena a_i powinna mieć znak „+”.Jeżeli wraz ze wzrostem wartości zmiennej objaśniającej X_i maleją wartości zmiennej objaśnianej Y, to ocena a_i powinna mieć znak „-”.

Oznacza to, że powinien być spełniony warunek

sgn a_i = sgn r_0i dla i=1, 2, ..., k

nazywany własnością koinydencji. Jeśli tak jest to ocena a_i jest sensowna ze względu na jej znak (model ma własność koincydencji).

Jeśli natomiast dla pewnego i

sgn a_i ≠ sgn r_0i

to ocena a_i nie jest sensowna ze względu na znak, a model nie posiada własności koincydencji. W takim przypadku zmienną X_i należy wyeliminować z modelu, a następnie oszacować parametry modelu ...

Badanie istotności parametrów strukturalnych

Badanie istotności parametrów strukturalnych α₀, α₁, α₂,..., α_k liniowego modelu ekonometrycznego ma na celu sprawdzenie czy zmienne objaśniające istotnie oddziałują na zmienną objaśnianą, czy też nie.

Dla każdego i=1, 2, ..., k weryfikuje się hipotezę zerową H₀: α_i=0 wobec hipotezy alternatywnej H_A: α_i≠0. Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:

gdzie a_i - ocena parametru strukturalnego; S(a_i) - standardowy błąd szacunku tego parametru.

Z tablic testu t-Studenta dla przyjętego poziomu istotności α (przyjąć α=0,05) oraz dla n-m stopni swobody (n - liczba obserwacji, m - liczba szacowanych parametrów strukturalnych) odczytuje się wartość krytyczną t*_(α, n-m).

Jeżeli t_i < t*_(α, n-m) to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀. Parametr strukturalny α_i nie różni się istotnie od zera, a zmienna objaśniająca X_i nie wpływa w istotny sposób na zmienną objaśnianą Y. Zmienną Xi należy wyeliminować z modelu.

Natomiast jeżeli t_i ≥t*_(α, n-m) to hipotezę H₀ należy odrzucić na rzecz hipotezy alternatywnej (parametr strukturalny α_i różni się w sposób istotny od zera, a zmienna objaśniająca X_i wpływa w istotny sposób na zmienną objaśnianą Y).

Badanie dopuszczalności

Badanie dopuszczalności polega na merytorycznym sprawdzeniu sensowności ocen parametrów strukturalnych modelu.

----------------------------------------------------------

5c) Badanie wybranych własności wektora reszt (symetria, losowość, autokorelacja, normalność, stacjonarność)

Przykład. Wyznaczyć wartości teoretyczne oraz reszty modelu
=6,2 + 1,3X₁ + 2,6X₂

Y	X1	X2		ei
10	2	1	11,4	-1,40
12	1	1	10,1	1,90
13	2	2	14,0	-1.00
15	1	3	15,3	-0.30
20	4	3	19,2	0.80

Symetria

Rozkład normalny jest symetryczny, a więc w wektorze reszt prawdopodobieństwo występowania reszt dodatnich i ujemnych jest jednakowe. Weryfikujemy hipotezę zerową:

H₀: P(e_t>0)=P(e_t<0)

wobec hipotezy alternatywnej

H_a: P(e_t>0)≠P(e_t<0).

Statystyką testową jest:

gdzie n - liczba obserwacji, k - liczba reszt dodatnich.

Z tablic testu t-Studenta odczytujemy wartość krytyczną t*_{(α, n-1)}, gdzie α - poziom istotności (przyjąć α=0,05), n-1 - liczba stopni swobody.

Jeżeli t< t*_{(α, n-1)}, to brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, mówiącej o symetrii reszt modelu.

Jeżeli t≥ t*_{(α, n-1)}, to hipotezę H₀ odrzucamy na rzecz H_a. Reszty modelu nie są symetryczne.

Losowość

Rozważamy ciąg reszt. Rozróżniamy w nim dwa rodzaje elementów: reszty dodatnie i reszty ujemne. Reszty równe zero pomijamy. Jeżeli dane statystyczne stanowią szeregi czasowe, to reszty porządkujemy według numerów okresów obserwacji. Obliczamy liczbę serii k. Serią nazywamy każdy podciąg złożony z elementów o jednakowych znakach. Testujemy hipotezę:

H₀: reszty są losowe

wobec hipotezy alternatywnej

H_a: reszty nie są losowe.

Z tablic serii dla n_a (liczby reszt dodatnich) i n_b (liczby reszt ujemnych) oraz dla zadanego poziomu istotności α odczytujemy wartości krytyczne k₁*, k₂*.

Jeżeli k≤k₁* lub k≥k₂*, to hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej. Reszty modelu nie są losowe.

Jeżeli natomiast k₁*<k< k₂*, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości reszt modelu.

Badanie autokorelacji składnika losowego

Autokorelacja oznacza liniową zależność między składnikiem losowym z różnych okresów. Między składnikiem losowym z okresu t oraz z okresu t-τ występuje autokorelacja, gdy istnieją między nimi współczynniki korelacji istotnie różniące się od zera.

H₀:

H_a:

Autokorelacja między ρ_t i ρ_t-1:

H₀:

H_a:

Test Durbina-Watsona (α-poziom istotności, n-liczba obserwacji, k-liczba zmiennych objaśniających modelu)

Z tablic odczytujemy wartości d_l, d_n

Statystyka testowa:

Gdy d<2 podejrzewamy występowanie autokorelacji dodatniej i H_a:

Gdy d>2 podejrzewamy występowanie autokorelacji ujemnej, d'=4-d i H_a:

Autokorelacja dodatnia	d≥dn d≤dl dl<d<dn	Brak podstaw do odrzucenia H0, między ɛt i ɛt-1 nie występuje autokorelacja H0 odrzucamy na rzecz Ha, między ɛt i ɛt-1 występuje autokorelacja dodatnia Nie można podjąć żadnej decyzji
Autokorelacja ujemna	d'≥dn d'≤dl dl<d'<dn	Brak podstaw do odrzucenia H0, między ɛt i ɛt-1 nie występuje autokorelacja H0 odrzucamy na rzecz Ha, między ɛt i ɛt-1 występuje autokorelacja ujemna Nie można podjąć żadnej decyzji

Badanie normalności

Przyjmujemy, że reszty modelu ekonometrycznego są empiryczną realizacją składnika losowego. Testujemy hipotezę

H₀: składnik losowy modelu ma rozkład normalny

przy hipotezie alternatywnej

H₁: składnik losowy modelu nie ma rozkładu normalnego

Test Hellwiga

• Standaryzacja reszt według wzoru:

• Zestandaryzowane reszty porzadkuje się wg wartości niemalejących u₍₁₎< u₍₂₎<...< u_(n).

• Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego odczytuje się wartość dystrybuanty Φ(u_(t))=P(u< u_(t)).

• Wyznacza się tzw. cele, którymi są przedziały liczbowe o rozpiętości 1/n powstałe po podzieleniu odcinka [0, 1] na n równych części.

• Wartości dystrybuanty Φ(u_(t)) przyporządkowuje się odpowiednim celom i określa się liczbę pustych cel (K).

• Z tablic testu zgodności Hellwiga dla danej liczby obserwacji n oraz dla przyjętego poziomu istotności odczytuje się wartość krytyczną K*.

• Jeśli K<K*, to nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

• Jeśli K≥K*, to hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego odrzucamy na rzecz H_a.

Badanie stacjonarności

Ma na celu sprawdzenie, czy reszty są nieskorelowane z czasem. Jeśli składnik losowy jest nieskorelowany z czasem to jest stacjonarny, czyli wariancja składnika losowego jest stała. Jeśli składnik losowy jest skorelowany z czasem to jest nie stacjonarny, czyli wariancja składnika losowego nie jest stała.

H₀:

H_a:

Sprawdzianem jest statystyka

• 
  współczynnik korelacji między resztami a czasem

Statystyka ma rozkład t-Studenta o n-2 swobody. Z tablic odczytujemy wartość krytyczną t*_(α,n-2), gdzie α-poziom istotności.

< t*_(α,n-2) nie ma podstaw do odrzucenia H₀, mówiącej o tym, że składnik losowy jest stacjonarny

≥ t*_(α,n-2) H₀ odrzucamy na korzyść H_a. Składnik losowy nie jest stacjonarny

Przykład - na cały semestr

Za górami, za lasami żył sobie Szewczyk Dratewka. Po powstaniu sieci supermarketów (sprzedających m. in. tanie obuwie) oraz po zabiciu ostatniego złego smoka-ludożercy Szewczyk Dratewka stracił pracę w  zawodach wyuczonych (szewstwo, morderstwa na zlecenie). Został tym samym zmuszony do ponownego przekwalifikowania się. Ponieważ żona Szewczyka była właścicielką sklepu mięsnego „Udko” na nowym osiedlu Smok-4, Szewczyk również zajął się sprzedażą mięsa. Państwo Szewczyk żyli szczęśliwie, gdyż jeszcze przed ślubem ustalili, że o wszystkich mało istotnych sprawach decyduje pani Szewczyk, a w kwestiach ważnych - pan Szewczyk. Dotychczas spraw istotnych nie było Ale teraz pojawił się problem. Pani Szewczyk zapragnęła odwiedzić mamusię i tatusia (żyjących za siedmioma lasami i siedmioma górami). Oznacza to wyjazd pani Szewczyk na 3 miesiące. Pan Szewczyk zostaje w domu (nie cierpi teściów). Żona zostawiła mu wytyczne odnośnie wielkości zamówień na wołowinę w maju i czerwcu, ale w lipcu Szewczyk musi sobie poradzić sam. Powinien w związku z tym dokonać analizy dotychczasowej sprzedaży mięsa wołowego w sklepie „Udko”, zbudować ekonometryczny model liniowy (Y - sprzedaż wołowiny w tonach), a następnie wyznaczyć prognozę w oparciu o istniejące dane. Pani Szewczyk powiesiła na drzwiach lodówki kartkę z następującymi punktami:

a) Przy założonej wartości krytycznej współczynnika zmienności v*=0,05 sprawdź, czy potencjalne zmienne objaśniające X₁, X₂, X₃, X₄, X₅ odznaczają się odpowiednio wysoką zmiennością. Wyeliminuj zmienne quasi-stałe.

b) Wyznacz wektor współczynników korelacji oraz macierz współczynników korelacji .

3. Stosując metodę grafową dokonaj wyboru zmiennych objaśniających do modelu liniowego.

4. Oszacuj parametry strukturalne modelu (do budowy modelu wykorzystaj tylko zmienne objaśniające dobrane w punkcie c). Zapisz model po oszacowaniu parametrów strukturalnych z uwzględnieniem standardowych błędów ocen.

Uwagi do weryfikacji modelu: podczas weryfikacji ustosunkujemy się do badanej własności i bez względu na wyniki przejdziemy do badania kolejnej własności naszego modelu (czyli cały czas weryfikujemy model z punktu d)

5. Podaj interpretacje ocen parametrów strukturalnych. Czy spełniony jest warunek dopuszczalności?

6. Wyznacz wartości następujących współczynników: zmienności losowej, determinacji, zbieżności; podaj ich interpretacje. Przy założonych wartościach krytycznych W*=0,1 oraz R²*=0,7 oceń dopasowanie modelu do danych empirycznych.

7. Oceń istotność parametrów strukturalnych,

8. Czy model ma własność koincydencji?

9. Wyznacz wektor reszt.

10. Przeprowadź badanie własności wektora reszt (symetria, losowość, autokorelacja, normalność, stacjonarność).

11. Jakiej miesięcznej sprzedaży wołowiny należy się spodziewać w lipcu przy cenie wołowiny 22 zieleńce oraz cenie wieprzowiny 12 zieleńców?

Y - sprzedaż wołowiny w sklepie "Udko" w tonach
X1 - cena 1 kg wołowiny w zieleńcach
X2 - cena 1 kg wieprzowiny w zieleńcach
X3 - cena 1 kg kurczaka w zieleńcach
X4 - cena 1 kg gęsiny w zieleńcach
X5 - cena 1 kg pstrąga w zieleńcach
Lp.	Miesiące	Y	X1	X2	X3	X4	X5
1	cze-11	31,2	23,4	12,0	5,9	17,2	20,1
2	lip-11	30,2	23,0	12,6	5,8	17,3	20,0
3	sie-11	30,0	22,9	13,0	5,7	17,5	21,5
4	wrz-11	30,1	21,3	12,5	5,3	17,4	20,5
5	paź-11	33,0	21,6	12,0	5,4	17,3	20,5
6	lis-11	32,0	21,3	11,0	5,3	17,2	20,0
7	gru-11	35,5	20,0	10,0	5,0	17,1	19,0
8	sty-12	36,1	19,9	10,0	5,0	17,0	19,0
9	lut-12	33,8	20,3	10,5	5,1	17,1	19,0
10	mar-12	28,0	21,5	11,0	5,4	17,2	19,5
11	kwi-12	29,6	21,7	12,0	5,4	17,2	19,5
12	maj-12	30,3	22,0	12,5	5,5	17,3	20,5
13	cze-12	31,2	22,5	12,5	5,6	17,3	21,0
14	lip-12	30,0	22,8	13,0	5,7	17,3	22,0
15	sie-12	29,0	23,4	13,5	5,9	17,3	22,0
16	wrz-12	30,1	22,5	13,0	5,6	17,3	21,5
17	paź-12	33,5	22,0	13,5	5,5	17,4	21,0
18	lis-12	36,2	19,5	12,0	5,0	17,0	20,0
19	gru-12	36,8	19,0	11,0	4,8	17,0	20,0
20	sty-13	37,0	19,0	11,0	5,0	16,9	20,0
21	lut-13	33,8	20,3	11,5	5,3	16,8	20,0

Zieleniec - jednostka pieniężna w kraju „za górami, za lasami”, w którym żyje Szewczyk Dratewka.

1

Y

X

ŷ= a_yx+ b_y

x_i

y_i

ŷ_i

---