Wykład nr 3 - szkoły podstawowe

RÓWNANIA LINIOWE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ

Kiedy mama wraca ze sklepu, woli nieść dwie lżejsze siatki niż jedną cięższą. Oszczędza wtedy kręgosłup, obciążając go równomiernie. Rozłożenie ciężaru na dwie ręce sprzyja zachowaniu równowagi.

Przypatrzmy się wadze szalkowej. Wykorzystajmy ją do zilustrowania matematycznego problemu. Kiedy szalki wagi znajdują się w równowadze? Wtedy, gdy na nich nic nie leży lub, gdy po jednej i po drugiej stronie są jednakowo ciężkie przedmioty. Na lekcjach fizyki mówimy, że odpowiednie siły się równoważą. Na lekcjach matematyki będziemy mówili o równaniu i równości jego stron.

Nauczyciel zaproponował uczniom w I klasie gimnazjum, żeby rozwiązali zagadkę.

„Cegła waży kilo i pół cegły. Ile waży cegła?” Rozwiązanie należało przedstawić na rysunku i wyjaśnić kolejne etapy postępowania.

Oto rozwiązanie Kuby i Łukasza:

Zilustrowaliśmy treść zadania.

Odrzuciliśmy z każdej szalki po połowie cegły.

Połowa cegły waży 1 kg,

cała cegła waży 2 razy tyle, a więc 2 kg

Porozmawiajmy o tym sposobie rozwiązania zadania, używając wyrażeń algebraicznych.

Zapiszmy treść tego zadania w postaci wyrażenia algebraicznego.

Jeśli masę cegły oznaczymy przez x, to

na lewej szalce wagi mamy:
x + 1 masa całej cegły

na prawej szalce wagi mamy:
x + 1 = x masa całej cegły

Taki zapis nazywamy równaniem.

Równanie możemy przyrównać do wagi; równość zachodzi tylko wtedy, gdy waga jest w równowadze. Zawsze musimy pilnować, aby „nasza waga” była w równowadze.

Równaniem nazywamy dwa wyrażenia połączone znakiem „=”, gdy przynajmniej jedno z nich jest wyrażeniem algebraicznym.

Przykład 1

Które zapisy przedstawiają równania?

1. 3x - 1 = 4, e) 12 · 5 = 60,

2. y - 2x = xy, f) 3x - 2 ≈ 5,

3. y - 5 + 2x = 0, g) y - 3 ≠ y + 3,

4. 3x - 4 = 5 - 6x, h) y = 2x + 1.

Równaniami są: a), b), c), d), h)

Równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy równanie ax + b = 0, gdzie a≠0 i b są danymi liczbami.

Równanie ax + b = 0 nazywamy też równaniem liniowym. Przykładem równania liniowego jest równanie 3x - 12 = 0. Równanie to ma jedno rozwiązanie x = 4.

Jeżeli a ≠ 0, to równanie ax + b = 0 ma jedno rozwiązanie x = -
.

Równanie 0 · x + 1 = 0 jest równaniem liniowym. Równanie to nie ma rozwiązań, bo 1 ≠ 0. Równanie 0 · x = 0 jest równaniem liniowym, a każda liczba jest rozwiązaniem tego równania.

Podczas rozwiązywania różnorodnych zadań często występują równania z jedną niewiadomą, które dają się sprowadzić do równań liniowych.

Oto kilka przykładów równań z jedną niewiadomą:

2x + 5 = 7; y² - 1 = 0;
x + 3 = 2x - 0,7; z +
= 2;
=
.

Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę, która podstawiona w miejsce niewiadomej spełnia to równanie.

Równanie może mieć jedno rozwiązanie, może mieć kilka rozwiązań, nieskończenie wiele rozwiązań, może też nie mieć rozwiązania.

Rozwiązać równanie, to znaczy znaleźć wszystkie jego rozwiązania.

Dwa równania nazywamy równoważnymi, jeżeli zbiory ich rozwiązań są identyczne.

Równania niemające rozwiązań też są równoważne, zbiory ich rozwiązań są zbiorami pustymi.

Przykłady równań równoważnych i niebędących równoważnymi:

• równania 3x + 5 = 17 oraz 3x = 12 są równoważne, bo każde z nich ma jedno rozwiązanie x = 4,

• równania x² - 4 = 0 oraz 2x² = 18 nie są równoważne, bo rozwiązaniami pierwszego z nich są liczby -2 i 2, rozwiązaniami drugiego liczby -3, 3,

• równania x² + 1 = 0 oraz x² + 4 = 0 są równoważne, bo oba nie mają rozwiązań,

• równania x² + 1 = 0 oraz 5 - x = 2x - 1 nie są równoważne, bo pierwsze z nich nie ma rozwiązań, drugie ma x = 2,

• w równaniu x +
  występuje składnik
  nie mający sensu dla x = 0.

Odejmując od obu stron danego równania ten składnik otrzymamy równanie x = 0. Równanie to nie jest równoważne z wyjściowym równaniem, które nie ma sensu dla x =0, więc liczba 0 nie jest rozwiązaniem równania x +
,

• równania x - 5 = 0 oraz ( x - 5 )( x² + 1 ) = 0 są równoważne, bo każde z nich ma jedno rozwiązanie x = 5.

Dalej będziemy rozważać równania, w których wszystkie wyrażenia, występujące jako składniki, mają sens dla każdej liczby.

Twierdzenie o równaniach równoważnych:

1. Jeżeli po obu stronach równania wykonamy występujące tam działania, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

2. Jeżeli do obu stron równania dodamy lub od obu stron odejmiemy tę samą liczbę, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

3. Jeżeli do obu stron równania dodamy lub od obu stron odejmiemy to samo wyrażenie (mające sens dla wszystkich liczb), to otrzymamy równanie równoważne danemu.

4. Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Przykład 2

Rok temu w liceum było o 20 harcerzy więcej niż w gimnazjum. Obecnie w liceum jest o 25% więcej harcerzy niż rok temu, w gimnazjum przyrost jest równy
poprzedniego stanu. Ilu harcerzy było rok temu w każdej ze szkół, jeżeli obecnie liczba harcerzy w obu szkołach jest jednakowa?

Niech x oznacza liczbę harcerzy w gimnazjum rok temu. Wtedy x + 20 jest liczbą harcerzy w liceum w zeszłym roku.

W tym roku

liczba harcerzy w liceum wynosi x + 20 + 0,25 (x + 20),

liczba harcerzy w gimnazjum wynosi x +
x.

Liczby te są równe, więc mamy równanie

x + 20 + 0,25 (x + 20) = x +
x.

Równanie to łatwo sprowadzić do równoważnego równania liniowego

a więc x = 60.

W zeszłym roku w liceum było 80 harcerzy, a gimnazjum 60.

Przykład 3

3x + 6 = - 2x + 4 / + 2x /do obu stron równania dodajemy 2x

5x + 6 = 4 / -6 /od obu stron równania odejmujemy 6

5x = -2 /:5 /obie strony równania dzielimy przez 5

x = -
/ rozwiązaniem równania jest liczba -

Przykład 4

/ · 6 /mnożymy obie strony równania przez 6

3 ( x + 3 ) = 6x + 1 - 3x

3x + 9 = 3x + 1 / - 3x /od obu stron równania odejmujemy 3x

9 = 1

Równanie sprzeczne. /równanie nie ma rozwiązań

Przykład 5

Jaką liczbę należy dodać do liczb 8 i 2, aby iloraz tych liczb był równy 1,8? Szukaną liczbę oznaczamy przez x. Dodając tę liczbę do 8 i 2 otrzymujemy liczby 8 + x oraz x + 2. Iloraz tych liczb
= 1,8.

Wyrażenie
nie ma sensu dla x = -2. Zatem rozwiązując to równanie znanymi sposobami, niekoniecznie musisz otrzymać równania równoważne. Rozwiązując równanie otrzymasz x = 5,5 i sprawdzisz, że

=1,8.

Przykład 6

Rozwiąż równanie

( 3x + 1)² + ( 5x - 2 )² = ( 4x + 3 )² + 18 ( x - 1 )².

Wykonując po obu stronach działania otrzymasz

34x² - 14x + 5 = 34x² - 12x + 27.

Stąd

-14x + 5 = -12x + 27,

czyli

-2x = 22,

a więc

x = -11.

Przykład 7

W sadzie dziadka Eugeniusza rosną śliwy, jabłonie i grusze. Jabłoni jest dwa razy więcej niż śliw, a grusz jest o 3 mniej niż jabłoni. Razem w sadzie rośnie 17 drzew.

Ile jest wśród nich śliw, ile jabłoni, a ile grusz?

x - liczba śliw oznaczamy przez x liczbę śliw i na

2x - liczba jabłoni podstawie treści zadania zapisujemy

2x - 3 - liczba grusz liczby pozostałych drzew

17 - liczba wszystkich drzew

x + 2x + ( 2x - 3 ) = 17 układamy równanie

5x - 3 = 17 / + 3 rozwiązujemy równanie

5x = 20 / : 5

x = 4

liczba śliw: 4

liczba jabłoni: 2 · 4 = 8 sprawdzenie:

liczba grusz: 2 · 4 - 3 = 5 4 + 8 + 5 = 17

Odp. W sadzie dziadka Eugeniusza rosną 4 śliwy, 8 jabłoni i 5 grusz.

Zadania

Zadanie 1

Rozwiąż równania:

1. -3x = 2x - 10 e) -( 2x - 1) = 4

2. 2x - 2 = 7 - x f) 2 (x + 1) = x

3. 10 = 4 - 2x g) 3 (a + 6) - a = 2 (a + 9)

4. 0,5y = 7 - 3y h) ( x - 7) - 2 ( 3x + 5) = 3

Zadanie 2

Czy następujące równania są równoważne:

a) (x - 4)² = 0 i x - 4 = 0, b) x - 1 = 0 i x² - 1 = 0?

Zadanie 3

Rozwiąż równania

a)

b)

Zadanie 4

Jaś kupował haczyki w sklepie wędkarskim. Duży haczyk był o 7 groszy droższy od małego. Za 8 dużych haczyków i 6 małych zapłacił 3,50 zł. Ile kosztował duży haczyk, a ile mały?

Zadanie 5

Rozwiąż równanie i wykonaj sprawdzenie.

a)
y +
y - 5 = 1 b)

Zadanie 6

Dwóch braci i dwie siostry będzie miało za 10 lat w sumie 100 lat. Ile będą mieli w sumie lat za 5 lat?

Zadanie 7

Z następujących jednomianów oraz sum algebraicznych ułóż równanie i rozwiąż je.

a) 4x; x; -3; 2; x + 1

b) 4; -3x; 5x; 4; x - 2

c) 3y - 2; y + 1; y +2; 3; 1 - y

Zadanie 8

Na bardzo nudnym wykładzie połowa studentów drzemie, a jedna trzecia rozwiązuje krzyżówki. Wśród pozostałych sześciu słuchaczy pięć osób czyta książkę i tylko jedna studentka pilnie notuje. Ilu studentów jest obecnych na tym wykładzie?

Zadanie 9

W pewnym trójkącie jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego i o 20^o mniejszy od trzeciego. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

Zadanie 10

W trzydziestoosobowej klasie 30% stanowiły dziewczęta. W II półroczu odeszło kilka z nich i teraz dziewczęta stanowią tylko 16% klasy. Ile odeszło z tej klasy?

Zadanie 11

Na ułożenie podłogi w pokoju zużyto 12 desek. Deski były dębowe i bukowe; miały łączną długość 30 m. Deski dębowe miały 3m, a bukowe 2m długości. Ile było desek dębowych, a ile bukowych?

Zadanie 12

Ułóż zadanie do równania.

3y - ( y -5 ) = 10 - ( y + 2 )

Zadanie 13

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę o 33^o mniejszą niż kąt przy podstawie. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

Opracowała:

mgr Małgorzata Dmochowska

SP Orzełek

Literatura:

1. Praca zbiorowa pod redakcją Małgorzaty Dobrowolskiej „Matematyka 1, Podręcznik dla klasy pierwszej gimnazjum” GWO Gdańsk 2000.

2. Maciej Bryński, Janusz Kaja „Matematyka klasa 1, Podręcznik do pierwszej klasy gimnazjum” JUKA Warszawa 1999.

3. Władysława Poczesna, Krzysztof Mostowski „Matematyka Nowej Ery, Podręcznik dla klasy 1 gimnazjum” NOWA ERA Warszawa 2002

4. Władysława Poczesna, Krzysztof Mostowski „Matematyka Nowej Ery, Karty pracy dla klasy 1 gimnazjum” NOWA ERA Warszawa 2002.

5. Gustaw Treliński, Eugeniusz Machnicki „Nowa Błękitna Matematyka, Podręcznik dla 1 klasy gimnazjum” KLEKS Bielsko-Biała 2000.

6. Henryk Kąkol, Stanisław Wołodźko „ Nowa Błękitna Matematyka, Podręcznik dla 2 klasy gimnazjum” KLEKS Bielsko-Biała 2000.

8

---