Praca zbiorowa

Wybrane zagadnienia i ćwiczenia

prawa

TEMATY ĆWICZEŃ

ĆWICZENIE I. Samodzielne przypomnienie rachunku współrzędnych

Podstawą powodzenia realizacji ćwiczeń jest elementarna znajomość rachunku współrzędnych przez wszystkich studentów. Przewiduje się, że wszystkie obliczenia wykonywane będą przy pomocy kalkulatorów z funkcjami trygonometrycznymi. Kalkulatory programowane i komputery PC z odpowiednim oprogramowaniem geodezyjnym służyć będą tylko do kontroli uprzednio wykonanych przez zespoły polowe zadań, oraz do wykonania niektórych skomplikowanych i czasochłonnych obliczeń. Poniżej przedstawione będą zagadnienia i przykłady umożliwiające samodzielne przypomnienie z wykładów i laboratoriów zagadnień związanych z rachunkiem współrzędnych. Część zagadnień jest trywialna, ale jak uczy doświadczenie, zawsze dla przeważającej części studentów ciągle niezbędna.

1.Wykonywanie obliczeń, reguły zaokrągleń i reguły Bradisa-Kryłowa

Znajomość działań na liczbach przybliżonych jest potrzebna każdemu inżynierowi. W skrypcie [1] na str. 68 podane są podstawowe zasady działań na liczbach przybliżonych.

(2-3 przykłady, pani Iza )

2.Układy współrzędnych

Zagadnienie układów współrzędnych jest obszerne. Z naszego punktu widzenia interesować nas będzie układ współrzędnych prostokątnych x,y ( kartezjański ) na płaszczyźnie, trójwymiarowy układ współrzędnych x,y,H ( z ) oraz układ współrzędnych biegunowych α,d na płaszczyźnie.

2.1. Układ współrzędnych prostokątnych

Na wstępie przypomnijmy sobie układ współrzędnych matematycznych rys. 2.1.a Zwróćmy uwagę na to, że przebieg ćwiartek jest lewoskrętny. W geodezji w części państw jak np. Francja, ... osie pozostawiono bez zmian w stosunku do układu matematycznego, natomiast zmieniono układ ćwiartek na prawoskrętny, ponieważ ma to związek z azymutami , które liczy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara rys. 2.1.b Z kolei w innych państwach jak Rosja, Niemcy, Polska zamienione zostały osie współrzędnych i przyjęty został także prawoskrętny układ przebiegu ćwiartek rys.2.2 Jeżeli ktoś podejmie pracę w projektowaniu i wykonawstwie budowlanym poza Polską warto na początek sprawdzić jaki układ osi obowiązuje w tym państwie. Ciekawym zagadnieniem jest wyobrażenie sobie trzeciej współrzędnej H. Dla niewielkich obszarów można rozpatrywać zagadnienia w układzie współrzędnych prostokątnych w przestrzeni trójwymiarowej rys.2.3 Generalnie musimy pamiętać o wpływie refrakcji i krzywizny Ziemi, które przy odległości celowania 120 m wynoszą 1 mm, a przy 270 m już 5 mm [1] str. 12 i 133. Przede wszystkim wysokość H jest określona w systemie wysokości tzw normalnych odniesionych do średniego poziomu Morza Bałtyckiego w Zatoce Fińskiej, rejestrowanego na mareografie w miejscowości Kronsztadt pod St. Petersburgiem [1] str.137. Na rysunku 2.4 a i b przedstawione są dwa punkty M i N położone gdzieś w Rzeszowie w układzie prostokątnym x,y „1965” [1] str.23.

a) b)

Rys.2.1 (a,b)

Rys.2.2

Rys.2.3

Rys.2.4 (a,b)

Punkty te w Rzeszowie położone są na wysokości H = ok. 200 npm i jak widać nie są odniesione do płaszczyzny poziomej i leżą na dodatek w liniach pionu, które nie są prostymi. Skomplikowana więc jest ta geodezja. W tym miejscu wypada poruszyć inną ważną kwestię. Odcinek MN położony jest na dwuwymiarowej płaszczyźnie odwzorowania ( innymi słowy na mapie ), w pierwszej strefie odwzorowawczej układu „1965”, o współrzędnych początku układu x = 5467 km i y = 4637 km . Zanim on trafił na mapę musiał zostać poddany trzykrotnej redukcji. Pierwsza redukcja jest redukcją na poziom lokalny ( d_L), niezależnie od metody pomiaru odległości tzn. taśmą, dalmierzem kreskowym jednoobrazowym, czy dalmierzem elektromagnetycznym. W pomiarach dalmierzami tzw. dwuobrazowymi, oraz autoredukcyjnymi odczytuje się odległości od razu zredukowane na poziom lokalny [1] str.73. Druga redukcja jest redukcją na poziom morza (d_M) wg. wzoru :

( 2.1)

Obliczmy więc przykładowo wartości dla 4-rech zredukowanych już na poziom lokalny długości d_L: d1=100 m, d2=200 m, d3=500 m i d4=1000 m, przy średnim promieniu Ziemi R = 6367650 m i przy wysokości 200 m npm. Wyniosą one odpowiednio : 99.997 m, 199.994 m, 499.984 m i 999.968 m. Długości te skorygować teraz należy o poprawki odwzorowawcze dla strefy I wg wzoru :

(2.2)

gdzie x_S i y_S oznaczają współrzędne środka mierzonej długości w km.

Ostateczne długości które znajdą się na mapie będą miały następujące wartości :

d1_ost= 99.997 - 0.015 = 99.982 m

d2_ost=199.994 - 0.030 = 199.964 m

d3_ost=499.984 - 0.074 = 499.910 m

d4_ost=999.968 - 0.149 = 999.819 m

Wyliczona poprawka odwzorowawcza dla dłudości 1 km wynosząca -149 mm jest zgodna z rys. 1.12. z [1] na str. 23. Podstawowe wnioski z przedstawionych wyliczeń są następujące :

• podkłady mapowe dla projektowanych obiektów liniowych o odpowiednio znaczących długościach i składających się z segmentów prefabrykowanych bądź odlewanych (np. mosty, wiadukty), przy założeniu realizacji z obydwu stron naraz powinny być sporządzane w układzie lokalnym, ponieważ zgodnie z wywodami w [Leśniok] dla cząstki globu o promieniu r=15 km zniekształcenia długości, kątów i pól powstałe z założenia ,że obszar leży na płaszczyźnie a nie na zakrzywionej powierzchni ziemskiej, , są znikomo małe, nie mające praktycznego znaczenia a ponadto pomiary długości na fizycznej powierzchni ziemi i odniesione do płaszczyzny stycznej do powierzchni ziemi nie podlegają jak w przypadku układu „1965” redukcjom sięgającym maks. 20 cm/1km ( tu płaszczyzny odniesienia jest siecznymi ).

• Przy pomiarze szczegółów współczesnymi dalmierzami odległości przekraczające ok. 300m powinny być korygowane o wartości poprawek odwzorowawczych, zaś poprawki ze względu na redukcję na poziom morza do ok. 500m mogą być zaniedbywalne.

2.2. Układ współrzędnych biegunowych

W układzie współrzędnych biegunowych położenie punktu M definiuje nam para liczb α i d , gdzie d jest długością zredukowaną odcinka ( promienia wodzącego) a α jest kątem kierunkowym pomiędzy promieniem wodzącym i osią biegunową rys. 2.5. Zagadnienie współrzędnych biegunowych jest wykorzystywane przy pomiarze szczegółów terenowych tzw. „metodą biegunową” i przy wytyczaniu obiektów budowlanych też „metodą biegunową”. W pierwszym przypadku na podstawie danych współrzędnych prostokątnych osnowy pomiarowej i pomierzonych α i d określać się będzie współrzędne prostokątne x i y mierzonych szczegółów, a w drugim przypadku sytuacja będzie odwrotna, mając współrzędne prostokątne x i y osnowy realizacyjnej i projektowanych obiektów budowlanych wyliczać się będzie α i d potrzebne do wytyczenia tych obiektów w terenie. Pełne przykłady wspomnianych zagadnień przytoczone będą częściach IIC2 i III niniejszego skryptu.

Rys.2.5

3.Miary kątowe używane w budownictwie i geodezji

W projektowaniu , zgodnie z normą ( ) używa się tradycyjnie miar stopniowych, natomiast w wykonawstwie geodezyjnym od ok. trzech dziesięcioleci używa się praktycznych miar gradowych. Zachodzi więc potrzeba przeliczania miar stopniowych na gradowe i odwrotnie. W przypadku miar stopniowych kąt pełny dzieli się na 360° (stopni), 1°= 60′(minut), 1′= 60″(sekund). Mamy tu do czynienia z systemem sześćdziesiątkowym (babilońskim) bardzo uciążliwym przy dodawaniu kątów. Z kolei w miarach gradowych kąt pełny dzieli się na 400^g (gradów), 1^g = 100^c ( centygradów, tzw „ce” -lub też minut gradowych), 1^c = 100^cc ( decymiligradów, tzw. „cece” - lub też sekund gradowych). W miarach gradowych mamy więc do czynienia z najbardziej rozpowszechnionym systemem dziesiątkowym. Miary stopniowe i gradowe w układzie jednostek SI używane są przejściowo, ponieważ oficjalną miarą jest miara łukowa radian ( rd ). Jest to kąt środkowy dla którego długość łuku jest równa promieniowi. Trudno sobie wyobrazić praktyczne zastosowanie radianów w pomiarach i realizacji, natomiast często używa się w analizach dokładnościowych gdzie wartości wyrażone w stopniach czy gradach trzeba doprowadzić do jednorodności. Często używa się określenia ρ (ro - stopniowe lub gradowe). Poniżej przedstawione będą wszystkie wartości ρ :

Ogólnie ρ = 1rd = 360^o/2π = 400^g/2π

ρ^o = 57.2958^o ρ^' = 3437.75^' ρ^'' = 206265^'' (3.1)

ρ^g = 63.6620^g ρ^c = 6366.20^c ρ^cc = 636620^cc (3.2)

Do zamiany stopni na grady i odwrotnie wychodzi się z proporcji :

(3.3)

Po przekształceniach otrzymamy :

Oraz

Przykład 1 : zamienić na grady 68°59′47″

W pierwszej kolejności musimy minuty i sekundy zamienić na dziesiąte stopnia.

59/60 + 47/3600 = 0.983333 + 0.013056 = 0.996389 i teraz należy 68.996389 × 10/9 = 76.6627^g

Przykład 2 : zamienić 145^g 95^c77^cc na stopnie minuty i sekundy

145.9577 × 9/10 = 131.36193^o - w tym momencie mamy stopnie i dziesiąte stopnia więc aby uzyskać minuty trzeba pomnożyć 0.36193 × 60^' = 21.7158^' Teraz mamy minuty i dziesiąte minuty, więc aby wyliczyć jeszcze sekundy trzeba pomnożyć 0.7158 × 60^'' = 43^'' - ostatecznie otrzymaliśmy : 131^o 21^'43^'' . Chcąc być pewnym wyniku końcowego można dokonać przeliczenia w „drugą stronę”. Współczesne kalkulatory pozwalają nam bardzo sprawnie przeliczać stopnie na grady i odwrotnie.

4.Wartości funkcji trygonometrycznych dla charakterystycznych kątów : 0º (0^g),30º (33.3333^g),45º (50^g),60º (66.6667^g) i 90º (100^g).

Dla przypomnienia sobie funkcji trygonometrycznych i ich niektórych wartości warto przypomnieć i przeanalizować następujące zagadnienia.

4.1. Koło trygonometryczne

Na rysunkach 4.1 a i b możemy przeanalizować wartości funkcji 0^o i 90^o,oraz ich zmiany pomiędzy tymi katami.

a) b)

Rys.4.1

4.2.Trójkąt równoboczny o bokach a=2

Wystawiając jedną z wysokości h uzyskujemy trójkąt prostokątny o pozostałych kątach 30^o i 60^o , rys.4.2

rys.4.2

Następnie po obliczeniu tej wysokości h = √3 z twierdzenia Pitagorasa wartości funkcji 30^o i 60^o można odczytać wprost z rysunku, przy okazji testując kalkulator z funkcjami. Wypiszmy więc cały komplet : sin 30^o = ½, cos 30^o = √3/2; tg 30^o = 1/√3 = √3/3; ctg 30^o = √3; sin 60^o = √3/2; cos 60^o = ½; tg 60^o = √3; ctg 60^o = 1/√3 =√3/3

4.3. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a=1

rys.4.3

Podobnie jak powyżej należy wcześniej wyliczyć z tw. Pitagorasa tym razem przeciwprostokątną wynoszącą √2 - rys.4.3.1 i również wprost z rysunku oczytać wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 45^o. Wynoszą one odpowiednio : sin 45^o = cos 45^o = 1/√2 = √2/2, oraz tg 45^o = ctg 45^o = 1

4.4.Tabele zmienności i znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach

W podanych poniżej tabelach zestawiono przebieg zmienności funkcji i ich wartości dla wspomnianych charakterystycznych kątów.

Tabela zmienności funkcji

Funkcja	0^g - 100^g	100^g - 200^g	200^g - 300^g	300^g - 400^g
sin	0 * 1	1 * 0	0 * -1	-1 * 0
Cos	1 * 0	0 * -1	-1 * 0	0 * 1
tg	0 * + ∞	- ∞ * 0	0 * + ∞	- ∞ * 0
Ctg	+ ∞ * 0	0 * -∞	+∞ * 0	0 * -∞

Wartości funkcji trygonometrycznych

α	Sin α	Cos α	Tg α	Ctg α
0° ( 0^g)	0	1	0	+ ∞
30°(33.3^g )	1/2	√3/2	√3/3	√3
45°( 50^g )	√2/2	√2/2	1	1
60°(66.7^g)	√3/2	1/2	√3	√3/3
90°( 100^g )	1	0	+ ∞	0

5.Funkcja odwrotna

Funkcją odwrotną do trygonometrycznej jest funkcja kołowa ( cyklometryczna ) oznaczana symbolem arc ( arc jest skrótem słowa łacińskiego arcus - łuk ). Korzystając z wcześniej omawianych wartości funkcji trygonometrycznych można zestawić kilka przykładów :

Sin 30^o = ½ więc funkcja odwrotna to arc sin ½ = 30^o ; cos 60^o = ½ → arc cos ½ = 60^o ; tg 50^g = 1 → arc tg 1 = 50^g i ctg 33.3333^g = √3 = 1.732051 → arc ctg 1.732051= 33.3333^g = 30^o

Obliczenie ostatniego przykładu było trochę trudniejsze, ponieważ chyba wszystkie kalkulatory z funkcjami posiadają następujące funkcje odwrotne : sin^-1; cos^-1 i tg^-1 co bierze się z tego, że ctg jest odwrotnością tg. W związku z tym należało obliczyć odwrotność 1/1.732051 = 0.577350 i dopiero teraz arc ctg 1.732051 = arc tg 0.577350 = 33.3333^g = 30^o

6.Obliczenie współrzędnych punktu na podstawie azymutu i długości

Orientację kierunku w terenie lub na mapie określa się przy pomocy azymutu, który jest kątem zawartym pomiędzy kierunkiem północy miejsca obserwacji, liczonym zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a danym kierunkiem w terenie. Szerzej z zagadnieniem azymutów można zapoznać się w [1] str.22. Mając azymut , długość i współrzędne miejsca obserwacji (pomiaru) możemy obliczyć współrzędne mierzonych punktów. Wszystkie nasze zabiegi zawsze będą się koncentrować na bezpośrednim bądź pośrednim określeniu długości i obliczeniu azymutu, ponieważ te dwa elementy rachunku współrzędnych nie zawsze będą podane wprost. Na podstawie rys.6, oraz podanych w tym przykładzie azymutów, długości oraz współrzędnych punktu M obliczyć współrzędne punktów P₁ i P₂.

rys.6

Dane : X_M = 24.37 m Y_M = 36.22 m A_MP1 = 42^g37^c77^cc d_MP1= 114.57 m

A_MP2 = 244^g38^c56^cc d_MP2 = 199.86 m

Wyróżnione w trójkątach prostokątnych MRP1 i MSP2 przyprostokątne MR = Δx_MP1, RP1 = Δy_MP1 oraz MS = Δx_MP2 i SP2 = Δy_MP2 nazywają się przyrostami współrzędnych odniesionymi do punktu M, który jak nadmieniono powyżej jest miejscem obserwacji lub inaczej nazywając-pomiaru. Przyrosty te mogą mieć wartości dodatnie lub ujemne, o czym decydują znaki funkcji trygonometrycznych. Kalkulatory z funkcjami trygonometrycznymi zapewnią nam właściwe znaki, co można sprawdzić przeliczając przedstawione poniżej obliczenia wg ogólnych wzorów :

przyrost Δx = d cos A (6.1)

przyrost Δy = d sin A

współrzędna X _{mierzonego punktu}= X _stanowiska+ Δx (6.2)

współrzędna Y _{mierzonego punktu}= Y _stanowiska+ Δy

Δx_MP1 = 114.57 x cos 42^g37^c77^cc = 90.11

Δy_MP1 = 114.57 x sin 42^g37^c77^cc = 70.76

Δx_MP2 = 199.86 x cos 244.3856^g = - 153.22

Δy_MP2 = 199.86 x sin 244.3856^g = - 128.33

Przyrosty te dodane algebraicznie do współrzędnych punktu M ( wzór 6.2) dadzą nam odpowiednio współrzędne punktów P1 i P2 :

X_P1 = 24.37 + 90.11 = 114.48 X_P2 = 24.37 - 153.22 = - 128.85

Y_P1 = 36.22 + 70.76 = 106.98 Y_P2 = 36.22 - 128.33 = - 92.11

7. Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych

Zadanie to, odwrotne do poprzedniego jest również bardzo ważne, ale trochę trudniejsze w części dotyczącej obliczenia azymutu.

7.1. Obliczenie azymutu, jego zależność od znaków przyrostów współrzędnych

Wspominana trudność polegać będzie na tym, że zawsze trzeba będzie zastanowić się nad tym w której ćwiartce ułoży się obliczany azymut. Można to rozpoznać po znakach przyrostów współrzędnych : w liczniku będziemy mieć zawsze Δy a mianowniku Δx. Następnie szkicując dodatkowo, orientacyjnie położenie zadanych punktów upewnimy się co do trafności rozpoznania przebiegu azymutu. W wyniku obliczenia funkcji odwrotnej zawsze wyliczymy kąt ostry „r” nazywany w geodezji „czwartakiem”. Do obliczeń funkcji odwrotnej użyjemy wartości bezwzględnych z podzielenia przyrostów współrzędnych, co będzie istotne w przypadku II i IV ćwiartki ponieważ w wyniku wspomnianego podzielenia będziemy mieć liczbę ujemną.

Patrząc na rysunek 7 możemy zestawić komplet możliwych do wyliczenia azymutów :

rys.7

Wariant 1 - I ćwiartka A = r +Δy/+Δx r = arctg +Δy/+Δx

Wariant 2 - II ćwiartka A = 200^g (180°) - r +Δy/-Δx r = arctg +Δy/-Δx (7.1)

Wariant 3 III ćwiartka A = 200^g (180°) + r - Δy/-Δx r = arctg -Δy/-Δx

Wariant 4 IV ćwiartka A = 400^g (360°) - r - Δy/+Δx r = arctg - Δy/+Δx

Jest jeszcze inna „szkoła” obliczania azymutów, która w przewiduje uwzględnianie znaków przyrostów przy obliczaniu funkcji odwrotnych. Wielkości azymutów otrzymamy z następujących wzorów :

I ćwiartka A = r

II ćwiartka A = 200^g + r

III ćwiartka A = 200^g + r

IV ćwiartka A = 400^g + r

Poniżej wyliczone zostaną wszystkie możliwe warianty w wersji uwzględniającej wartości bezwzględne :

Wariant 1- obliczyć azymut A _MN gdzie :

X_M = 10.00 Y_M = 10.00 oraz X_N = 25.00 i Y_N = 55.00

Szkicujemy orientacyjnie przebieg azymutu (rys.7.1) i obliczamy przyrosty współrzędnych :

Δy_MN = Y_N - Y_M = 55.00 - 10.00 = + 45.00 Δx_MN = X_N - X_M = 25.00 - 10.00 = + 15.00 W tym miejscu należy zwrócić uwagę na to, że indeksy dolne czyli litery MN tak przy oznaczeniu azymutu A, jak i przy oznaczeniu przyrostów Δy i Δx oznaczają, że punktem początkowym tak dla azymutu (miejsca obserwacji lub pomiaru) jak i przyrostów jest punkt M, a punktem końcowym N. Aby prawidłowo obliczyć przyrosty należy od współrzędnych punktu końcowego N odjąć współrzędne punktu początkowego M. Warto zauważyć, że azymuty odwrotne różnią się od pierwotnie zdefiniowanych o ±200^g (180°). W omawianym wariancie obydwa przyrosty są dodatnie więc azymut położony jest w pierwszej ćwiartce, czyli r = A.

Rys.7.1

(7.1)

Ponadto azymut odwrotny A_NM = 79.5167^g + 200.0000^g = 279.5167^g

Wariant 2 - obliczyć azymut A_CD gdzie :

X_C = 35156.44 Y_C = 533357.65 oraz X_D = 34000.00 i Y_D = 56278.77

Znowu wykonujemy orientacyjny szkic ( rys.7.2) i obliczamy przyrosty współrzędnych :

rys.7.2

Δy_CD = Y_D - Y_C = 56278.77 - 53357.65 = +2921.12

Δx_CD = X_D - X_C = 34000.00 - 35156.44 = - 1156.44

Analizując znaki przyrostów i patrząc na rys.7.2 widzimy, że azymut położony jest w II

ćwiartce, czyli A = 200^g - r, stąd

(7.2)

Azymut odwrotny A_DC = 123.9979^g + 200.0000^g = 323.9979^g

Wariant 3 - obliczyć azymut A_PQ gdzie :

X_P= - 15000.00 Y_P=2.00 oraz X_Q= - 30000.55 i Y_Q= - 37222.33

Po wykonaniu orientacyjnego szkicu (rys. 7.3) obliczamy przyrosty współrzędnych :

rys.7.3

Δy_PQ = Y_Q - Y_P = - 37222.33 - ( 2.00 ) = - 37224.33

Δx_PQ = X_Q - X_P = -30000.55 - ( - 15000.00 ) = - 15000.55

Obydwa przyrosty współrzędnych są ujemne więc azymut położony jest trzeciej ćwiartce.

(7.3)

Azymut odwrotny A_QP = 275.6130^g - 200.0000^g = 75.6130^g

Wariant 4 - obliczyć azymut A_2-7 gdzie :

X₂ = - 77.27 Y₂ = 125.55 oraz X₇ = - 0.01 i Y₇ = 13.15

Podobnie do trzech przedstawionych wariantów obliczmy przyrosty i wykonajmy szkic ( rys.7.4)

Δy_2-7 = Y₇ - Y₂ = 13.15 - 125.55 = - 112.40

Δx_2-7 = X₇ - X₂ = -0.01 - ( - 77.27 ) = 77.26

rys.7.4

(7.4)

Azymut odwrotny A_7-2 = 338.3370^g - 200.0000^g = 138.3370^g

7.2. Obliczenie długości

Obliczenie długości ze współrzędnych nie nastręcza żadnych trudności, mamy tutaj do czynienia z twierdzeniem Pitagorasa. Wyliczone przyrosty współrzędnych są przyprostokątnymi, a poszukiwane długości przeciwprostokątnymi. Ogólny wzór na długość ze współrzędnych jest następujący :

(7.5)

stąd mamy odpowiednio : d_MN= 47.434 ; d_CD= 3141.70 ; d_PQ= 40133.12 ; d_2-7= 136.392

8. Obliczenie kąta ze współrzędnych

Obliczanie kąta(ów) ze współrzędnych będzie szeroko stosowane przy obliczaniu jednej ze współrzędnych biegunowych „α” przy przygotowywaniu danych do wytyczenia obiektów budowlanych metodą biegunową. Pojedynczy kąt α jest różnicą azymutów. W poniższym przykładzie (rys.8.1) obliczyć α (kąt kierunkowy), jak również d (promień wodzący) dla wytyczanego punktu P podstawie danych współrzędnych trzech punków, dwóch punktów osnowy realizacyjnej i jednego punktu wytyczanego obiektu budowlanego.

Dane : X₁=100.00 Y₁= 100.00 ; X₂ = 158.55 Y₂ = 192.33 i X_P = 80.00 Y_P = 12.22

Rys. 8.1

Posiłkując się przykładami z rozdziału 7 obliczymy najpierw poszczególne azymuty, które przebiegać będą odpowiednio w III i I ćwiartce, a następnie α i d.

α = A_1P - A_1-2 = 285.7386^g - 64.0218^g = 221.7168^g d_1P = 90.030 m

9. Wcięcie kątowe w przód

Wcięcie kątowe w przód [1] str.105, stosuje się w zagęszczaniu osnów geodezyjnych ( określa się wsp. płaskie x,y), a połączone z niwelacją trygonometryczną [1] str.141 daje możliwość określenia współrzędnych x,y,H niedostępnych punktów obiektów budowlanych, co się określa zagadnieniem przestrzennego wcięcia w przód [1] str.144. Pełny przykład wcięcia kątowego w przód przedstawiony jest w [1] str.106-107. Do pełnego zrozumienia zagadnienia potrzebne jest przypomnienie sobie twierdzenia sinusów, przy pomocy którego obliczymy w sposób pośredni jedną z długości do wcinanego punktu. Tak więc zgodnie z uwagą z rozdziału 6 koncentrujemy się na obliczeniu azymutu i długości do wcinanego punktu Q albo z punktu A, albo z punktu B, ponieważ rezultat końcowy będzie taki sam.

10. Wcięcie liniowe

Wcięcie liniowe również służy do zagęszczania osnów [1] str. 108, ale przede wszystkim służy do określania współrzędnych punktów niewidocznych ze stanowiska pomiarowego rys. 10.1.

Rys.10.1

W wyniku pomiaru inwentaryzacyjnego pomierzono metodą biegunową i określono współrzędne trzech rogów budynku (punkty 1,2 i 3). W czasie pomiaru dokonano obmiaru budynku wyznaczając tzw. czołówki. Dwie z nich ( 12.50 i 20.04 ) posłużą do kontroli wyznaczenia współrzędnych punktów 1,2 i 3 , gdzie długości czołówek porównane będą z długościami obliczonymi ze współrzędnych. Pozostałe czołówki 20.03 m i 12.51 wraz z punktami 1 i 3 posłużą do obliczenia współrzędnych punktu 4 - będzie to właśnie klasyczne wcięcie liniowe. Pełny przykład obliczenia współrzędnych punktów 1,2 i 3 przedstawiony będzie w rozdziale 13. A więc obliczmy teraz tylko współrzędne czwartego rogu ( punkt 4).

Dane : X₁ = 127,50 Y₁ = 140.00 ; X₃ = 115.00 Y₃ = 160.03 i d_1-4 = 20.03 oraz d_3-4 = 12.51

Podobnie jak przy obliczaniu wsp. z wcięcia kątowego musimy mieć i tutaj azymut i długość do wcinanego punktu. Obliczymy więc wsp. punktu 4 wychodząc z punktu 1. W trójkącie 1-4-3 mamy trzy boki, bowiem trzeci d_1-3 obliczyć można ze współrzędnych ( wzór 7.5), a korzystając z obliczonych przyrostów obliczymy też azymut A_1-3. Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczymy kąt γ, który odjęty od azymutu A_1-3 da nam poszukiwany azymut A_1-4. Odległość d_1-4 w tym wypadku mamy pomierzoną więc można będzie przystąpić do obliczeń końcowych. Obliczmy więc wszystko po kolei od samego początku mając na uwadze rozdział 7 :

A_1-3 = 135.5187^g d_1-3 = 23.61

12.51² = 20.03² + 23.611² - 2 × 20.03 × 23.61 cos γ stąd cos γ = 0.848085

i γ = arc cos 0.848085 = 35.5511^g i mamy poszukiwany azymut A_1-4 = 135.5187^g - 35.5511^g = 99.9676^g

Teraz zgodnie z przykładem z rozdziału 6 ( wzory 6.1 i 6.2 ) oblicza się przyrosty współrzędnych i same współrzędne :

Δx_1-4 = 20.03 cos 99.9676^g = 0.01 stąd X₄ = 127.50 + 0.01 = 127.51

Δy_1-4 = 20.03 sin 99.9676^g = 20.03 stąd Y₄ = 140.00 + 20.03 = 160.03

11. Przecięcie prostych

Z przecięciami prostych można mieć bardzo często do czynienia przy cyfrowej obróbce projektów zagospodarowania (obiektów budowlanych) terenu. Ponadto pomierzone obiekty mogą przecinać się z ramkami sekcyjnymi map, wówczas wylicza się współrzędne punktów przecięcia.

Obliczmy więc przecięcie się dwóch prostych zadanych czterema punktami A i B, oraz C i D (rys.11.1).

Rys.11.1

Dane : X_A= 30.00 Y_A=50.00 ; X_B= 125.33 Y_B= 188.56 oraz X_C= 70.00 Y_C= 60.00 ; X_D= 20.00 Y_D= 205.55

Do obliczenia współrzędnych punktu P można wyjść z każdego z czterech punktów o znanych współrzędnych. Zrobimy wyliczenie wychodząc z punktu B. Potrzebny więc będzie nam azymut A_BP i odległość d_BP . Nietrudno zauważyć, że azymut ten jest taki sam jak azymut A_BA. Nieco więcej pracy trzeba włożyć aby obliczyć długość d_BP. Obliczając jeszcze dwa azymuty : A_BD (tu mamy od razu A_DB = A_BD+200^g ) i A_DC obliczymy z ich odpowiednich różnic kąty α i β. W tym momencie mając w trójkącie dwa kąty i bok d_BD ( obliczony ze wsp.) można bok d_BP obliczyć z twierdzenia sinusów. Tak więc :

A_BP = A_BA = 261.6354^g ( III ćwiartka ) ; α = A_BA - A_BD = 261.6354^g - 189.8189^g = 71.8165^g

β = A_DB - A_DC = 389.8189^g - 321.0654^g = 68.7535^g d_BD = 106.691

stąd d_BP = 106.691 × sin 68.7535^g / sin 59.4300^g = 117.075

Δx_BP = 117.075 × cos 261.6354^g = -66.36 stąd X_P = 125.33 - 66.36 = 58.97

Δy_BP = 117.075 × sin 261.6354^g = - 96.45 stąd Y_P = 188.56 - 96.45 = 92.11

12. Obliczenie współrzędnych punktu pomierzonego metodą rzędnych i odciętych [1] str.118 i zadanie odwrotne tzn. obliczenie rzędnej i odciętej na podstawie zadanych współrzędnych

Obliczanie współrzędnych punktów pomierzonych metodą rzędnych i odciętych ( m. domiarów prostokątnych) z uwagi na jej wypieranie przez metodę biegunową będzie wykonywane sporadycznie. Ta sama metoda w projektowaniu obiektów budowlanych będzie miała jednak szerokie zastosowanie. Zadanie odwrotne tzn. obliczanie rzędnych i odciętych będzie miało częste zastosowanie przede wszystkim w projektowaniu w sytuacjach, kiedy będzie zachodziła potrzeba sprawdzania równoległości obiektów budowlanych.

12.1. Obliczyć współrzędne jednego z narożników ( punktu osiowego nr 1) budynku, który ma być równoległy do ulicy o zdefiniowanej dwoma punktami M i N wg. danych jak na rys. 12.1 i tabeli 12.1

rys. 12.1

Dane : X_M = 1500.00 Y_M = 1000.00 oraz X_N = 950.00 Y_N = 1300.00

Tabela 12.1

Nr pkt.	Odcięte „d”	Rzędne „h”
1	150.00	40.00
2	175.00	40.00
3	175.00	54.00
4	150.00	54.00

W obliczeniu współrzędnych punktu 1 można wyróżnić dwa etapy, a mianowicie obliczenie najpierw współrzędnych punktu 1', czyli jego rzutu prostopadłego na prostą MN, co jest klasycznym, często występującym zagadnieniem obliczenia współrzędnych punktu na prostej. W następnej kolejności wylicza się ostatecznie współrzędne punktu 1. Z reguły wylicza się te współrzędne w jednym ciągu obliczeniowym . Długości mamy więc potrzebne są nam jeszcze azymuty, które wyliczymy zgodnie z rozdziałem 7.

A_N1' = A_NM = 368.2106^g natomiast A_1'-1 = A_NM - 300^g = 68.2106^g co wynika bezpośrednio z rysunku.

Teraz zgodnie z rozdz. 6 trzeba obliczyć przyrosty i wsp. ostateczne :

Δx_N1' = 150.00 × cos 368.2106^g = 131.684 → X_1' = 950.00 + 131.684 = 1081.684 ( wsp. punktu 1'

Δy_N1' = 150.00 × sin 368.2106^g = - 71.828 → Y_1' = 1300.00 - 71.828 = 1228.172 na prostej )

Δx_1'-1 = 40.00 × cos 68.2106^g = 19.154 → X₁ = 1081.684 + 19.154 = 1100.84 ( ost. wsp.

Δy_1'-1 = 40.00 × sin 68.2106^g = 35.116 → Y₁ = 1228.172 + 35.116 = 1263.29 punktu 1)

W podobny sposób można wyliczyć współrzędne pozostałych punktów a poniżej w tabeli zestawione zostały obliczone współrzędne wszystkich punktów :

Tabela 12.2

Nr pkt.	X	Y
1	1100.84	1263.29
2	1122.79	1251.32
3	1129.49	1263.61
4	1107.54	1275.58

12.2. Sprawdzić czy pomierzony budynek jest równoległy do osi ulicy na podstawie danych wg. oznaczeń jak na rys. 12.2

rys.12.2

Do rozwiązania tego zadania przyjmijmy dane z poprzedniego rozdziału. Sprawdzenie wykonamy w oparciu o prostą NM z początkowym punktem N (można również uczynić to przyjmując prostą MN). Wyliczając dla każdego z badanych punktów h i d odpowiemy na nurtujące nas pytanie porównując rzędne h. Jeżeli w trójkącie prostokątnym 1N1' obliczymy ze współrzędnych przeciwprostokątną d_1N oraz kąt α z różnicy azymutów, to właściwie zadanie już będzie rozwiązane, ponieważ pozostanie rozwiązanie nam trójkąta prostokątnego :

d_N1 = 155.241 A_N1 = 384.8010^g A_NM = 368.2106^g α = 384.8010^g - 368.2106^g = 16.5904^g

h = 155.241 × sin 16.5904^g = 40.00 d = 155.241 × cos 16.5904^g = 150.00

W podobny sposób będzie można wyliczyć rzuty prostokątne ( rzędne i odcięte) pozostałych punktów uzyskując rezultaty jak w tabeli 12.1. Wniosek jest jednoznaczny - budynek jest równoległy do osi ulicy.

13. Obliczenie współrzędnych punktu pomierzonego metodą biegunową i zadanie odwrotne tzn. obliczenie współrzędnych biegunowych na podstawie zadanych współrzędnych prostokątnych.

Metoda biegunowa jest współcześnie metodą dominującą. Rozwiążmy zadanie na przykładzie obliczenia współrzędnych trzech punktów 1,2,3 - rys.13.1 ( rys. jak w rozdziale 10, z dodatkowymi elementami).

Rys.13.1

Na stanowisku S (biegunie ) pomierzono kierunki k_i do punktów osnowy i mierzonych szczegółów oraz odległości d (różnymi instrumentami, o czym będzie w rozdziale II.A.1) zredukowanymi ostatecznie na poziom lokalny d_L. Rozważymy przypadek ogólny kiedy kąt kierunkowy na punkt początkowy ( pierwszy punkt nawiązujący) jest dowolny. W tabeli 13.1 przedstawione są wyniki pomiaru ze współrzędnymi osnowy geodezyjnej ( poligony S,M,N ) wraz z kolumnami zawierającymi obliczenia :

Tabela 13.1

Biegun (stan.)	Cel	K^g (kierunek)	dL m (odl.zred.)	α^g (kąt kierunkowy)	A^g = ASM + α	Δx =dL× cosA Δy =dL× sinA	X Y
S X=100.00 Y=100.00	M	15.247	42.41 (42.43)	------------	350.000	---- ----	130.00 70.00
		N	171.017	55.21 (55.23)	155.770	105.770 ( 105.772)	---- ----	95.00 155.00
		1	126.904	48.54	111.657	61.657	27.50 40.00	127.50 140.00
		2	142.407	42.72	127.160	77.160	15.00 40.00	115.00 140.00
		3	149.659	61.88	134.412	84.412	15.00 60.03	115.00 160.03

Tak jak w poprzednich przykładach tutaj też musimy doprowadzić do sytuacji, kiedy do każdego mierzonego punktu będziemy mieć azymut i zredukowaną na poziom lokalny długość. Długości mamy z pomiaru, azymuty musimy obliczyć. Zauważmy, jeżeli do obliczonego azymutu kierunku przyjętego za początkowy ( z reguły przyjmuje się dłuższą celową) A_SM dodamy kąty kierunkowe α to otrzymamy pożądane azymuty. Pomiary geodezyjne wykonuje się z niezbędnymi kontrolami, ponieważ znaki geodezyjne (punkty poligonowe) w terenie mogą być z różnych przemieszczone. W danym przypadku porównać możemy obliczony azymut A_SN z dodania kąta kierunkowego do azymutu kierunku początkowego, z tym samym azymutem obliczonym ze współrzędnych punktów S i N. Inaczej patrząc na tą kontrolę, kąt kierunkowy do punktu N, można porównać z kątem obliczonym ze współrzędnych punktów MSN. Ponadto długości pomierzone można porównać z długościami obliczonymi ze współrzędnych, które w tabeli podano w nawiasach. Kąty kierunkowe oblicza się odejmując od poszczególnych kierunków kierunek na punkt początkowy (15.247). Można uniknąć tej wyliczanki ustawiając na kierunku początkowym odczyt 0.000^g.

14. Niwelacja trygonometryczna

Niwelacja trygonometryczna [1] str. 141 to jeden ze sposobów określenia wysokości punktów, gdzie wykorzystuje się związek trygonometryczny pomiędzy kątem zenitalnym z ( lub pionowym β ) a odległością poziomą d ( lub ukośną d' ). Odległość poziomą d czasami określa się w sposób pośredni co ma miejsce przy tzw. przestrzennym wcięciu w przód. Dla tzw. odległości „krótkich” do ok. 300 m niwelacja jest pojęciowo prosta. Pewne problemy rozpoczynać się będą kiedy w wynikach obliczeń zechcemy uwzględniać wpływ krzywizny ziemi i refrakcji. Dla 300 m sumaryczny składnik tych dwóch poprawek wynosi 6 mm patrz [1] str.143. Ponadto zawsze trzeba pamiętać o uwzględnianiu w obliczeniach błędu miejsca zera lub inaczej nazywając błędu indeksu „ε” [1] str.102. Obliczmy wysokość punktu B - H_B według poniżej przedstawionego przykładu na rys. 14.1 przy następujących danych : wysokość stanowiska H_A = 204.226; wysokość instrumentu i_A = 1,428; kąt zenitalny pomierzony pomierzony w dwóch położeniach lunety z_I = 92.364^g i z_II = 307.630^g ; odległość ukośna pomierzona dalmierzem elektromagnetycznym d' = 285.266 m; wysokość tyczki z lustrem dalmierczym s = 1.300 m.

Rys.14.1

H_B = H_A + i_A + Δh - s gdzie Δh = d' × cos z ( w przypadku dysponowania d_L Δh = d_L× ctg z ) (14.1)

Do obliczeń używa się kąta zenitalnego z pierwszego położenia skorygowanego o błąd indeksu ε. z = z_I - ε W naszym przypadku zgodnie ze wzorem (3.19) z[1] :

stąd z = z_I - ε = 92.364 - ( -0.003) = 92.367

Przytoczone wyliczenie jest bardzo poprawne, ale nieco skomplikowane. Na pytanie o ile trzeba korygować kąty zenitalne w pierwszym położeniu ( w drugim o tą samą wartość ) wystarczy rzut oka na sumę obydwu położeń, która powinna wynosić 400^g → 92.364 + 307.630 = 399.994 - widać od razu, że poprawka ε = 0.003^g , zaś w przypadku gdy suma kątów z obydwu położeń > 400^g poprawkę wynoszącą połowę nadmiaru trzeba odjąć od kąta zenitalnego z pierwszego połozenia.

Tak więc H_B = 204.226 + 1.428 + 285.266 × cos 92.367^g - 1.300 = 238.475 m

15. Transformacja współrzędnych

Transformacja współrzędnych ma zastosowanie w projektowaniu i wykonawstwie, kiedy cyfrowo opracowany w układzie lokalnym plan zagospodarowania trzeba przetransformować do układu mapy. Aby wykonać transformację współrzędnych trzeba mieć minimum dwa punkty dostosowania, czyli posiadające współrzędne w obydwu układach. Z reguły mamy do czynienia z przesunięciem i skręceniem układów rys. 15.1

Rys. 15.1

WZORY FORMULARZY GEODEZYJNYCH

1

21

Jerzy Gajdek

---