PODSTAWY TEORII WARTOŚCI PIENIĄDZA W CZASIE

Źródła zmiany wartości pieniądza w czasie :

Przyrost wartości kapitału z upływem czasu jest naturalną konsekwencją jego udziału w racjonalnym procesie pracy.

Tym samym można stwierdzić, że przyszłej wartości kapitału odpowiada jego mniejsza wartość w chwili obecnej.

Zmiana wartości pieniądza w czasie spowodowana jest również inflacją, która odzwierciedla dynamiczne stany otoczenia gospodarczego.

Podstawowe formuły matematyczne dotyczące przyszłej wartości pieniądza:

PV₀ - kapitał początkowy,

FV₁ - kapitał po upływie jednego roku.

Wskaźnik R tempa rocznego przyrostu kapitału :

R =

_{__ ___}

W przypadku depozytu PVo złożonego do banku na 1 rok, przy tempie R rocznego przyrostu (oprocentowaniu rocznym), na koniec roku będziemy dysponowali kwotą FV₁ :

FV₁ = PV₀ + R
PV₀ = PV₀
(1 + R)

W przypadku pobranego kredytu :

Kwota zwrotu = Kwota kredytu + Odsetki od kredytu

Odsetki od kredytu są ceną za udostępnienie określonej kwoty na określony okres czasu.

Roczne (za 360 dni) odsetki od kredytu =

= Kwota kredytu x Roczna ( R ) stopa procentowa kredytu.

Przy naliczenia odsetek za korzystanie z kredytu w okresie „t” dni,

odsetki za ten okres = Kwota kredytu x R

gdzie : t - okres korzystania z kredytu w dniach,

R - roczna stopa oprocentowania kredytu,

360 - długość roku bankowego w dniach.

Oznaczając przez „r” oprocentowanie kredytu za okres „t” dni

można napisać :

R
= r

Przykład :

Oblicz kwotę zwrotu (KZ) dla kredytu K= 100 000zł. udzielonego na 3 m-ce (90 dni), oprocentowanego stopą roczną R = 40 % i spłaconego jednorazowo.

Oprocentowanie za 3 m-ce r = 40 %
= 10% = 0,10

KZ = 100 000 + 100 000
10% = 100 000(1 + 0,10) = 110 000zł,

gdzie 100 000
10 % = 10 000 zł. jest kwotą odsetek za 3 m-ce.

Przykład : Oblicz maksymalną roczną R stopę oprocentowania kredytu zaciągniętego na inwestycję wymagającą bieżącego zaangażowania 20 tys. zł, która w ciągu 3 m-cy ma przynieść 25 tys. zł. przychodu. Kredyt zostanie spłacony po 3 m-cach.

Założenie wstępne : odsetki nie mogą przekroczyć dochodu =

= 25 000 zł - 20 000 zł = 5 000 zł.

Ponieważ :

Ods. = Kredyt x R
, to R =
-
R

stąd :

R =
1 = 100 %

Gdyby zaistniała potrzeba naliczenia odsetek za okres dłuższy, równy „n” wielokrotności 3 m-cy, gdzie 3 m-ce przyjmiemy za okres bazowy, odsetki te można naliczyć wg. wzoru :

Odsetki = K x (r x n).

Przyjmując dane z Przykładu 1 ale przy założeniu, że kwota zwrotu KZ będzie spłacona jednorazowo po upływie 1 roku, tzn. po n = 4 okresach bazowych otrzymamy :

KZ = 100 000 + 100 000
(0,10
4) =

= 100 000
(1 + 0,40) = 140 000zł.

Uwzględniając powyższe, algorytm oprocentowania prostego, które polega na naliczania odsetek od kapitału początkowego

PVo proporcjonalnie do upływu czasu oraz do wysokości oprocentowania za okres bazowy, można zapisać w sposób następujący :

FVn = PVo + PVo
(r
n) = PVo
( 1 + r
n)

gdzie :

FVn - końcowa wartość kapitału wraz z odsetkami naliczonymi

za „n” okresów bazowych,

PVo - kapitał początkowy oprocentowany w „n” okresach

bazowych,

r - wysokość oprocentowania za 1 okres bazowy, wyrażona w

liczbie dziesiętnej,

n - liczba okresów bazowych,

- symbol mnożenia ;

Łatwo zauważyć, że tempo narastania odsetek w oprocentowaniu prostym ma charakter liniowy, proporcjonalny do upływu czasu i oprocentowania odniesionego do określonej jednostki czasu.

r R

0 t 1 rok (360 dni)

Oprocentowanie złożone

W oprocentowaniu złożonym odsetki za kolejne okresy bazowe naliczane są od kapitału początkowego powiększanego o naliczone wcześniej odsetki.

Po upływie 1-szego okresu bazowego :

FV₁ = PV₀ + r
PV₀ = PV₀
(1 + r),

Po upływie 2-giego okresu bazowego :

FV₂ = FV₁ + r
FV₁ = FV₁
(1 + r) = PV₀
(1 + r)(1 +r) =

= PV₀
(1 + r)²

Po upływie n -tego okresu bazowego :

FV_n = PV₀(1 + r)ⁿ Jest to formuła % składanego

Przykład

Jakim kapitałem FV₃ można dysponować po 3 latach,

składając do banku kapitał PV₀ = 455 zł przy rocznym

oprocentowaniu (tempie pomnażania) r = 30 % /0,30/

Rozwiązanie : FV_n = PV₀(1 + r)ⁿ

FV₃ = 455zł x (1 + 0,30)³ = 455 x 2,197 = 1 000 zł.

FV₃ ---------------------------------------------------

∆₃ = r
FV₂

FV₂ --------------------------------------------

∆₂ = r
FV₁

FV₁ -------------------------------

PV_o --------------- ∆₁=r
PVo

lata

0 1 2 3

FV₃ = PVo + ∆₁ + ∆₂ + ∆₃

Rodzaje stóp procentowych

1. Stopa procentowa nominalna i efektywna

Stopa procentowa nominalna określa wysokość oprocentowania kapitału w okresie bazowym.

Np. : jeżeli bank oprocentowuje depozyty stopą 20 % w skali roku a odsetki dolicza raz w roku, to roczna stopa procentowa nominalna wynosi 20 % i w takim samym stopniu następuje realny przyrost kapitału w ciągu roku, co oznacza że stopa procentowa nominalna jest równa stopie efektywnej.

Jeżeli ww. bank dokonywałby doliczania odsetek w okresach półrocznych, to długość okresu bazowego wynosiłaby ½ roku a oprocentowanie „r” w tym okresie wynosiłoby ½ oprocentowania rocznego tzn. 10 %. Liczba okresów bazowych w roku wynosiłaby 2 a efekt przyrostu kapitału w ciągu roku byłby większy od 20 %.

Przykład :

Bank podaje, że roczne oprocentowanie depozytów R wynosi 20% przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Jaką efektywną roczną stopę procentową oferuje w ten sposób bank swoim klientom ?

□ 20 % ?

□ 21 % ?

□ 21,5 % ?

Rozwiązanie :

Efektem oprocentowania depozytu 1 raz w roku byłby 20 % przyrost depozytu tzn. stopa procentowa nominalna byłaby równa stopie efektywnej. Ponieważ bank oprocentowuje depozyty 2 x w roku, doliczając odsetki do depozytu po upływie ½ roku, to efekt takiego oprocentowania wyraża formuła procentu składanego :

FVn = PVo(1 + r)ⁿ .

W konkretnym przypadku liczba okresów oprocentowania „n” w ciągu roku = 2 a półroczna stopa oprocentowania r=R/2 = 10 %.

Wobec powyższego wysokość odsetek rocznych wynosi :

Odsetki = PVo(1 + 0,10)² - PVo = PVo[(1 + 0,10)² - 1]

co oznacza, że Efektywna Roczna Stopa Procentowa (ERSP)

ERSP =
(1 + 0,10)² - 1 = 1,1² -1 = 0,21=21%

2. W przypadku bezpiecznych lokat bankowych :

1 + stopa procentowa lokat bankowych =

= (1+stopa realna)
(1+stopa inflacji),

co oznacza, że bezpieczne lokaty bankowe powinny być oprocentowane ponad inflację.

Stąd :

1 + stopa procentowa lokat bankowych

1 + stopa realna =
1 + stopa inflacji

3. Stopa kapitalizacji

Z § 9 rozporządzenia RM z dnia 21.09. 2004 r. w sprawie wyceny nieruchomości .... wynika, że stopa kapitalizacji odzwierciedla roczne tempo zwrotu środków poniesionych na nabycie nieruchomości i przedstawia relację stałego strumienia dochodu rocznego z nieruchomości do środków poniesionych na nabycie nieruchomości.

R =

Stopa kapitalizacji wyznacza akceptowaną w ramach określonej działalności gospodarczej stopę zwrotu zaangażowanego kapitału i obejmuje ona zarówno zwrot kapitału jak też dochód z tego kapitału, z uwzględnieniem ryzyka inwestowania w tę działalność.

4. Stopa dyskontowa

Zgodnie z § 10 ww. rozporządzenia RM stopa dyskontowa uwzględnia stopę zwrotu wymaganą przez nabywców nieruchomości........ przy uwzględnieniu stopnia ryzyka inwestowania w nieruchomość.

Stopa dyskontowa powinna uwzględniać :

1. stopę zwrotu z bezpiecznych inwestycji w długoterminowe papiery wartościowe gwarantowane przez Skarb Państwa - po redukcji wpływu inflacji, tzw. stopa bazowa,

2. premię za ryzyko inwestowania na rynku nieruchomości,

tzw. ryzyko specyficzne, będące sumą różnych rodzajów ryzyk.

r = r_b +
(model addytywny stopy dyskonta)

Obecna wartość pieniądza

Dyskontowanie jako odwrotność oprocentowania złożonego.

Obecna /teraźniejsza/ wartość kapitału, który mam otrzymać

w przyszłości.

Jeżeli :

FV_n = PV₀(1 + r)ⁿ to: PV₀ = FV_n

gdzie :
- współczynnik dyskontowy dla dochodu jednorazowego /zawsze mniejszy od 1/

Oznacza to, że obecna /teraźniejsza/ wartość jednorazowego dochodu PV /ale też straty lub nakładu/ jest mniejsza od jego przyszłej wartości FV w stopniu określonym przez współczynnik

dyskontowy dla dochodu jednorazowego.

Stopę dyskontową „r” można utożsamiać z tempem przyrostu zainwestowanego kapitału, co oznacza iż przyszła wartość FV np. przyszły dochód z nieruchomości zawiera w sobie przyrost kapitału początkowego. Stąd wniosek, że wartości obecnej odpowiada zdyskontowana /pomniejszona/ wartość przyszła.

Przykład

Jaka jest dzisiejsza wartość PV₀ dochodu w wysokości

1000 zł, który uzyskamy za 3 lata przy stopie dyskontowej r =30%

PV₀ = 1 000 zł

= 1 000 x 0,455 = 455 zł.

FV₃

PVo

0 1 2 3

Przykład

Nieruchomość została wyceniona przez rzeczoznawcę na kwotę 300 tys. zł. Właścicielowi przedłożono ofertę kupna za kwotę 400 tys. zł, ale płatną za trzy lata. Proszę ocenić, czy jest to oferta korzystna dla sprzedającego, a jeżeli nie, to jakiej kwoty powinien on zażądać. Do obliczeń przyjąć stopę dyskontową r = 22 %.

Rozwiązanie :

Oferta : FV₃ = 400 tys. zł.

Pytanie : jaka jest dzisiejsza wartość PV₀ tej kwoty przy

założeniach : n = 3, r = 22 %.

PV₀ = FV_n

400

PV₀ = ---------- = 400 x 0,551 = 220,4 tys. zł.

1,22³

Wniosek : oferta nie do przyjęcia, gdyż dzisiejsza

wartość zaproponowanej kwoty jest niższa od

aktualnej wartości nieruchomości.

Wysokość kwoty płatnej za 3 lata, której powinien zażądać właściciel nieruchomości / FV₃/.

FV_n = PV₀(1 + r)ⁿ ;

FV₃ = 300 x 1,22³ = 300 x 1,816 = 544,7 tys.zł.

FV₃ = ?

PVo=300 tys. zł.

0 1 2 3

Obecna wartość PV₀ sumy stałych strumieni dochodów rocznych (przepływów pieniężnych) o wartości D_const uzyskiwanych przez „n” lat przy stopie dyskontowej = r.

Formuła łącznego współczynnika dyskontowego.

D_const = 1

0 1 2 3 4 n lata

PV₀

Zakładając D_const = 1 otrzymujemy :

PV₀ = 1
+ 1
+ 1
+1
+++ 1
=

= 1

= 1 razy łączny współczynnik dyskontowy

Po podzieleniu licznika i mianownika przez wyrażenie (1 + r)ⁿ /co nie zmienia wartości ułamka/ łączny współczynnik dyskontowy przyjmuje postać :

1 -

r

dla q = (1 +r) otrzymujemy : qⁿ - 1

qⁿ(q - 1)

PV₀ odpowiada kapitałowi, który warto zainwestować w przedsięwzięcie przynoszące stałe strumienie dochodów rocznych przez n lat przy założeniu, że roczne tempo zwrotu zainwestowanego kapitału = r

Obecna wartość sumy przyszłych stałych strumieni dochodów rocznych uzyskiwanych w nieograniczonym /nieskończonym/ okresie.

D D = constans

0 1 2 3 4 n - do PV₀ nieskończoności

1 -

PV₀ =D
gdy n dąży do nieskończoności, to

r

wyrażenie
osiąga wartość 0, stąd

PV₀ =D

; wyrażenie
- współczynnik kapitalizacji W_k -

odzwierciedla okres zwrotu środków

wydanych na inwestycję przynoszącą w/w dochody.

Obecna wartość przedsięwzięcia inwestycyjnego

przynoszącego przez n lat strumienie stałych dochodów rocznych, którego wartość po n latach wynosi RV / wartość rezydualna /

D_const RV

0 1 2 3 4 n

PV₀

PV₀ = D_const
+

Obecna wartość PVo sumy stałych strumieni dochodów

rocznych uzyskiwanych w długim okresie w przypadku,

gdy generowanie dochodów nastąpi w początku n-tego roku

(1-szy dochód powstanie w końcu n - tego roku).

D_const

PVo 1 2 n n+1 n+x

PV_n = D
= D
W_k

PVo = D
W_k

= D

;
= W_kn

PVo =D
W_kn ; gdzie : W_kn - współczynnik kapitalizacji odłożony

Obecna wartość PVo sumy przyszłych strumieni stałych dochodów, z których 1-szy wystąpi w czasie teraźniejszym.

D_const

0 1 2 3 n - 1 n

PVo

1 1

1 -

(1 + r)^n-1 1 - (1 + r)^n-1

PVo = D + D
= D
(1 + )

1 r

1 -

(1 + r)^n-1

Gdy n dąży do nieskończoności, to

PVo = D + D

= D + D
W_k = D
(1 + W_k)

Przykłady : Oblicz dzisiejszą wartość PVo wpływów z dzierżaw

ustalonych na poniższych warunkach, przyjmując r = 10 %

1. Okres dzierżawy - 15 lat.

- wysokość czynszów płatnych

w końcu każdego roku - 1 000 zł.

1 2 3 4 5 6 15

(1 + r)ⁿ - 1 1,1¹⁵ - 1

PV₀ = D
, PVo = = 1 000 x 7,606 = 7606 zł

(1 + r)ⁿ
r 1,1¹⁵
0,10

2. Okres dzierżawy - 15 lat,

- wysokość czynszów płatnych

w końcu roku, począwszy od 6 - tego roku. - 1000 zł.

PV₀

0 1 2 3 4 5 6 7 8 15

1,1¹⁰ - 1 1

PVo = 1000

=1000x 6,144x0,6207 = 3814zł

1,1¹⁰
0,10 (1 + r)⁵

3. Okres dzierżawy - 70 lat.

- wysokość czynszów płatnych

na początku każdego roku - 1000 zł.

PV₀

0 1 2 3 69 70

1,1⁶⁹ - 1

PVo = 1000 + 1000
= 1000 + 1000 x 9,986 = 10986zł

1,1⁶⁹
0,1

PVo =1000 + 1000

--- = 1000 + 1000

=1000 + 1000
10 =11000zł.

Przykład :

Dyskontowanie a oprocentowanie (wyjaśnienie do przykładu 1 str.11)

Założenie : D_{1 - 15} = 1 000; r = 10 %

PV_o = D_n

FV_n = PV_o
(1 + r)ⁿ

1. PV_o =
   = 1000 x 0,909 = 909 FV₁ = 909(1 + 0,1)¹ = 1000

PV_o =
= 1000 x 0,826 = 826 FV₂ = 826(1 + 0,1)² = 1000

3) PV_o = = 751 FV₃ = = 1000

4) PV_o = = 683 FV₄ = = 1000

5) PV_o = = 621 FV₅ = = 1000

6) PV_o = = 565 FV₆ = = 1000

7) PV_o = = 513 FV₇ = = 1000

8) PV_o = = 466 FV₈ = = 1000

9) PV_o = = 424 FV₉ = = 1000

10) PV_o = = 386 FV₁₀ = = 1000

11) PV_o = = 351 FV₁₁ = = 1000

12) PV_o = = 319 FV₁₂ = = 1000

13) PV_o = = 290 FV₁₃ = = 1000

14) PV_o = = 263 FV₁₄ = = 1000

15) PV_o = = 239 FV₁₅ = 239(1 + 0,1)¹⁵ = 1000

---------- --------

∑= 7606 ∑=15 000

Przykład :

Sposoby rozwiązań alternatywnych dot. przykładu ze str. 11pkt.2

1. poprzez obliczenie sumy kolejno dyskontowanych dochodów uzyskiwanych w latach od 6 do 15 (łącznie dziesięciu dochodów)

₁₅ PV₀ =
1000

1) PV ₍₆₎ = 1000 x 0,5645 = 564,5

2. PV ₍₇₎ = 1000 x 0,5132 = 513,2

3. 466,5

4. 424,1

5. 385,5

6. 350,5

7. 318,6

8. 289,7

9. 263,3

10. 239,4

∑ = 3815,3

b) poprzez odjęcie od wyniku z przykładu 1, (który obejmuje sumę zdyskontowanych piętnastu dochodów), sumy zdyskontowanych pierwszych pięciu dochodów.

(1 + 0,1)⁵ - 1

7606 - 1000 ----------------- = 7606 - 1000
3,7908 = 3815

(1 + 0,1)⁵ 0,1

(1 + 0,1)¹⁵ - 1

1000 -----------------

(1 + 0,1)¹⁵ 0,1

Dzisiejsza wartość PVo przyszłych długotrwałych strumieni dochodów, których wartość będzie ulegała zmianie w przewidywanej przyszłości /okresie prognozy/ na skutek dających się określić zmian koniunkturalnych

Stopa dyskontowa = „r”, okres prognozy = n lat

D₁ D₂ D₃ D_n D_n

0

PVo 1 2 3 n n+1 n+2 → i dalsze

lata

↓

RV = D_n

PV₀ = D₁
+ D₂
+ D₃
++D_n
+ RV

gdzie: RV - wartość rezydualna, przedstawiająca skapitalizowaną wartość stałego długotrwałego strumienia dochodów występujących po okresie prognozy.

Przykład.

Ustal, czy warto zainwestować 100 000 zł. w przedsięwzięcie, które przyniesie długotrwałe dochody w wysokości 10 000 zł. rocznie począwszy od 3 - ciego roku, przy czym dochód po 1-szym roku wyniesie 3 000 zł. a po drugim roku 7 000 zł.

Stopa dyskontowa wynosi 10 %.

Rozwiązanie : inwestycja będzie opłacalna, gdy obecna wartość

przyszłych dochodów jest większa od zainwestowanego kapitału.

PVo = 3 000
0,9091+7 000
0,8264 +

0,8264 =

= 2727,3 + 5784,8 + 82 640 = 91 152,1 zł.

Odpowiedź : inwestycja nie jest opłacalna

1

---