podstawy matematyki finansowej

background image

Podstawy matematyki nansowej

Omówimy tutaj podstawowe poj¦cia matematyki nansowej. Jest to dobre miejsce, gdy» za-

gadnienia te wi¡»¡ si¦ z ci¡gami, w szczególno±ci z ci¡giem arytmetycznym i geometrycznym.

Omówimy zagadnienie lokowania pieni¦dzy w banku i spªaty kredytu. Ograniczymy si¦ do naj-

prostszych sytuacji, gdy oprocentowanie lokaty lub kredytu jest staªe.

Procent prosty i skªadany

Na pocz¡tek przedstawimy kilka denicji:

procent prosty odsetki naliczane od kapitaªu co pewien ustalony okres czasu nie s¡ do tego

kapitaªu dopisywane, zatem za ka»dym razem otrzymujemy tyle samo odsetek i stan naszych

oszcz¦dno±ci tworzy post¦p arytmetyczny.

procent skªadany  do kapitaªu s¡ dopisywane odsetki naliczone od kapitaªu, a zatem w na-

st¦pnym razem odsetki liczone s¡ od nowego, wi¦kszego kapitaªu. Stan naszych oszcz¦dno±ci

tworzy post¦p geometryczny.

kapitalizacja odsetek  dopisanie odsetek do kapitaªu;

stopa nominalna  stopa oprocentowania wzgl¦dem jednostki czasu (najcz¦±ciej 1 roku) liczo-

na tak jakby±my liczyli zgodnie ze wzorem na procent prosty (czyli bez uwzgl¦dnienia kapita-

lizacji odsetek). Je±li w ci¡gu roku odsetki s¡ naliczane n razy, za ka»dym razem w wysoko±ci
q

%, to stopa nominalna wynosi p = nq. Gdy co miesi¡c naliczane s¡ odsetki w wysoko±ci 0,3%,

to stopa nominalna wynosi 12 · 0,3% = 3,6%. Odwrotnie, je±li stopa nominalna wynosi 4,8% a

odsetki s¡ naliczane co dwa miesi¡ce, to za ka»dym razem bank nalicza odsetki w wysoko±ci

4,8%

6

= 0,8%

.

stopa efektywna  rzeczywisty, procentowy przyrost kapitaªu (czyli z uwzgl¦dnieniem kapi-

talizacji odsetek).

Przykªad 6.1. Je±li mówimy, »e oprocentowanie w skali roku (roczna stopa nominalna) wynosi

12%, a kapitalizacja odsetek nast¦puje miesi¦cznie, oznacza to, »e co miesi¡c do kapitaªu jest
dopisywane

12%

12

= 1%

odsetek, za± stopa efektywna wynosi (1 + 0,01)

12

12,68%

.

Kilka wzorów

Niech p  stopa nominalna; p

e

stopa efektywna, n liczba kapitalizacji w ci¡gu jednostki czasu

(roku), t  liczba lat, K

t

- kapitaª po t latach. Wtedy

K

1

=

n

razy

z

}|

{

1 +

p

100

n

!

1 +

p

100

n

!

· · ·

1 +

p

100

n

!

=

1 +

p

100

n

!

n

K

t

= K

0

1 +

p

100

n

!

t·n

p

e

= 100

"

1 +

p

100

n

!

n

1

#

Ciekawostka. Zauwa»my, co si¦ b¦dzie dziaªo, gdy kapitalizacje b¦d¡ nast¦powaªy coraz

cz¦±ciej (czyli n zwi¦ksza si¦). Rozwa»a si¦ tak»e kapitalizacj¦ ci¡gª¡ (odsetki s¡ obliczane i dopi-
sywane na bie»¡co). Poniewa»



1 +

x
n



n n→∞

−−−→ e

x

, to wtedy mamy

K

1

= K

0

e

p

100

K

t

= K

0

e

t

p

100

p

e

= 100

h

e

p

100

1

i

1

background image

Oczywi±cie, we wszystkich przykªadach i zadaniach porównuj¡cych oferty dwóch banków za-

kªadamy, »e wszelkie inne szczegóªy oferty poza oprocentowaniem i kapitalizacj¡ odsetek, s¡

identyczne. Jest to zaªo»enie sensowne gdy porównujemy lokaty (czemu, tak na prawd¦ sªu»¡

te rozwa»ania), cho¢ i w tym wypadku banki si¦ ró»ni¡ stopniem swobody w dysponowaniu

pieni¦dzmi i karami za zerwanie lokaty (wcze±niejsze wypªacenie cz¦±ci lub wszystkich pieni¦dzy).

Porównanie kont osobistych jest du»o bardziej skomplikowane ze wzgl¦du na ich funkcj¦  raczej

zarz¡dzania pieni¦dzmi ni» oszcz¦dzania pieni¦dzy. W przypadku kont osobistych oprocentowa-

nie zwykle ma drugorz¦dne znaczenie, w stosunku do kosztu prowadzenia takiego konta, kosztu

kart pªatniczych, dost¦pu do bankomatów, opªat za przelewy i wielu innych usªug oferowanych

w ramach konta osobistego.
Przykªad 6.2. Lokujemy 10 000 zª na dwa lata w banku, który oferuje lokat¦ z miesi¦czn¡

kapitalizacj¡ odsetek o rocznej stopie nominalnej 6%. Jaki b¦dzie nasz zysk?
Rozwi¡zanie: Kapitaª K

0

= 10 000

, stopa nominalna p = 6, kapitalizacja jest miesi¦czna, czyli

mamy n = 12 kapitalizacji w ci¡gu roku. Zatem zgodnie z powy»szym wzorem

K

2

= 10 000



1 +

6

100 · 12



24

= 11 271,60

Zatem zysk wynosi 1 271,61 zª.
Przykªad 6.3. Jaki byªby nasz zysk, gdyby kapitalizacja nast¦powaªa raz w roku
Rozwi¡zanie: W stosunku do poprzedniego zadania zmianie ulega jedynie liczba kapitalizacji

 tutaj n = 1 (jedna kapitalizacja rocznie). St¡d

K

2

= 10 000



1 +

6

100



2

= 11 236

Zatem zysk wynosi 1 236,00 zª.
Przykªad 6.4. Bank Zbbieraj SA oferuje lokat¦ o stopie nominalnej 24% i miesi¦cznej kapitali-

zacji odsetek. Bank Leppiej SA oferuje lokat¦ o stopie nominalnej 25% i póªrocznej kapitalizacji

odsetek. Lokata którego z banków jest lepsza (zakªadamy oczywi±cie, »e pozostaªe warunki obu

lokat  na przykªad opªaty za prowadzenie  s¡ takie same)?
Rozwi¡zanie: Policzymy stopy efektywne: dla banku Zbbieraj SA:

p

e

= 100



1 +

24

12 · 100



12

1

!

= 26,82

Dla banku Leppiej SA:

p

e

= 100



1 +

25

2 · 100



2

1

!

= 26,56

Wniosek: Lepszym bankiem jest Zbbieraj SA.

Spªata kredytu.

Chcemy zaci¡gn¡¢ kredyt w wysoko±ci K zª. Trzeba b¦dzie go spªaci¢ w ratach. Mo»emy zada¢

sobie dwa pytania: (a) jaka b¦dzie wysoko±¢ rat, które b¦dziemy pªaci¢, gdy wiemy jak szybko

chcemy spªaci¢ kredyt; (b) jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ kredyt wiedz¡c, »e mo»emy lub chcemy

pªaci¢ raty w wysoko±ci nie wi¦kszej ni» b?

Zakªadamy, »e kredyt jest oprocentowany p% w skali roku, odsetki s¡ doliczane co miesi¡c

w wysoko±ci q =

p

1200

(taka jest zwykle procedura przy normalnych po»yczkach bankowych lub

kredytach  natomiast niektóre instytucje nansowe oferuj¡ po»yczki spªacane co tydzie«, wtedy

oczywi±cie q = p/5200 i odsetki s¡ doliczane co tydzie«, a rozumowanie przedstawione poni»ej

2

background image

pozostaje prawie bez zmian, z wyj¡tkiem, tego »e raty spªacamy co tydzie« a nie co miesi¡c).

W rozwa»aniach przyjmujemy staªe oprocentowanie kredytu. W rzeczywisto±ci oprocentowanie

kredytów dªugookresowych (np. mieszkaniowych) jest zwykle zmienne i zale»y od stóp procento-

wych. Poniewa» nie jeste±my w stanie przewidzie¢ (w dªu»szej perspektywie) o ile wzrosn¡/spadn¡

stopy procentowe, a w zwi¡zku z tym jak si¦ zmieni oprocentowanie, nawet banki dokonuj¡ wyli-

czenia rat, zakªadaj¡c staªe oprocentowanie. W przypadku jego zmiany, nale»y ponownie dokona¢

oblicze«.

Raty równe. Niech K

i

oznacza wysoko±¢ zadªu»enia (czyli pozostaªego do spªaty kredytu) po

i

-tym miesi¡cu od zaci¡gni¦cia kredytu. Na pocz¡tku miesi¡ca i-tgo do zadªu»enia, które ma-

my doliczane s¡ odsetki w wysoko±ci q, czyli qK

i−1

i odejmowana jest spªacona przez nas rata

w wysoko±ci b. Pozostaje nam do spªaty K

i

= K

i−1

+ qK

i−1

− b

. St¡d mamy:

K

0

= K

K

1

= K(1 + q) − b

K

2

=



K(1 + q) − b



(1 + q) − b = K(1 + q)

2

− b((1 + q) + 1)

K

3

=



K(1 + q) − b



(1 + q) − b

!

(1 + q) − b = K(1 + q)

2

− b((1 + q)

2

+ (1 + q) + 1)

...

K

n

= K(1 + q)

n

− b



(1 + q)

n−1

+ (1 + q)

n−2

+ · · · + (1 + q)

2

+ (1 + q) + 1



Zatem otrzymujemy, korzystaj¡c ze wzoru na sum¦ n wyrazów ci¡gu geometrycznego:

K

n

= K(1 + q)

n

− b

(1 + q)

n

1

q

=

1

q



b − (b − Kq) (1 + q)

n



(6.1)

Zauwa»my od razu, »e aby spªaci¢ kredyt b > Kq, czyli spªacana rata musi by¢ wi¦ksza od

naliczanych odsetek. Mo»emy teraz odpowiedzie¢ na postawione wy»ej pytania. (a) Znamy liczb¦

rat n i chcemy wyznaczy¢ wysoko±¢ rat b. Oczywi±cie, gdy spªacimy kredyt, to K

n

= 0

. Šatwiej

b¦dzie nam skorzysta¢ z pierwszego z wyra»e« (6.1) na K

n

, gdy» b wyst¦puje tam tylko w jednym

miejscu. Proste przeksztaªcenie daje nam odpowied¹:

b = K

q(1 + q)

n

(1 + q)

n

1

(6.2)

Z drugiej strony, je±li znamy wysoko±¢ raty, jak¡ chcemy spªaca¢ (oczywi±cie, jak zauwa»yli±my

wy»ej b > Kq), to chcemy wyznaczy¢ n. Tym razem u»yjemy drugiego z wyra»e« (6.1) na K

n

,

przyrównuj¡c je do zera (bo kredyt ma by¢ spªacony). Mno»¡c stronami przez q pozbywamy si¦
1/q

stoj¡cego przed nawiasem kwadratowym, zatem wystarczy przyrówna¢ do zera wyra»enie

stoj¡ce w nawiasie kwadratowym. Przeksztaªcaj¡c je:

(1 + q)

n

=

b

b − Kq

ln [(1 + q)

n

] = ln

b

b − Kq

!

n ln(1 + q) = ln b − ln(b − Kq)

n =

ln b − ln(b − Kq)

ln(1 + q)

3

background image

Poniewa» musimy spªaci¢ caªkowit¡ liczb¦ rat, nale»y jako t¦ liczb¦ przyj¡¢ najmniejsz¡ liczb¦

caªkowit¡ wi¦ksz¡ lub równ¡ od wyznaczonej, czyli kredyt zostanie spªacony gdy:

n =

&

ln b − ln(b − Kq)

ln(1 + q)

'

,

(6.3)

gdzie dxe oznacza najmniejsz¡ liczb¦ caªkowit¡ wi¦ksz¡ lub równ¡ x.

Zauwa»my, »e spªacaj¡c kredyt nasze zadªu»enie wobec banku maleje, a zatem malej¡ tak»e

naliczane odsetki od kredytu. Poniewa» pªacimy równe raty, a comiesi¦czne odsetki s¡ coraz

mniejsze, to na pocz¡tku spªaty kredytu, gªówn¡ cze±¢ raty stanowi¡ odsetki i spªacamy jedynie

maª¡ cz¦±¢ kapitaªu. Wraz z upªywem czasu, proporcja si¦ zmienia  w ka»dej kolejnej racie

spªacany kapitaª stanowi coraz wi¦ksz¡ cz¦±¢.
Przykªad 6.5. Chcemy zaci¡gn¡¢ kredyt w wysoko±ci 150 000 zª na zakup nowego mieszkania.

Oprocentowanie kredytu wynosi 6%.

a) Jak¡ rat¦ b¦dziemy musieli pªaci¢ co miesi¡c je±li chcemy spªaci¢ kredyt w 20 lat.

b) Jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ ten kredyt, je±li co miesi¡c b¦dziemy pªaci¢ 1 000 zª a ile 1 150 zª.
Rozwi¡zanie: Zauwa»my, »e q =

6

1200

= 0,005

, natomiast K = 150 000.

a) W tym przypadku n = 20 · 12 = 240. Podstawiaj¡c dane do wzoru (6.2) otrzymujemy

b = 150 000

0,005 · (1,005)

240

(1,005)

240

1

= 1 074,65

b) Mo»emy ªatwo policzy¢, »e Kq = 750. Rozwa»amy dwa przypadki: Gdy b = 1 000, to

podstawiaj¡c dane do wzoru (6.3) otrzymujemy:

n =

&

ln 1 000 ln(1 000 750)

ln 1,005

'

= d277,95e = 278 .

Zatem kredyt spªacimy po 23 latach i dwóch miesi¡cach.

Gdy b = 1 150, to podstawiaj¡c dane do wzoru (6.3) otrzymujemy:

n =

&

ln 1 150 ln(1 150 750)

ln 1,005

'

= d211,74e = 212 .

Kredyt spªacimy po 17 latach i 8 miesi¡cach.

Raty malej¡ce Banki oferuj¡ tak»e mo»liwo±¢ spªaty kredytu w ratach malej¡cych. Polegaj¡

one na tym, »e co miesi¡c spªacamy tak¡ sam¡ cz¦±¢ naszego zadªu»enia plus wszystkie naliczone

odsetki. Poniewa» kapitaª systematycznie maleje, odsetki naliczane od niego s¡ coraz mniejsze

i raty tak»e malej¡. Korzystaj¡c z wprowadzonych oznacze«, w miesi¡cu i do zadªu»enia doliczane

s¡ odsetki w wysoko±ci qK

i−1

i spªacamy rat¦ w wysoko±ci b

i

 teraz rata zmienia si¦ w zale»no±ci

od miesi¡ca i skªada si¦ z naliczonych odsetek qK

i−1

, które spªacamy i cz¦±ci kapitaªu

K

n

, czyli

b

i

= qK

i−1

+

K

n

. Zatem

K

i

= K

i−1

+ qK

i−1

− b

i

= K

i−1

+ qK

i−1

− qK

i−1

K

n

= K

i−1

K

n

.

Šatwo zauwa»y¢, »e

K

i−1

= K − K

i

n

= K



1

i

n



b

i

= qK

i−1

+

K

n

= K



q



1

i − 1

n



+

1

n



(6.4)

4

background image

Oczywiste jest, »e spªata kredytu nast¡pi po n ratach. Aby ustali¢ wysoko±¢ rat, musimy najpierw

wyliczy¢ jak¡ cz¦±¢ kapitaªu b¦dziemy spªaca¢ za ka»dym razem. Gdy wiemy ile rat b¦dziemy

pªaci¢, jest to proste i liczy si¦ dziel¡c kapitaª przez liczb¦ rat. Gdy chcemy pªaci¢ raty nie

wi¦ksze ni» b, to musimy ustali¢ wysoko±¢ najwi¦kszej raty  pierwszej. Teraz mo»emy wyliczy¢

liczb¦ rat

b = b

1

= K



q +

1

n



⇒ n =

K

b − qK

(6.5)

któr¡ przyjdzie nam zapªaci¢, a nast¦pnie wysoko±¢ dowolnej raty.
Przykªad 6.6. Rozwa»my ten sam kredyt co w przykªadzie 5.

a) Policzmy, jaka b¦dzie wysoko±¢ 1 i ostatniej raty, gdy b¦dziemy ten kredyt spªaca¢ przez 20

lat? Jak b¦dzie rata zapªacona po 10 latach, czyli o numerze i = 121? Która rata, jako pierwsza

b¦dzie ni»sza od 1 074,65, czyli od kiedy b¦dziemy pªaci¢ raty mniejsze ni» przy ratach równych?

b) Jak dªugo b¦dziemy spªaca¢ kredyt gdy chcemy by najwy»sza rata nie przekraczaªa 1 000 zª,

a jak dªugo gdy najwy»sza rata ma nie przekracza¢ 1 150 zª. Jaka b¦dzie wysoko±¢ ostatniej raty

w ka»dym z tych dwóch przypadków?
Rozwi¡zanie: a) Zauwa»my, »e n = 240, w zwi¡zku z tym K/n = 625. Korzystaj¡c ze wzo-

ru (6.4) dla i = 1, 240, 121 otrzymujemy odpowiednio:

b

1

= 150 000



0, 005 +

1

240



= 1 375

b

240

= 150 000



0,005

240

+

1

240



= 628,13

b

121

= 150 000



0,005



1

120

240



+

1

240



= 1 000 .

Pierwsza rata wynosi 1 375 zª, ostatnia 628,13 za± po 10 latach (czyli 121 rata) 1 000 zª.

Policzmy teraz kiedy raty stan¡ si¦ mniejsze ni» b = 1 075,65. Poniewa» raty s¡ malej¡ce

wystarczy znale¹¢ pierwsz¡ rat¦ nie wi¦ksz¡ ni» b. Przeksztaªcamy wzór (6.4)

i = n

"

1

1

q

b

K

1

n

!#

+ 1 = 240

"

1

1

0, 005



1 074,65

150 000

1

240



#

+ 1 = 87,112

St¡d wynika, »e ju» 98 rata b¦dzie ni»sza ni» wszystkie raty przy spªacie kredytu ratami równymi.

Rzeczywi±cie, licz¡c wysoko±¢ rat 97 i 98 otrzymujemy odpowiednio 1 075 zª i 1 071,88 zª.

b) Tym razem skorzystamy ze wzoru (6.5). Zauwa»my, »e przy najwy»szej racie w wysoko±ci
1 000

zª mamy b − Kq = 250, natomiast gdy zdecydujemy si¦ na pierwsz¡, najwy»sz¡ rat¦ w wy-

soko±ci 1 150 zª, to b − Kq = 400. Šatwo teraz wyliczy¢ liczb¦ rat, potrzebnych do spªaty kredytu

dziel¡c wysoko±¢ kredytu przez obliczon¡ wcze±niej liczb¦  czyli przez wielko±¢ pojedynczej

spªaty kapitaªu. Otrzymujemy, w przypadku 1 000 zª n = 600, co oznacza, »e kredyt b¦dziemy

spªaca¢ 50 lat!! W przypadku pierwszej raty w wysoko±ci 1 150 zª dostajemy n = 375, czyli kredyt

b¦dziemy spªaca¢ 31 lat i 3 miesi¡ce. Wielko±¢ ostatniej raty b¦dzie, odpowiednio 251,25 zª i 402 zª.

Proponuj¦ porówna¢ uzyskane tu wyniki z wynikami z przykªadu 5.

Zauwa»my, »e spªacaj¡c kredyt ratami malej¡cymi, w efekcie, zapªacimy bankowi mniej od-

setek. Z drugiej strony, warto±¢ pieni¡dza spada (inacja). W efekcie koszt kredytu przy obu

sposobach spªaty jest podobny.

Czy zatem warto wybra¢ raty malej¡ce? Czasem tak, czasem nie. Wszystko zale»y od innych

czynników, na przykªad mo»liwo±ci nadpªacania/wcze±niejszej spªaty kredytu, obecnej i przewi-

dywanej sytuacji nansowej.

5


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Podstawy matematyki finansowej wzory
Funkcje finansowe w Excelu 2007 i Excelu 2010, Matematyka, Podstawy matematyki finansowej
Podstawy matematyki finansowej z przykładami, pliki zamawiane, edukacja
Zadania Solver, Matematyka, Podstawy matematyki finansowej
Podstawy matematyki finansowej opis funkcji
podstawy matematyki finansowej, finanse
Czy rata mojego kredytu nie jest za wysoka Podstawy matematyki finansowej Piotr Śliwka
podstawy matematyki finansowej
Podstawy matematyki finansowej J Czaja
Wykład 4 Podstawy prawne finansów publicznych
Matematyka finansowa, Wyklad 9 F
2011 06 20 matematyka finansowaid 27373
matematyka finansowa
MATEMATYKA FINANSOWA ĆWICZENIA 3 (25 03 2012)
matematyka finansowa zadania z wykladu

więcej podobnych podstron