Dziękujemy za wypróbowanie programu Solid Converter PDF Professional.

Wersja ewaluacyjna programu wykonuje konwersję 10% objętości dokumentu, maksymalnie 10 stron.

Podczas bieżącej operacji, program Solid Converter PDF Professional wykonał konwersję 7 z 75 stron.

Aby usunąć to ograniczenie, dokonaj zakupu Solid Converter PDF Professional pod adresem http://www.solidpdf.com/buy.htm.

8. Sygnał okresowy. Podać warunek okresowości sygnału. Czym się różni sygnał

okresowy od sygnału prawie okresowego.

Sygnał okresowy

Definicja (sygnał okresowy). Sygnałem okresowym nazywamy sygnał x(t) spełniający

dla każdego czasu t równość:

x(t) = x(t +T) (2.7)

Obserwacje. Liczbę T nazywamy okresem sygnału. Najmniejsza liczba T spełniająca

(2.7) to okres podstawowy.

Sygnały prawie okresowe

Definicja 1. (Bohra)

Funkcję x(t) określoną i ciągłą dla t(-, ) nazywamy prawie okresową i jednostajnie ograniczoną, jeżeli dla dowolnego >0 istnieje liczba l() taka, że każdy przedział [t, t+l()], zawiera co najmniej jedną liczbę T(), zwaną -okresem, dla której

x(t  T (  x(t   

sup

t

Definicja 2. (Besicovitcha)

Funkcję x(t) określoną i ciągłą dla t(-, ) nazywamy prawie okresową i jednostajnie ograniczoną, jeżeli dla dowolnego >0 istnieje wielomian trygonometryczny

n ( 



taki, że

e j t

x(t 

    n ( 

e j t

X

sup

t

X

 







Przykład 1

Ruch Księżyca wokół Ziemi opisuje funkcja prawie okresowa. Położenia jego powtarzają się

w przybliżeniu co T()=27,5, 358, 1460, ... dni z rosnącą dokładnością ( maleje).

Przykład 2

Funkcja sin1t+sin2t jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz 1 /2 =m/n, czyli jest liczbą wymierną. Wówczas okres wynosi T=2n/1=2m/2.

Twierdzenie

Dla każdej funkcji prawie okresowej x(t) istnieje ciąg liczb rzeczywistych {} i zespolonych

{X} taki, że szereg

n

   n

e j t

X



jest przy n→ zbieżny w sensie normy || ||M do x(t), czyli

1

T / 2

x(t  

n

   n

e j  t

2dt  0

n →  T →  T  T / 2

lim lim

X



9. Modulacja sygnałów. Jakie rodzaje modulacji sygnałów rozróżniamy -

wymienić. Omówić modulację amplitudową.

Modulacja sygnału to samorzutna lub celowa zmiana parametrów sygnału.

Przykładem może być modulowany dźwięk syreny alarmowej, w którym zmienia się

częstotliwość generowanego przez syrenę dźwięku.Rozróżniamy 3 główne modulacje : 1. amplitudy 2.FAZY i 3.CZĘSTOTLIWOSĆI.

Jeżeli modulowany jest sygnał o charakterze sinusoidalnym, to proces ten może

powodować zmiany amplitudy. Modulacja amplitudy to jedna z trzech podstawowych rodzajów modulacji. Polega na zakodowaniu(modulator) sygnału informacyjnego (szerokopasmowego o małej częstotliwości) w chwilowych zmianach amplitudy

sygnału nośnego (inaczej nazywanej falą nośną). Uzyskany w wyniku sygnał zmodulowany jest sygnałem wąskopasmowym, który nadaje się się np. do transmisji drogą radiową.

10. Rozkład sygnałów na składowe. Podać jak wyznaczamy składową zmienną i

stałą sygnału, składową parzystą i nieparzystą.

- wartość średnia sygnału w przedziale czasu:

t 2

 x ( t ) dt

t1

1

t  t

x 

- sygnał ciągły

2 1

n2

 x[n]

1

x 

-

n 2  n1  1 n  n

1

sygnał dyskretny

- wartość średnia całego sygnału:

 

 x (t ) dt



1

x lim



 →  2

-

sygnał ciągły

N

 x[n] -

n   N

1

x N  lim

2 N

 1

N →

sygnał dyskretny

- wartość średnia sygnału okresowego:

1 t0 T

xT   x(t)dt, T  okres;(ciągły)

T

t

0

n0(N1)

x[n],

 1

x

N

N- okres; (dyskretny)

N

nn0

składową stałą sygnału jest jego wartość średnia, składowa zmienna to różnica sygnału i jego

składowej stałej, składowa parzysta: xp(t)=1/2[x(t)+x(-t)] składowa nieparzysta: xn(t)=1/2[x(t)-x(-t)] x(t)=xp(t)+xn(t)

11. Wyznaczyć składową stałą i zmienną następującego sygnału ..x(t)=2sin2ωt.

składowa stała:

T

2

x= 1 ∫

x t dt

T − T

2

składowa zmienna:

x=xt-x

sin 2 x dx = x − sin2x C

∫

2 4

x= 1 [ T − sinT T − sinT ]= 1 T = 1

T 4 4 4 4 T 2 2

x = 2sin2 ωt − 1

2

12. Wyznaczyć składową parzysta i nieparzystą następującego sygnału

j10t

.y(t)=4e .

Ev {x(t)} = 0,5*[xt*x-t]

Od {x(t)} = 0,5*[xt-x-t]

y(t) = 4ej10t = 4cos(10t)+4j*sin(10t)

y(-t) = 4ej10(-t) = 4cos(-10t)+4j*sin(-10t) = 4cos(10t)-4j*sin(10t)

Ev {y(t)} =

=4cos(10t)

Od {y(t)} =

=4j*sin(10t)

13. Wymienić sygnały impulsowe o ograniczonej energii i wyznaczyć energię dla

dowolnie wybranego sygnału.

Energia dla impulsu prostokątnego:

T

0.5

0.5

∞

lim ∫ x 2 t dt = lim [ ∫ 0 dt ∫ 1 dt ∫

0 dt ] = 0+1+0=1

E=

− T

−∞

− 0.5

0.5

(pod limensem jest, że T dąży do + nieskończoność)

14. Wymienić sygnały o nieskończonym czasie trwania i o ograniczonej energii i

wyznaczyć energię dla wybranego sygnału.

Energia dla wykładniczego

t 0 x(t)= e-t

malejącego, zakładam, ze A=1 i L=1, wiec dla

T

T

− 2T

1

2

lim [ e 1 ] =

lim ∫ x 2 t dt = lim ∫

e− 2t dt =

E=

− 2 2

− T

0

(pod limensem jest, że T dąży do + nieskończoność)

---