4. Fale stojące. Rezonans akustyczny. Przykłady.

Fala stojąca — fala, której pozycja w przestrzeni pozostaje niezmienna. Fala stojąca może zostać wytworzona w ośrodku poruszającym się względem obserwatora lub w przypadku interferencji dwóch fal poruszających się w takim samym kierunku, ale mających przeciwne zwroty.

Fala stojąca to w istocie drgania ośrodka nazywane też drganiami normalnymi. Idealna fala stojąca nie jest więc falą - drgania się nie propagują. Miejsca gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywane są strzałkami, zaś te, w których amplituda jest zawsze zerowa węzłami fali stojącej.

Równanie

Równanie fali stojącej będącej sumą dwu fal biegnących w przeciwnych kierunkach

gdzie:

- wartość bezwzględna z B(x) jest amplitudą drgań w miejscu x.

Amplituda drgań osiąga największe wartości (równe 2A) dla położeń x spełniających warunek

gdzie n = 0,1,2... W tych miejscach ośrodek drga najsilniej (powstają strzałki). Położenie węzłów można znaleźć z równania

Struna zamocowana na dwóch końcach

Fala wzbudzona na obustronnie zamocowanej strunie powstaje na skutek nakładania się (interferencji) fali biegnącej w kierunku zamocowania z falą odbitą. Z oczywistych względów na umocowanych końcach powstają węzły fali.

Zastosowanie wyprowadzonych równań do opisu fali stojącej w takiej strunie wymaga nałożenia na te równania warunków brzegowych (powstawanie węzłów na końcach). Z warunku, że dla x = 0 powstaje pierwszy (n = 0) węzeł wynika, że

Z warunku, że dla x = L (gdzie L jest długością struny) powstaje również węzeł wynika

gdzie m = n + 1 (może to być drugi lub kolejny węzeł).

Warunki te oznaczają, że w strunie mogą istnieć tylko drgania o określonej liczbie falowej (k), warunkom tym odpowiada, że równanie fali może być opisane wzorem:

Długość takiej fali określona jest wzorem:

Prędkość rozchodzenia się fali (prędkość fazowa) v jest równa:

skąd wynika, że

gdzie

Z wzoru tego wynika, że jeżeli prędkość fali w strunie nie zależy od długości fali, to w strunie mogą powstawać drgania o częstotliwości równej wielokrotności drgań częstotliwości podstawowej.

Każde drganie struny można zapisać jako sumę drgań składowych w postaci

Drganie o najmniejszej częstotliwości ω₀ nazywa się drganiem podstawowym, drgania o kolejnych częstotliwościach - wyższymi składowymi harmonicznymi.

Struna zamocowana w jednym końcu

Gdy fala dochodzi do swobodnego końca struny, też odbija się. Na niezamocowany koniec struny nie działa siła, dlatego ten koniec struny musi być równoległy do osi struny niedrgającej. Oznacza to, że na swobodnym końcu powstaje strzałka fali stojącej.

Długość takiej fali określona jest w tej sytuacji wzorem:

i

.

Wartości jakie może przybierać częstość w strunie zamocowanej tylko z jednego końca (
) są nieparzystymi wielokrotnościami częstości podstawowej.

Zjawisko odbicia sygnału od swobodnego (otwartego) lub zwartego końca linii przesyłowej powoduje powstawanie w niej fali stojącej, które utrudnia przesyłanie sygnałów w liniach transmisyjnych, a zapobiega się mu poprzez instalowanie na końcach linii urządzeń zapobiegających odbiciom (terminator).

Zastosowanie

Zjawisko powstawania fali stojącej wykorzystywana jest w urządzeniach wytwarzających drgania, w celu wzmacniania fal o określonej częstotliwości (wnęka rezonansowa, pudło rezonansowe) w instrumentach muzycznych (piszczałki w organach), technice fal radiowych i mikrofalowych.

Fala stojąca powstaje też poprzez odbijanie się sygnału przesyłanego w linii przesyłowej i stanowi zjawisko utrudniające przesyłanie sygnałów, dla linii takich określa się `'współczynnik fali stojącej'' określający stosunek amplitudy fali stojącej powstającej w linii przesyłowej do amplitudy fali przesyłanej.

Powstaje też w rezonatorze lasera, gdzie fala odbija się od zwierciadła na końcu rezonatora i interferuje z falą padającą tworząc falę stojącą.

Rezonans akustyczny - zjawisko rezonansu zachodzące dla fal dźwiękowych, polegające na pobieraniu energii fal akustycznych przez układ akustyczny ze źródła drgań o częstotliwościach równych lub zbliżonych do częstotliwości drgań własnych układu. W wyniku czego dochodzi do generowania, wzmacniania lub filtrowania drgań o tych częstotliwościach.

Występowanie rezonansu jest istotnym zjawiskiem dla funkcjonowania akustycznych instrumentów muzycznych umożliwia generowanie wybranego tonu, np. przez flet, trąbkę. Pudła rezonansowe akustycznych instrumentów strunowych wzmacniają głos generowany przez strunę i nadają ton instrumentowi.

Rezonans struny

Kolejne drgania harmoniczne struny

Napięte struny mają częstotliwości rezonansowe bezpośrednio związane z masą, długością i napięciem. Co wykorzystano w licznych instrumentach strunowych takich jak: lutnie, harfy, gitary, pianina, skrzypce i wiele innych. Fala, która tworzy pierwszy (podstawowy) rezonans w strunie jest równa podwójnej długości struny. Wyższe rezonanse odpowiadają długości fal, które są całkowitą wielokrotnością podstawowej długości fali. Powstająca w strunie fala porusza się z prędkością v, w związku z tym w strunie powstają tylko drgania o częstotliwościach:

Prędkość fali w strunie zależy od siły naciągu T oraz masy na jednostkę długości ρ:

Z powyższych wzorów wynika:

gdzie:

L - długość struny,

n = 1, 2, 3...,

v - prędkość fali w strunie,

T - naciąg,

ρ - masa na jednostkę długości struny.

Z powyższego wynika, że struna generuje dźwięk o danej częstotliwości i jej składowe harmoniczne. Częstotliwość dźwięku generowanego przez strunę zależy od długości struny i jej napięcia, skrócenie struny lub zwiększenie jej napięcia zwiększa częstotliwości rezonansowe. Zmiana naprężenia struny jest stosowana głównie do strojenia instrumentów. W niektórych instrumentach takich jak gitara przez zmianę długości części swobodnej struny zmienia się częstotliwość drgań struny.

Gdy struna jest pobudzona do drgań przez impuls zewnętrzny (szarpnięcie palcem, uderzenie młoteczkiem), wibruje na wszystkich częstotliwościach występujących w impulsie, lecz w wyniku rezonansu fal odbitych od końców strun bardzo szybko częstotliwości, które nie są jedną z częstotliwości rezonansowych są osłabiane i zanikają, co sprawia że słyszymy tylko jeden ton muzyczny. Proporcje między harmonicznymi zależą od sposobu pobudzenia struny i rezonansów między struną i innymi elementami akustycznymi.

Rezonans kolumn powietrza

Fala dźwiękowa poruszając się w powietrzu odbija się od ścianek naczynia i innych przeszkód. W wyniku odbić dochodzi do rezonansów. Częstotliwości rezonansu w rurce są uzależnione od długości rurki, jej kształtu, oraz czy jest zamknięty czy otwarty jej koniec. Muzycznie przydatne kształty są cylindryczne bądź stożkowe. Flety zachowuje się jak otwarta cylindryczna rura, klarnet i inne instrumenty blaszane zachowują się jak zamknięta cylindryczna rura, saksofon, obój i fagot jak zamknięte stożkowej rury. Wibracja kolumn powietrza ma rezonanse harmoniczne, podobnie jak struna.

Pierwsze trzy rezonanse w otwartej rurze. Wykres przedstawia ciśnienie.

Pierwsze trzy rezonanse w zamkniętej cylindrycznej rurze.

Komory rezonansowe, które mają sztywne ścianki, a ich poprzeczny wymiar jest pomijalny, dzieli się na

- otwarte na obu końcach, określane jako "otwarte",

- otwarte na jednym końcu i zamknięte sztywną powierzchnią na drugim końcu, określane jako "zamknięte".

Otwarte

Częstotliwości rezonansowe otwartych cylindrycznych rur są określone wzorem:

Dokładniejszy wzór uwzględniający zjawiska zachodzące przy końcu rury ma postać:

gdzie:

n - liczba naturalna (1, 2, 3...),

L - długość rury,

v - prędkość dźwięku w powietrzu (w przybliżeniu równa 344 metrów na sekundę w 20 °C),

d - średnica rury.

Równanie to uwzględnia fakt, że punkt, w którym fala dźwiękowa odbija się w otwartym końcu nie jest położony idealnie na końcu rurki, ale niewielkiej odległość poza nią. Zjawisko to wynika z tego że współczynnik odbicia fali na otwartym końcu rurki jest nieco mniejszy niż 1; otwarty koniec nie zachowuje się jakby miał nieskończoną impedancję akustyczną, lecz o skończonej wartości, która jest zależna od średnicy rury, długości fali jak i ewentualnie obecnych około otwartego końca rury ciał odbijających dźwięk.

Jednostronnie zamknięte

Częstotliwości rezonansowe zamkniętego cylindra wynikają z faktu, że w słupie powietrza mieści się nieparzysta liczba ćwiartek długości fali. Są one zatem określone przybliżonym wzorem:

gdzie "n" oznacza kolejne liczby nieparzyste (1, 3, 5 ...).

Tego typu rurki wytwarzają dźwięk zawierający tylko nieparzyste harmoniczne częstotliwości podstawowej. Dźwięk podstawowy jest jedną oktawę niższy (czyli połowa częstotliwości) niż w przypadku otwartego cylindra o tej samej długości.

Dokładniejszy wzór uwzględniający zjawiska zachodzące przy końcu rury:

.

Stożkowe

Otwarte rury takie ze jeden ich koniec zwiększa przekrój przypominając stożek, ma częstotliwości rezonansowe w przybliżeniu równe częstotliwościom rezonansowym otwartych cylindrycznych rur o tej samej długości.

Częstotliwości rezonansowe rur stożkowych zamkniętych z jednej strony - kompletny stożek lub ścięty - spełniają bardziej skomplikowany warunek:

gdzie k - liczba falowa spełniająca warunek:

gdzie x - odległość od węższego końca rury do wierzchołka stożka. Gdy x jest małe, tzn. gdy stożek jest już prawie cały (nieścięty), to wzór przyjmuje postać:

prowadząc do częstotliwości rezonansowych w przybliżeniu równych do tych otwartej rurki, których długość jest równa L + x. Inaczej mówiąc, pełne stożkowe rury zachowuje się jak otwarte cylindrycznej rury o tej samej długości.

---