Podstawy matematyki nansowej
Omówimy tutaj podstawowe poj¦cia matematyki nansowej. Jest to dobre miejsce, gdy» za-
gadnienia te wi¡»¡ si¦ z ci¡gami, w szczególno±ci z ci¡giem arytmetycznym i geometrycznym.
Omówimy zagadnienie lokowania pieni¦dzy w banku i spªaty kredytu. Ograniczymy si¦ do naj-
prostszych sytuacji, gdy oprocentowanie lokaty lub kredytu jest staªe.
Procent prosty i skªadany
Na pocz¡tek przedstawimy kilka denicji:
procent prosty odsetki naliczane od kapitaªu co pewien ustalony okres czasu nie s¡ do tego
kapitaªu dopisywane, zatem za ka»dym razem otrzymujemy tyle samo odsetek i stan naszych
oszcz¦dno±ci tworzy post¦p arytmetyczny.
procent skªadany do kapitaªu s¡ dopisywane odsetki naliczone od kapitaªu, a zatem w na-
st¦pnym razem odsetki liczone s¡ od nowego, wi¦kszego kapitaªu. Stan naszych oszcz¦dno±ci
tworzy post¦p geometryczny.
kapitalizacja odsetek dopisanie odsetek do kapitaªu;
stopa nominalna stopa oprocentowania wzgl¦dem jednostki czasu (najcz¦±ciej 1 roku) liczo-
na tak jakby±my liczyli zgodnie ze wzorem na procent prosty (czyli bez uwzgl¦dnienia kapita-
lizacji odsetek). Je±li w ci¡gu roku odsetki s¡ naliczane n razy, za ka»dym razem w wysoko±ci
q
%, to stopa nominalna wynosi p = nq. Gdy co miesi¡c naliczane s¡ odsetki w wysoko±ci 0,3%,
to stopa nominalna wynosi 12 · 0,3% = 3,6%. Odwrotnie, je±li stopa nominalna wynosi 4,8% a
odsetki s¡ naliczane co dwa miesi¡ce, to za ka»dym razem bank nalicza odsetki w wysoko±ci
4,8%
6
= 0,8%
.
stopa efektywna rzeczywisty, procentowy przyrost kapitaªu (czyli z uwzgl¦dnieniem kapi-
talizacji odsetek).
Przykªad 6.1. Je±li mówimy, »e oprocentowanie w skali roku (roczna stopa nominalna) wynosi
12%, a kapitalizacja odsetek nast¦puje miesi¦cznie, oznacza to, »e co miesi¡c do kapitaªu jest
dopisywane
12%
12
= 1%
odsetek, za± stopa efektywna wynosi (1 + 0,01)
12
≈ 12,68%
.
Kilka wzorów
Niech p stopa nominalna; p
e
stopa efektywna, n liczba kapitalizacji w ci¡gu jednostki czasu
(roku), t liczba lat, K
t
- kapitaª po t latach. Wtedy
K
1
=
n
razy
z
}|
{
1 +
p
100
n
!
1 +
p
100
n
!
· · ·
1 +
p
100
n
!
=
1 +
p
100
n
!
n
K
t
= K
0
1 +
p
100
n
!
t·n
p
e
= 100
"
1 +
p
100
n
!
n
− 1
#
Ciekawostka. Zauwa»my, co si¦ b¦dzie dziaªo, gdy kapitalizacje b¦d¡ nast¦powaªy coraz
cz¦±ciej (czyli n zwi¦ksza si¦). Rozwa»a si¦ tak»e kapitalizacj¦ ci¡gª¡ (odsetki s¡ obliczane i dopi-
sywane na bie»¡co). Poniewa»
1 +
x
n
n n→∞
−−−→ e
x
, to wtedy mamy
K
1
= K
0
e
p
100
K
t
= K
0
e
t
p
100
p
e
= 100
h
e
p
100
− 1
i
1
Oczywi±cie, we wszystkich przykªadach i zadaniach porównuj¡cych oferty dwóch banków za-
kªadamy, »e wszelkie inne szczegóªy oferty poza oprocentowaniem i kapitalizacj¡ odsetek, s¡
identyczne. Jest to zaªo»enie sensowne gdy porównujemy lokaty (czemu, tak na prawd¦ sªu»¡
te rozwa»ania), cho¢ i w tym wypadku banki si¦ ró»ni¡ stopniem swobody w dysponowaniu
pieni¦dzmi i karami za zerwanie lokaty (wcze±niejsze wypªacenie cz¦±ci lub wszystkich pieni¦dzy).
Porównanie kont osobistych jest du»o bardziej skomplikowane ze wzgl¦du na ich funkcj¦ raczej
zarz¡dzania pieni¦dzmi ni» oszcz¦dzania pieni¦dzy. W przypadku kont osobistych oprocentowa-
nie zwykle ma drugorz¦dne znaczenie, w stosunku do kosztu prowadzenia takiego konta, kosztu
kart pªatniczych, dost¦pu do bankomatów, opªat za przelewy i wielu innych usªug oferowanych
w ramach konta osobistego.
Przykªad 6.2. Lokujemy 10 000 zª na dwa lata w banku, który oferuje lokat¦ z miesi¦czn¡
kapitalizacj¡ odsetek o rocznej stopie nominalnej 6%. Jaki b¦dzie nasz zysk?
Rozwi¡zanie: Kapitaª K
0
= 10 000
, stopa nominalna p = 6, kapitalizacja jest miesi¦czna, czyli
mamy n = 12 kapitalizacji w ci¡gu roku. Zatem zgodnie z powy»szym wzorem
K
2
= 10 000
1 +
6
100 · 12
24
= 11 271,60
Zatem zysk wynosi 1 271,61 zª.
Przykªad 6.3. Jaki byªby nasz zysk, gdyby kapitalizacja nast¦powaªa raz w roku
Rozwi¡zanie: W stosunku do poprzedniego zadania zmianie ulega jedynie liczba kapitalizacji
tutaj n = 1 (jedna kapitalizacja rocznie). St¡d
K
2
= 10 000
1 +
6
100
2
= 11 236
Zatem zysk wynosi 1 236,00 zª.
Przykªad 6.4. Bank Zbbieraj SA oferuje lokat¦ o stopie nominalnej 24% i miesi¦cznej kapitali-
zacji odsetek. Bank Leppiej SA oferuje lokat¦ o stopie nominalnej 25% i póªrocznej kapitalizacji
odsetek. Lokata którego z banków jest lepsza (zakªadamy oczywi±cie, »e pozostaªe warunki obu
lokat na przykªad opªaty za prowadzenie s¡ takie same)?
Rozwi¡zanie: Policzymy stopy efektywne: dla banku Zbbieraj SA:
p
e
= 100
1 +
24
12 · 100
12
− 1
!
= 26,82
Dla banku Leppiej SA:
p
e
= 100
1 +
25
2 · 100
2
− 1
!
= 26,56
Wniosek: Lepszym bankiem jest Zbbieraj SA.
Spªata kredytu.
Chcemy zaci¡gn¡¢ kredyt w wysoko±ci K zª. Trzeba b¦dzie go spªaci¢ w ratach. Mo»emy zada¢
sobie dwa pytania: (a) jaka b¦dzie wysoko±¢ rat, które b¦dziemy pªaci¢, gdy wiemy jak szybko
chcemy spªaci¢ kredyt; (b) jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ kredyt wiedz¡c, »e mo»emy lub chcemy
pªaci¢ raty w wysoko±ci nie wi¦kszej ni» b?
Zakªadamy, »e kredyt jest oprocentowany p% w skali roku, odsetki s¡ doliczane co miesi¡c
w wysoko±ci q =
p
1200
(taka jest zwykle procedura przy normalnych po»yczkach bankowych lub
kredytach natomiast niektóre instytucje nansowe oferuj¡ po»yczki spªacane co tydzie«, wtedy
oczywi±cie q = p/5200 i odsetki s¡ doliczane co tydzie«, a rozumowanie przedstawione poni»ej
2
pozostaje prawie bez zmian, z wyj¡tkiem, tego »e raty spªacamy co tydzie« a nie co miesi¡c).
W rozwa»aniach przyjmujemy staªe oprocentowanie kredytu. W rzeczywisto±ci oprocentowanie
kredytów dªugookresowych (np. mieszkaniowych) jest zwykle zmienne i zale»y od stóp procento-
wych. Poniewa» nie jeste±my w stanie przewidzie¢ (w dªu»szej perspektywie) o ile wzrosn¡/spadn¡
stopy procentowe, a w zwi¡zku z tym jak si¦ zmieni oprocentowanie, nawet banki dokonuj¡ wyli-
czenia rat, zakªadaj¡c staªe oprocentowanie. W przypadku jego zmiany, nale»y ponownie dokona¢
oblicze«.
Raty równe. Niech K
i
oznacza wysoko±¢ zadªu»enia (czyli pozostaªego do spªaty kredytu) po
i
-tym miesi¡cu od zaci¡gni¦cia kredytu. Na pocz¡tku miesi¡ca i-tgo do zadªu»enia, które ma-
my doliczane s¡ odsetki w wysoko±ci q, czyli qK
i−1
i odejmowana jest spªacona przez nas rata
w wysoko±ci b. Pozostaje nam do spªaty K
i
= K
i−1
+ qK
i−1
− b
. St¡d mamy:
K
0
= K
K
1
= K(1 + q) − b
K
2
=
K(1 + q) − b
(1 + q) − b = K(1 + q)
2
− b((1 + q) + 1)
K
3
=
K(1 + q) − b
(1 + q) − b
!
(1 + q) − b = K(1 + q)
2
− b((1 + q)
2
+ (1 + q) + 1)
...
K
n
= K(1 + q)
n
− b
(1 + q)
n−1
+ (1 + q)
n−2
+ · · · + (1 + q)
2
+ (1 + q) + 1
Zatem otrzymujemy, korzystaj¡c ze wzoru na sum¦ n wyrazów ci¡gu geometrycznego:
K
n
= K(1 + q)
n
− b
(1 + q)
n
− 1
q
=
1
q
b − (b − Kq) (1 + q)
n
(6.1)
Zauwa»my od razu, »e aby spªaci¢ kredyt b > Kq, czyli spªacana rata musi by¢ wi¦ksza od
naliczanych odsetek. Mo»emy teraz odpowiedzie¢ na postawione wy»ej pytania. (a) Znamy liczb¦
rat n i chcemy wyznaczy¢ wysoko±¢ rat b. Oczywi±cie, gdy spªacimy kredyt, to K
n
= 0
. atwiej
b¦dzie nam skorzysta¢ z pierwszego z wyra»e« (6.1) na K
n
, gdy» b wyst¦puje tam tylko w jednym
miejscu. Proste przeksztaªcenie daje nam odpowied¹:
b = K
q(1 + q)
n
(1 + q)
n
− 1
(6.2)
Z drugiej strony, je±li znamy wysoko±¢ raty, jak¡ chcemy spªaca¢ (oczywi±cie, jak zauwa»yli±my
wy»ej b > Kq), to chcemy wyznaczy¢ n. Tym razem u»yjemy drugiego z wyra»e« (6.1) na K
n
,
przyrównuj¡c je do zera (bo kredyt ma by¢ spªacony). Mno»¡c stronami przez q pozbywamy si¦
1/q
stoj¡cego przed nawiasem kwadratowym, zatem wystarczy przyrówna¢ do zera wyra»enie
stoj¡ce w nawiasie kwadratowym. Przeksztaªcaj¡c je:
(1 + q)
n
=
b
b − Kq
ln [(1 + q)
n
] = ln
b
b − Kq
!
n ln(1 + q) = ln b − ln(b − Kq)
n =
ln b − ln(b − Kq)
ln(1 + q)
3
Poniewa» musimy spªaci¢ caªkowit¡ liczb¦ rat, nale»y jako t¦ liczb¦ przyj¡¢ najmniejsz¡ liczb¦
caªkowit¡ wi¦ksz¡ lub równ¡ od wyznaczonej, czyli kredyt zostanie spªacony gdy:
n =
&
ln b − ln(b − Kq)
ln(1 + q)
'
,
(6.3)
gdzie dxe oznacza najmniejsz¡ liczb¦ caªkowit¡ wi¦ksz¡ lub równ¡ x.
Zauwa»my, »e spªacaj¡c kredyt nasze zadªu»enie wobec banku maleje, a zatem malej¡ tak»e
naliczane odsetki od kredytu. Poniewa» pªacimy równe raty, a comiesi¦czne odsetki s¡ coraz
mniejsze, to na pocz¡tku spªaty kredytu, gªówn¡ cze±¢ raty stanowi¡ odsetki i spªacamy jedynie
maª¡ cz¦±¢ kapitaªu. Wraz z upªywem czasu, proporcja si¦ zmienia w ka»dej kolejnej racie
spªacany kapitaª stanowi coraz wi¦ksz¡ cz¦±¢.
Przykªad 6.5. Chcemy zaci¡gn¡¢ kredyt w wysoko±ci 150 000 zª na zakup nowego mieszkania.
Oprocentowanie kredytu wynosi 6%.
a) Jak¡ rat¦ b¦dziemy musieli pªaci¢ co miesi¡c je±li chcemy spªaci¢ kredyt w 20 lat.
b) Jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ ten kredyt, je±li co miesi¡c b¦dziemy pªaci¢ 1 000 zª a ile 1 150 zª.
Rozwi¡zanie: Zauwa»my, »e q =
6
1200
= 0,005
, natomiast K = 150 000.
a) W tym przypadku n = 20 · 12 = 240. Podstawiaj¡c dane do wzoru (6.2) otrzymujemy
b = 150 000
0,005 · (1,005)
240
(1,005)
240
− 1
= 1 074,65
b) Mo»emy ªatwo policzy¢, »e Kq = 750. Rozwa»amy dwa przypadki: Gdy b = 1 000, to
podstawiaj¡c dane do wzoru (6.3) otrzymujemy:
n =
&
ln 1 000 − ln(1 000 − 750)
ln 1,005
'
= d277,95e = 278 .
Zatem kredyt spªacimy po 23 latach i dwóch miesi¡cach.
Gdy b = 1 150, to podstawiaj¡c dane do wzoru (6.3) otrzymujemy:
n =
&
ln 1 150 − ln(1 150 − 750)
ln 1,005
'
= d211,74e = 212 .
Kredyt spªacimy po 17 latach i 8 miesi¡cach.
Raty malej¡ce Banki oferuj¡ tak»e mo»liwo±¢ spªaty kredytu w ratach malej¡cych. Polegaj¡
one na tym, »e co miesi¡c spªacamy tak¡ sam¡ cz¦±¢ naszego zadªu»enia plus wszystkie naliczone
odsetki. Poniewa» kapitaª systematycznie maleje, odsetki naliczane od niego s¡ coraz mniejsze
i raty tak»e malej¡. Korzystaj¡c z wprowadzonych oznacze«, w miesi¡cu i do zadªu»enia doliczane
s¡ odsetki w wysoko±ci qK
i−1
i spªacamy rat¦ w wysoko±ci b
i
teraz rata zmienia si¦ w zale»no±ci
od miesi¡ca i skªada si¦ z naliczonych odsetek qK
i−1
, które spªacamy i cz¦±ci kapitaªu
K
n
, czyli
b
i
= qK
i−1
+
K
n
. Zatem
K
i
= K
i−1
+ qK
i−1
− b
i
= K
i−1
+ qK
i−1
− qK
i−1
−
K
n
= K
i−1
−
K
n
.
atwo zauwa»y¢, »e
K
i−1
= K − K
i
n
= K
1 −
i
n
b
i
= qK
i−1
+
K
n
= K
q
1 −
i − 1
n
+
1
n
(6.4)
4
Oczywiste jest, »e spªata kredytu nast¡pi po n ratach. Aby ustali¢ wysoko±¢ rat, musimy najpierw
wyliczy¢ jak¡ cz¦±¢ kapitaªu b¦dziemy spªaca¢ za ka»dym razem. Gdy wiemy ile rat b¦dziemy
pªaci¢, jest to proste i liczy si¦ dziel¡c kapitaª przez liczb¦ rat. Gdy chcemy pªaci¢ raty nie
wi¦ksze ni» b, to musimy ustali¢ wysoko±¢ najwi¦kszej raty pierwszej. Teraz mo»emy wyliczy¢
liczb¦ rat
b = b
1
= K
q +
1
n
⇒ n =
K
b − qK
(6.5)
któr¡ przyjdzie nam zapªaci¢, a nast¦pnie wysoko±¢ dowolnej raty.
Przykªad 6.6. Rozwa»my ten sam kredyt co w przykªadzie 5.
a) Policzmy, jaka b¦dzie wysoko±¢ 1 i ostatniej raty, gdy b¦dziemy ten kredyt spªaca¢ przez 20
lat? Jak b¦dzie rata zapªacona po 10 latach, czyli o numerze i = 121? Która rata, jako pierwsza
b¦dzie ni»sza od 1 074,65, czyli od kiedy b¦dziemy pªaci¢ raty mniejsze ni» przy ratach równych?
b) Jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ kredyt gdy chcemy by najwy»sza rata nie przekraczaªa 1 000 zª,
a jak dªugo gdy najwy»sza rata ma nie przekracza¢ 1 150 zª. Jaka b¦dzie wysoko±¢ ostatniej raty
w ka»dym z tych dwóch przypadków?
Rozwi¡zanie: a) Zauwa»my, »e n = 240, w zwi¡zku z tym K/n = 625. Korzystaj¡c ze wzo-
ru (6.4) dla i = 1, 240, 121 otrzymujemy odpowiednio:
b
1
= 150 000
0, 005 +
1
240
= 1 375
b
240
= 150 000
0,005
240
+
1
240
= 628,13
b
121
= 150 000
0,005
1 −
120
240
+
1
240
= 1 000 .
Pierwsza rata wynosi 1 375 zª, ostatnia 628,13 za± po 10 latach (czyli 121 rata) 1 000 zª.
Policzmy teraz kiedy raty stan¡ si¦ mniejsze ni» b = 1 075,65. Poniewa» raty s¡ malej¡ce
wystarczy znale¹¢ pierwsz¡ rat¦ nie wi¦ksz¡ ni» b. Przeksztaªcamy wzór (6.4)
i = n
"
1 −
1
q
b
K
−
1
n
!#
+ 1 = 240
"
1 −
1
0, 005
1 074,65
150 000
−
1
240
#
+ 1 = 87,112
St¡d wynika, »e ju» 98 rata b¦dzie ni»sza ni» wszystkie raty przy spªacie kredytu ratami równymi.
Rzeczywi±cie, licz¡c wysoko±¢ rat 97 i 98 otrzymujemy odpowiednio 1 075 zª i 1 071,88 zª.
b) Tym razem skorzystamy ze wzoru (6.5). Zauwa»my, »e przy najwy»szej racie w wysoko±ci
1 000
zª mamy b − Kq = 250, natomiast gdy zdecydujemy si¦ na pierwsz¡, najwy»sz¡ rat¦ w wy-
soko±ci 1 150 zª, to b − Kq = 400. atwo teraz wyliczy¢ liczb¦ rat, potrzebnych do spªaty kredytu
dziel¡c wysoko±¢ kredytu przez obliczon¡ wcze±niej liczb¦ czyli przez wielko±¢ pojedynczej
spªaty kapitaªu. Otrzymujemy, w przypadku 1 000 zª n = 600, co oznacza, »e kredyt b¦dziemy
spªaca¢ 50 lat!! W przypadku pierwszej raty w wysoko±ci 1 150 zª dostajemy n = 375, czyli kredyt
b¦dziemy spªaca¢ 31 lat i 3 miesi¡ce. Wielko±¢ ostatniej raty b¦dzie, odpowiednio 251,25 zª i 402 zª.
Proponuj¦ porówna¢ uzyskane tu wyniki z wynikami z przykªadu 5.
Zauwa»my, »e spªacaj¡c kredyt ratami malej¡cymi, w efekcie, zapªacimy bankowi mniej od-
setek. Z drugiej strony, warto±¢ pieni¡dza spada (inacja). W efekcie koszt kredytu przy obu
sposobach spªaty jest podobny.
Czy zatem warto wybra¢ raty malej¡ce? Czasem tak, czasem nie. Wszystko zale»y od innych
czynników, na przykªad mo»liwo±ci nadpªacania/wcze±niejszej spªaty kredytu, obecnej i przewi-
dywanej sytuacji nansowej.
5