Zestaw 9

Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa

Całka oznaczona

Jeżeli
jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej
* , to całką oznaczoną funkcji
w przedziale
nazywamy

.

Wyrażenie występujące po prawej stronie wzoru zapisujemy
.

Wartość całki oznaczonej nie zależy od wyboru funkcji pierwotnej.

Przykład 1. Obliczyć całki oznaczone:

a)

Funkcja
* określona wzorem
jest ciągła. Wyznaczmy całkę nieoznaczoną
. Wtedy funkcja
jest funkcją pierwotną
. Zatem

.

b)

Funkcja
* określona wzorem
jest ciągła. Wyznaczmy całkę nieoznaczoną
. Wtedy funkcja
jest funkcją pierwotną
. Zatem

.

c)

Funkcja
* określona wzorem
jest ciągła. Przyjmując
i
zauważamy, że
. Zatem stosując wzór na całkowanie przez podstawianie, wyznaczmy całkę nieoznaczoną
. Wtedy funkcja
jest funkcją pierwotną
. Stąd

.

d)

Funkcja
* określona wzorem
jest ciągła. Zauważmy, że
, gdzie
i
. Wtedy
i
. Stosując wzór na całkowanie przez części, wyznaczmy całkę nieoznaczoną

. Wtedy funkcja
jest funkcją pierwotną
. Zatem

.

Pole obszaru

Jeżeli
dla
, to całka oznaczona
jest równa polu obszaru ograniczonego wykresem funkcji
i prostymi
,
oraz
(czyli osią OX).

Jeżeli
dla
, to całka oznaczona
jest równa polu obszaru ograniczonego wykresami funkcji
i
oraz prostymi
,
.

Przykład 2. Policzyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

a)
,
,
,
.

Niech
* będzie określona wzorem
. Jeżeli
, to
, więc
, czyli
. zatem pole obszaru jest równe

.

b)
,
.

Określmy funkcje
i
wzorami
,
,
* . Rozwiązując równanie
znajdujemy punkty przecięcia wykresów funkcji
i
:

.

Ponadto, jeżeli
, to
. Zatem pole obszaru zawartego między wykresami funkcji
i
jest równe

.

Wartość średnia funkcji w przedziale

Jeżeli funkcja
* jest ciągła, to istnieje takie
, że

.

Wartość
nazywamy średnią wartością funkcji
w przedziale
.

Przykład 3. Obliczyć średnią wartość funkcji
w podanym przedziale :

a)
;
.

Mamy
,
oraz

.

Ponieważ
, to średnia wartość funkcji
w przedziale
jest równa

.

b)
,
.

Mamy
,
oraz

.

Ponieważ
, to średnia wartość funkcji
w przedziale
jest równa

.

Całka niewłaściwa

Niech
* , gdzie
* lub
. Jeżeli dla każdego
istnieje całka oznaczona
oraz istnieje skończona granica

,

to
nazywamy całką niewłaściwą funkcji
i oznaczamy

.

Mówimy też, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica
nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Podobnie w przypadku
* , gdzie
* lub
.

Przykład 4. Obliczyć całki niewłaściwe:

a)

Funkcja
* określona wzorem
jest ciągła, więc dla każdego
całka oznaczona
istnieje. Zatem

.

b)

.

Całka jest rozbieżna.

c)

.

d)

.

Całka jest rozbieżna.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1. Obliczyć całki oznaczone:

a)	e)	i)
b)	f)	j)
c)	g)	k)
d)	h)	l)

Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

a)	g)
b)	h)
c)	i)
d)	j)
e)	k)
f)	l)

Zadanie 3. Obliczyć średnią wartość funkcji na podanym przedziale:

a)	c)
b)	d)

Zadanie 4. Obliczyć całki niewłaściwe:

a)	d)	g)
b)	e)	h)
c)	f)	i)

Odpowiedzi

Zadanie 1.

a)	d)	g)	j)
b)	e)	h)	k)
c)	f)	i)	l)

Zadanie 2.

a)	d)	g)	j)
b)	e)	h)	k)
c)	f)	i)	l)

Zadanie 3.

a)

b)

c)

d)

Zadanie 4.

a)	d) całka rozbieżna	g) całka rozbieżna
b)	e) całka rozbieżna	h)
c)	f)	i) całka rozbieżna

2

---