Politechnika Koszalińska	Laboratorium z automatyki
Marek Jasiukiewicz Tomasz Kanas	Praktyczne wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych.
ćw. nr 3	6.05.1999	czwartek	godz. 17^15	Ocena:

1. Część teoretyczna

Równania różniczkowe i transmitancje operatorowe.

Użytkownika urządzenia interesuje, jak zmienia się w czasie sygnał wyjściowy y(t) w zależności od zmian sygnału x(t) podawanego na wejście. Stosuje się tu rachunek operatorowy Laplace'a. Pozwala on zastąpić równania różniczkowe, będące funkcją czasu, równaniem algebraicznym zależnym operatora Laplace'a s. Po uzyskaniu rozwiązania równania algebraicznego Y(s) i zastosowaniu odwrotnego przekształcenia Laplace'a otrzymuje się rozwiązanie równania w dziedzinie czasu y(t).

W związku z powyższym do zapisu własności dynamicznych członów liniowych automatyki stosowana jest transmitancja operatorowa G(s). Jest ona definiowana jako stosunek transformaty Laplace'a Y(s) sygnału wyjściowego y(t) do transformaty Laplace'a X(s) sygnału wejściowego x(t): G(s) = Y(s)/X(s).

Wśród członów liniowych automatyki można wyróżnić następujące rodzaje członów podstawowych o specyficznych właściwościach dynamicznych:

- proporcjonalne; iteracyjne I rzędu

- oscylacyjne

- całkujące idealne

- całkujące rzeczywiste

- różniczkujące idealne

- różniczkujące rzeczywiste

- opóźniające; przesuwniki fazowe.

Stałą czasową T członów iteracyjnych I rzędu nazywa się przedział czasu od chwili podania wymuszenia do chwili uzyskania 63,2% całkowitej zmiany wielkości wyjściowej y(t) członu.

Charakterystyki częstotliwościowe:

• Bode'go.

Do charakterystyk Bode'go należą charakterystyki częstotliwościowe amplitudowe i fazowe. W przypadku logarytmicznych charakterystyk amplitudowych i fazowych Bode'go warunkiem stabilności zamkniętego układu jest, aby charakterystyka otwartego układu miała wartość ujemną amplitudy przy pulsacji ωϕ, odpowiadającej przesunięciu fazowemu ϕ = -180°.

Charakterystyką częstotliwościowo - amplitudowa nazywa się wykres modułu A(ω) transmitancji widmowej, odpowiadający stosunkowi amplitud sygnału wyjściowego A2(ω) i wejściowego A1(ω) w funkcji pulsacji ω.

Charakterystyką częstotliwościowo - fazowa nazywamy wykres argumentu transmitancji widmowej ϕ(ω), odpowiadający przesunięciu fazowemu pomiędzy sinusoidalnie zmiennymi sygnałami wyjściowym i wejściowym w funkcji pulsacji ω. Charakterystyk częstotliwościowo - fazowa połączenia szeregowego członów automatyki jest sumą charakterystyk amplitudowych poszczególnych członów.

• Nyquista.

Charakterystykę Nyquista stanowi wykres transmitancji widmowej G(jω). Pozwala ona określić stabilność układu zamkniętego (ze sprzężeniem zwrotnym). Układ zamknięty będzie stabilny wtedy, gdy otwarty układ jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo - fazowa Nyquista dla pulsacji ω (od 0 do ∞) nie obejmuje punktu (-1,j0).

• Nichols'a.

Wykres zależności A(ω) w funkcji ϕ(ω) dla pulsacji ω zmieniającej się od 0 do ∞, nosi nazwę charakterystyki Nichols'a. Warunkiem stabilności układu zamkniętego jest, aby charakterystyka układu otwartego przy zmianie ω od 0 do ∞ przechodziła po prawej stronie początku układu współrzędnych.

Charakterystyka amplitudowo - logarytmiczna.

Charakterystyka wykreślona w skali logarytmicznej. Wprowadza się przy tym pojęcie modułu logarytmicznego: Lm[G(jω)] = 20lg[A(ω)]. Jednostką tego modułu jest [dB]. Dziesięciokrotna zmiana pulsacji nosi nazwę dekady. Charakterystyk amplitudowo - logarytmiczna połączenia szeregowego członów automatyki jest sumą charakterystyk amplitudowych poszczególnych członów.

Charakterystyka logarytmiczno - asymptotyczna.

Często przebieg logarytmicznej charakterystyki amplitudowej (rzadziej fazowej) jest aproksymowany (zastąpiony) odcinkami linii prostych w przedziale ω ∈ (0,∞). Uzyskana w ten sposób charakterystyka nazywa się logarytmiczno - asymptotyczną. Składa się ona z odcinków o nachyleniach będących całkowitą wielokrotnością 20 [dB / dekadę].

2. Część praktyczna

Celem ćwiczenia było wyznaczenie przebiegów charakterystyk amplitudowych i częstotliwościowych dla członów :

• inercyjnego

• całkującego rzeczywistego

• różniczkującego rzeczywistego

Korzystając z programu MATLAB wprowadzamy transmitancję operatorową poszczególnych członów w postaci wektorów :

Dane:

K₁=5

T₁=1

K₂=10

T₂=5

Wykresy powstałe w wyniku przeprowadzenia obliczeń:

• 
  
  Charakterystyki Bode'go

1) Inercyjny (T1,K1) 2) Całkujący rzeczywisty (T1,K1)

3) Różniczkujący rzeczywisty (T1;K1) 4) Inercyjny (T2;K2)

5) Całkujący rzeczywisty (T2;K2) 6) Różniczkujący rzeczywisty (T2;K2)

• Charakterystyki Nyquist'a

7)Inercyjny (T1;K1) 8)Całkujący rzeczywisty (T1;K1)

9) Różniczkujący rzeczywisty (T1;K1) 10) Inercyjny (T2;K2)

11) Całkujący rzeczywisty (T2;K2) 12) Różniczkujący rzeczywisty (T2;K2)

• 
  
  Charakterystyki Nichols'a

13) Inercyjny (T1;K1) 14) Całkujący rzeczywisty (T1;K1)

15) Różniczkujący rzeczywisty (T1;K1) 16) Inercyjny (T2;K2)

17) Całkujący rzeczywisty (T2;K2) 18)Różniczkujący rzeczywisty (T2;K2)

3. Wnioski :

• Bode'go:

Człon inercyjny:

Współczynnik wzmocnienia k wprost proporcjonalnie oddziałuje na amplitudę sygnału wyjściowego nie zmieniając przesunięcia fazowego. Stała czasowa T nie ma wpływu na amplitudę ani na wartość przesunięcia fazowego, natomiast spadek wartości T spowodował przesunięcie charakterystyki fazowej badanego członu o dekadę w stronę większej częstotliwości. (1,4)

Człon różniczkujący:

W przypadku tego członu k również wprost proporcjonalnie wpływa na amplitudę i nie zmienia przesunięcia fazowego. T natomiast poza przesunięciem wraz ze spadkiem swojej wartości wykresu fazowego o dekadę w stronę dodatnią, oddziałuje także na amplitudę (odwrotnie proporcjonalnie). (3,6)

Człon całkujący:

Współczynnik k wprost proporcjonalnie oddziałuje na wzmocnienie sygnału wyjściowego nie zmieniając przesunięcia fazowego. Stała czasowa T nie ma wpływu na amplitudę ani na wartość przesunięcia fazowego, natomiast spadek wartości T spowodował przesunięcie charakterystyki fazowej badanego członu o dekadę w stronę większej częstotliwości. (2,5)

• Nyquista :

Człon inercyjny :

Stała czasowa oraz współczynnik k nie mają wpływu na wzmocnienie sygnału. (7,10)

Człon różniczkujący :

Współczynnik wzmocnienia k wpływa wprost proporcjonalnie na amplitudę a stała czasowa T odwrotnie proporcjonalnie, przy czym dla tej samej wartości T o większej wartości amplitudy decyduje k.(9,12)

Człon całkujący ;

Maksymalna wartość amplitudy zależy jedynie od wartości współczynnika wzmocnienia k (wprost proporcjonalnie). (8,11).

• Nicholsa :

Człon inercyjny:

Z wykresu wynika ,iż wzrost amplitudy zależy jedynie od wartości współczynnika wzmocnienia k (wprost proporcjonalnie). Przesunięcie fazowe zostaje zmienione zależnie od zmiany parametrów k i T. (13,16).

Człon różniczkujący :

Można stwierdzić, że k wpływa wprost proporcjonalnie na amplitudę a T odwrotnie proporcjonalnie, przy czym dla tej samej wartości T o większej wartości amplitudy decyduje k. Przesunięcie fazowe nie zmienia swej wartości. (15,18).

Człon całkujący :

Stała czasowa oraz współczynnik k nie mają wpływu na wzmocnienie sygnału (14,17).

---