4.3 Odwzorowania walcowe

Odwzorowanie walcowe w różnych położeniach - zasady konstrukcji

Definicja

Odwzorowanie walcowe normalne to odwzorowanie kuli na płaszczyznę, w którym obrazem południków są proste równoległe o odstępach równych odstępom południków na równiku, natomiast obrazem równoleżników są proste prostopadłe do obrazów południków

Na pobocznicy walca przyjmujemy układ współrzędnych o środku w punkcie na równiku, osi x stycznej do południka zerowego i osi y stycznej do równika.

Dla tak przyjętych układów równania obu powierzchni będą miały postać:

Znajdujemy następnie skalę odwzorowania:

- I forma kwadratowa dla kuli

- I forma kwadratowa dla walca

gdzie:
,
,

Zatem wzór ogólny na skalę w odwzorowaniu walcowym będzie miał postać:

Następnie wyznaczymy skale główne odwzorowania.

Kierunki główne pokrywają się tu z kierunkami południków i równoleżników (linii parametrycznych)

Skala w kierunku południków
:

oraz równoleżników
:

Następnie szukamy odwzorowania o z góry zadanych własnościach.

Odwzorowanie równopolowe Lamberta

Zakładamy, że pole powierzchni nie może ulec zniekształceniu, zatem musi być spełnione równanie:

czyli

dla

Zatem wzory tego odwzorowania będą miały postać:

Skale w kierunkach głównych wyniosą:

- skrócenie długości w kierunku południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników

Zniekształcenie kątów będzie równe:

-
kąty ulegają powiększeniu.

Zachowane w tym odwzorowaniu pozostaje pole powierzchni.

Odwzorowanie walcowe równokątne (Mercatora)

Zakładamy tym razem warunek równokątności:

co prowadzi do równania

Zatem

dla

Zatem wzory tego odwzorowania będą miały postać:

Skale w kierunkach głównych są następujące:

- wydłużenie w kierunku południków i równoleżników,

zaś zniekształcenie pola:

- powiększenie pola powierzchni.

W tym odwzorowaniu loksodroma (linia przecinająca południki pod stałym kątem α) odwzorowuje się na linię prostą, przecinającą obrazy południków również pod stałym i tym samym kątem α. Długość loksodromy szczególnie w okolicach okołorównikowych jest niewiele dłuższa od długości linii geodezyjnej i wynosi:

Z tego względu odwzorowanie to odegrało dużą rolę w nawigacji morskiej.

Południk i równoleżnik są szczególnymi przypadkami loksodromy.

Odwzorowanie walcowe równoodległościowe (tzw. rzut prosty)

Odwzorowanie powstaje przez rozwinięcie na płaszczyźnie wszystkich południków i równika wiernie, czyli skala w kierunku południków powinna być równa jedności:

dla

Zatem wzory tego odwzorowania będą miały postać:

Skale w kierunkach głównych są następujące:

- zachowanie długości w kierunku południków,

- wydłużenie w kierunku równoleżników.

Zniekształcenie kątów będzie równe:

co oznacza, że
- kąty ulegają powiększeniu

zaś zniekształcenie pola:
- powiększenie pola powierzchni.

Odwzorowania walcowe w położeniu poprzecznym i ukośnym

Przy sporządzaniu odwzorowań poprzecznych lub ukośnych stosuje się tą samą metodę zamiany współrzędnych jak przy odwzorowaniach płaszczyznowych. Biegun należy zastąpić innym odpowiednio dobranym punktem o współrzędnych
a następnie obliczyć współrzędne azymutalne
w odniesieniu do tego punktu.

Następnie oblicza się współrzędne prostokątne wg wzorów:

W geodezji duże znaczenie mają rzuty poprzeczne. Walec jest w tym przypadku styczny do kuli wzdłuż południka λ₀ dobranego tak, aby przechodził przez środek obszaru, który zostaje odwzorowany.

,

,
,

Ten obrany południk wraz z równikiem stanowić będą osie współrzędnych krzywoliniowych na kuli. Po odwzorowaniu południk ten przedstawi się wiernie i będzie stanowić oś x układu na płaszczyźnie. Obraz równika będący linią prostą prostopadłą do osi x będzie osią y. Tworzące walca są obrazami kół wielkich prostopadłych do obrazu południka. Na płaszczyźnie są one prostymi prostopadłymi do osi x. Proste równoległe do osi x są obrazami nie południków lecz kół małych równoległych do obranego południka λ₀.

W odwzorowaniach poprzecznych najdogodniejszym jest użycie współrzędnych prostokątnych sferycznych ξ,η. Położenie punktu na kuli określimy więc przez podanie takich współrzędnych wyrażonych w jednostkach długości, tak jak je zmierzono na kuli. Kąty odpowiadające tym długościom wynoszą w mierze łukowej
.

Ogólne wzory odwzorowań walcowych poprzecznych mają postać:

,

Tak więc odwzorowanie walcowe równopolowe poprzeczne wyraża się funkcjami:

,

odwzorowanie walcowe równokątne (Mercatora) wyraża się funkcjami:

,

odwzorowanie walcowe równoodległościowe wyraża się funkcjami:

,

Współrzędne x,y poprzecznego odwzorowania Mercatora nazywa się współrzędnymi Gaussa dla kuli lub współrzędnymi hannowerskimi dla kuli, ponieważ Gauss zastosował je do opracowań kartograficznych rejonu Hannower.

Współrzędne x,y poprzecznego odwzorowania równoodległościowego nazywa się współrzędnymi Cassini-Soldnera dla kuli.

Kartografia matematyczna. Odwzorowania walcowe kuli.

4

x

y

R

R

P₀

P″

Rys. 1

P

P′

2πR

x

y

Rys. 2

P

P′

P₀

P₂

P₀

P₁

Rys. 3

M

P₁

równik

x

Rys. 4

P

P′

y

O

---