Metody wygładzania parametrycznego - skrót Cd.

8. Model Holta z trendem multiplikatywnym i sezonowością addytywną M/A w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu nieliniowego oraz sezonowości addytywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
, indeks zmian
oraz efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:

,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

,

gdzie
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn. wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz dodatkowo korygowana jest addytywnym efektem sezonowym:

,

Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post. Uwaga: optymalne wartości stałych wygładzania znalezione przez Solver Excela mogą zależeć od wartości początkowych wybranych dla stałych wygładzania. Warto sprawdzić rozwiązania suboptymalne, jakie produkuje Solver dla początkowych wartości stałych bliskich zeru oraz w drugiej kolejności dla ich wartości bliskich jedności.

9. Model Holta-Wintersa z trendem multiplikatywnym i sezonowością multiplikatywną - M/M w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego oraz sezonowości multiplikatywnej. W modelu wyrównywany jest zatem: poziom szeregu
, indeks zmian
oraz multiplikatywny efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:

,
,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,
,

,

gdzie
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn. wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz dodatkowo korygowana jest multiplikatywnym efektem sezonowym:

,
.

Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

Metody 1-9 omówione do tej pory dotyczą zatem trzech pierwszych wierszy w tablicy klasyfikacyjnej Pegelsa, tzn;

1. N/N, N/A, N/M - modele bez trendu,

2. A/N, A/A, A/M - modele z trendem liniowym,

3. M/N, M/A, M/M - modele z trendem multiplikatywnym.

Kolejnych sześć modeli wygładzania wiąże się z koncepcją trendu gasnącego. Może on być zastosowany zarówno w przypadku addytywnym jak i multiplikatywnym.

10. Model z addytywnym trendem gasnącym bez sezonowości - AD/N w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego gasnącego. W modelu wyrównywany jest poziom szeregu
oraz współczynnik kierunkowy trendu
. W modelu nie są wygładzane efekty sezonowe.

Wartości początkowe wygładzania definiują równości:

,
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

gdzie
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Szczególne przypadki modelu oraz formuła adaptacyjna są omawiane na wykładzie.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu trendu, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost wynikający z trendu, co zapiszemy:

,
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

11. Model z Holta-Wintera z addytywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością addytywną - AD/A w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego gasnącego oraz sezonowości addytywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
, indeks zmian
oraz efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem addytywnym, ustalane są w następujący sposób:

,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

.

gdzie
,
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:

;
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

12. Model z Holta-Wintera z addytywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością multiplikatywną - AD/M w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego gasnącego oraz sezonowości multiplikatywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
, indeks zmian
oraz efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem addytywnym, ustalane są w następujący sposób:

,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

,

gdzie
,
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

,
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

13. Model z Holta-Wintera z multiplikatywnym trendem gasnącym - MD/N w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego gasnącego. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
oraz indeks zmian
.

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:

,
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

.

gdzie
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:

;
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

14. Model z Holta-Wintera z multiplikatywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością addytywną - MD/A w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego gasnącego oraz sezonowości addytywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
, indeks zmian
oraz efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:

,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

.

gdzie
,
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:

;
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

15. Model z Holta-Wintera z multiplikatywnym trendem gasnącym oraz z sezonowością multiplikatywną - MD/M w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego gasnącego oraz sezonowości multiplikatywnej. W modelu wyrównywany jest: poziom szeregu
, indeks zmian
oraz efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem multiplikatywnym, ustalane są w następujący sposób:

,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

.

gdzie
,
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu trendu gasnącego i sezonowości, tj. na poziomie średniej korygowanej o gasnący przyrost wynikający z trendu oraz korygowanej o odchylenie sezonowe, co zapiszemy:

;
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

1

---