4.Metody wygładzania parametrycznego - skrót

4.1. Metoda wyrównywania wykładniczego (Browna) - N_N według klasyfikacji Pegelsa

Metoda wyrównywania wykładniczego zakłada, że rekurencyjne oszacowania poziomu składowej systematycznej szeregu (
) dane są przy pomocy równań:

;

,

gdzie:
- jest oceną poziomu składnika systematycznego w okresie t,
- jest stałą wyrównywania wykładniczego,
.

Jeżeli
, wtedy prawdziwa jest równość:

,

tzn. otrzymujemy procedurę bez wygładzania.

Jeżeli
, wtedy prawdziwa jest równość:

,

tzn. wyrównanie poziomu następuje na ustalonym w kroku początkowym poziomie.

Prognozy ex post wyznaczane są na poziomie dostępnego w okresie
oszacowania poziomu składnika systematycznego , tj:

,
.

Prognoza jest funkcją stałej wygładzania
, która a priori nie jest znana. Zapiszemy to jak następuje:

,
.

Podobnie błąd prognozy ex post:

jest funkcją tej stałej, co zapiszemy:

.

Wszystkie parametry rozkładu błędów prognoz ex post są zatem funkcjami tej stałej. Wyznaczanie stałej wygładzania sprowadza się zatem do rozwiązania problemu optymalizacji jednej z funkcji, którą jest wybrany parametr rozkładu błędu prognozy ex post, np:

,
,

,
,

,

Zwykle wybieranym kryterium optymalizacyjnym jest MSE.

Równanie wygładzania Browna można zapisać w formie adaptacyjnej (z korektą błędem prognozy) w następujący sposób:

,

gdzie
oznacza błąd prognozy z wyznaczonej w okresie (t-1) na okres t, na poziomie
, tj. na poziomie dostępnej w okresie wyznaczania prognozy wartości wygładzonej.

Powyższy wzór pokazuje, że zmiana oszacowania poziomu
zależy od błędu prognozy popełnionego w okresie poprzednim. Dlatego też metodę Browna i wszystkie metody wygładzania parametrycznego, dla których można znaleźć formułę z korektą błędem, nazywamy metodą adaptacyjną. Dostosowanie adaptacyjne bowiem polega na zmianie oszacowania (zachowania) w ślad za błędem popełnionym poprzednio.

4.2. Model Browna z sezonowością addytywną - N_A według klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie addytywnych efektów sezonowych, nakładających się na stacjonarny poziom szeregu czasowego. Wygładzane są zatem dwie składowe szeregu, tj: poziom
oraz efekt sezonowy (periodyczny)
.

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym ustalane są w następujący sposób:

;

gdzie: r oznacza liczbę sezonów w roku, np. dla danych kwartalnych r=4, dla miesięcznych r=12.

Początkowe oszacowanie poziomu jest wyznaczone jako średnia arytmetyczna obserwacji z pierwszego roku, natomiast początkowe oszacowania efektów sezonowych (dla pierwszego roku) są wyznaczone jako odchylenia od średniej.

Równania wygładzające mają następującą postać:

,

,

gdzie
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Podobnie jak w przypadku modelu Browna N/N, można znaleźć adaptacyjną formę tego równania. Warto też rozpoznać szczególne przypadki modelu, kiedy parametry wygładzania przyjmują skrajne wartości (odesłanie do wykładu).

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) równa jest średniej
, korygowanej addytywnym efektem sezonowym:

,

Podobnie jak w modelu poprzednim stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

4.3. Model Browna z sezonowością multiplikatywną - N_M według klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie multiplikatywnych efektów sezonowych, nakładających się na stacjonarny poziom szeregu czasowego.

Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym ustalane są w następujący sposób:

;
.

Początkowe oszacowanie poziomu jest wyznaczone jako średnia arytmetyczna obserwacji z pierwszego roku, natomiast początkowe oszacowania efektów sezonowych (dla pierwszego roku) są wyznaczone jako indeksy, tj. udziały zmiennej
jej poziomie
, wygładzonym na okres t.

Adekwatnie do przyjętej koncepcji multiplikatywnego wahania sezonowego definiowane są równania wygładzające:

.

Szczególne przypadki modelu oraz jego wersja adaptacyjna omawiane są na wykładzie.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) równa jest średniej
, korygowanej muliplikatywnym efektem sezonowym:

,
.

Podobnie jak w modelu poprzednim stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

4.4. Model Holta z trendem addytywnym - w A_N w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego o zmiennym (w ogólnym przypadku) współczynniku kierunkowym. W modelu wyrównywany jest poziom szeregu
oraz współczynnik kierunkowy trendu
. W modelu nie są wygładzane efekty sezonowe.

Wartości początkowe wygładzania definiują równości:

,
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

gdzie
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Szczególne przypadki modelu oraz formuła adaptacyjna są omawiane na wykładzie.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu trendu, tj. na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu, co zapiszemy:

,
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

4.5. Model Holta z trendem multiplikatywnym - M_N w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego o zmiennym (w ogólnym przypadku) indeksie zmian. W modelu wyrównywany jest poziom szeregu
oraz indeks zmian
. W modelu nie są wygładzane efekty sezonowe.

Wartości początkowe wygładzania definiują równości:

,
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

gdzie
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Szczególne przypadki modelu oraz formuła adaptacyjna są omawiane na wykładzie. Warto szczególnie tutaj zanalizować dlaczego
, a nie
, tj. jaka jest różnica pomiędzy trendem addytywnym i multiplikatywnym.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu trendu multiplikatywnego, tj. na poziomie średniej korygowanej indeksem zmian wynikającym z trendu, co zapiszemy:

,
.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

4.5.a Metoda podwójnego wygładzania

W metodzie podwójnego wygładzania zakładamy, że stałe wygładzania są równe, tj.
. Metoda może wystąpić zarówno w wersji addytywnej, jak i multiplikatywnej. Należy ją traktować jako szczególną wersję metody Holta (A_N) lub (M_N). W pierwszym przypadku mamy do czynienia z następującym układem równań wygładzających:

,
.

,

,

gdzie
.

Prognoza jest wyznaczana zgodnie z regułą Holta tj.:

,
.

W przypadku drugim równania wygładzające mają postać:

,
.

,

,

gdzie
, natomiast prognoza jest wyznaczana zgodnie z regułą:

,
.

4.6. Model Holta-Wintersa (lub tylko Wintera) z trendem addytywnym i sezonowością

addytywną - A_A w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego oraz sezonowości addytywnej. Zarówno współczynnik kierunkowy trendu jaki i efekty sezonowe (w ogólnym przypadku) mogą zmieniać się w czasie. W modelu wyrównywany jest zatem: poziom szeregu
, współczynnik kierunkowy trendu
oraz efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem, ustalane są w następujący sposób:

,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,

,

gdzie
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn. wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz dodatkowo korygowana jest addytywnym efektem sezonowym:

,

Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post. Uwaga: optymalne wartości stałych wygładzania znalezione przez Solver Excela mogą zależeć od wartości początkowych wybranych dla stałych wygładzania. Warto sprawdzić rozwiązania suboptymalne, jakie produkuje Solver dla początkowych wartości stałych bliskich zeru oraz w drugiej kolejności dla ich wartości bliskich jedności.

4.7. Model Holta-Wintersa (lub tylko Wintera) z trendem addytywnym i sezonowością

multiplikatywną - A_M w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego oraz sezonowości multiplikatywnej. Zarówno współczynnik kierunkowy trendu jaki i efekty sezonowe (w ogólnym przypadku) zmieniają się w czasie. W modelu wyrównywany jest zatem: poziom szeregu
, współczynnik kierunkowy trendu
oraz multiplikatywny efekt sezonowy
.

Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem addytywnym, ustalane są w następujący sposób:

,
,

;
.

Równania wygładzające mają postać:

,

,
,

,

gdzie
,
,
są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn. wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz dodatkowo korygowana jest multiplikatywnym efektem sezonowym:

,
.

Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

Załącznik

Sezonowość addytywna i multiplikatywna

W szeregu czasowym (
), w którym składowe: systematyczna (
), sezonowa (
) oraz przypadkowa (
) są addytywne, możemy zapisać, że:

.

W takim przypadku, z dokładnością do błędu możemy zapisać, że:

;
.

Z powyższego zapisu wynika, że oszacowanie składowej systematycznej wymaga odjęcia od zaobserwowanego poziomu zmiennej prognozowanej efektu sezonowego. Z drugiej strony oszacowanie efektu sezonowego wyznaczane jest jako różnica pomiędzy zaobserwowaną wartością zmiennej prognozowanej a oceną składnika systematycznego. Wynika stąd brak możliwości jednoczesnego oszacowania składowej systematycznej i sezonowej na okres t.

W związku z powyższym przyjmuje się następującą regułę postępowania:

;
,

gdzie:
oznacza liczbę okresów w roku, natomiast
analogiczny sezon roku poprzedniego.

Zatem w pierwszej kolejności wyznaczane jest oszacowanie składnika systematycznego, z wykorzystaniem oceny składnika periodycznego z adekwatnego sezonu roku poprzedniego, w drugiej kolejności wyznacza się oszacowanie składowej sezonowej na okres
, z wykorzystaniem oceny
z kroku poprzedniego.

W szeregu czasowym (
), w którym składowe: systematyczna (
), sezonowa (
) oraz przypadkowa (
) są multiplikatywne, możemy zapisać, że:

.

W takim przypadku, z dokładnością do błędu możemy zapisać, że:

;
.

Podobnie jak poprzednio, biorąc pod uwagę brak możliwości jednoczesnego oszacowania składowej systematycznej i sezonowej na okres, przyjmujemy następującą regułę postępowania:

;
.

Przypomnienie pojęcia sezonowość addytywna i multiplikatywna znajduje się w załączniku na końcu tekstu.

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

1

---