`Prof. zw. dr hab. Józef Czaja, Katedra Geomatyki AGH w Krakowie, tel. 0(-)12 6172277, [e-mail]

Podstawy matematyki finansowej – wykład 12.01.2013 r

1. Wartość kapitału w czasie

Do analizy wartości kapitału w czasie trzeba wykorzystać logiczne formuły transformacji kapitału pieniężnego

w czasie. Do transformacji pieniądza w czasie są wykorzystywane różne współczynniki zwane stopami procentowymi.

Stopy procentowe
Według klasycznej definicji (ekonometrycznej) stopa oprocentowania powinna oznaczać iloraz rocznego

przyrostu „kapitału” (środków pieniężnych) do wyjściowej wartości tego „kapitału”. Jeżeli otrzymany iloraz (ułamek
dziesiętny) pomnożony przez 100%, to wtedy otrzymujemy stopę wyrażoną w procentach, zwaną stopą procentową.

W zależności od tego, jakiego rodzaju (w jakiej (formie) jest „kapitał” można definiować różne wielkości stóp

procentowych. Dla przykładu wyróżnimy następujące rodzaje stóp procentowych:



Stopa oprocentowania wkładów pieniężnych – roczny przyrost wartości wkładów pieniężnych / wartość pierwotną
tych wkładów,



Stopa oprocentowania obligacji,



Stopa oprocentowania kredytów bankowych – roczna rata zwierająca spłatę kredytu i odsetki / wartość pierwotna
kredytu,



Stopa kapitalizacji dochodu – przyrost rocznego dochodu / wartość pierwotna dochodu,



Stopa zwrotu kapitału (R) – roczny dochód z kapitału / pierwotna wartość kapitału,



Wewnętrzna stopa zwrotu kapitału (IRR) – stopa dyskonta, przy której następuje zrównanie nakładów z
dyskontowanymi dochodami,



Stopa inflacji – spadek nabywczej wartości pieniądza w ciągu jednego roku,



Stopa zmiany cen towarów i usług ogółem – przyrost cen towarów i usług / wartość pierwotna cen i usług,



Stopa podatkowa – wartość podatku/ kwota do opodatkowania,



Stopa rentowności – zysk netto / cena rynkowa,



Stopa dochodowości – dochód netto / wartość dochodowa.



Stopa dyskonta – wskaźnik kosztu inwestowanego kapitału.

2. Formuły na kapitalizację i dyskontowanie okresowych kwot pieniężnych

2.1. Kapitalizacja

Kapitalizacja kwot pieniężnych stanowi transformację wartości pieniądza w czasie, która polega na przeliczaniu

wartości pieniądza z okresu jego pozyskania (teraźniejszego) na okres jego wykorzystania (przyszły). Transformacja ta
odbywa się zawsze na podstawie stopy kapitalizacji, która będzie oznaczana symbolem

)

(

K

r

.Stopa kapitalizacji, czyli

stopa pomnażania kapitału, definiuje się według następującej zależności:

1

0

1

0

0

0

(1

)

(1

)

i

K

K

i

K

K

K

r

K

K

r

K

K

r

K

















(2.1)

gdzie:

0

K

- wartość kapitału (kwota pieniężna) z okresu pozyskania, lokowana na jeden interwał,

1

K



- wartość kapitału po upływie jednego interwału czasu lokowania,

i

K

- wartość kapitału po upływie i-tego interwału czasu lokowania,

Jeżeli pozyskiwane na początek ustalonego interwału czasu kwoty pieniężne (kapitału) będą oznaczane przez

i

K

, przy czym wskaźnik

i

będzie odnosił się do numeru interwału czasu (np. roku), a stopa kapitalizacji będzie na

jednakowym poziomie, to formuła kapitalizacji pozyskiwanych kwot pieniężnych dla

n

interwałów czasu wyraża się

następującym wzorem:



























n

i

K

n

K

n

n

K

n

K

i

r

K

r

K

r

K

r

K

K

1

2

1

1

2

1

)

1

(

)

1

(

......

)

1

(

)

1

(



(2.2)

W powyższej formule widać, że kwota pozyskana na początek pierwszego interwału czasu jest wymnażana przez
współczynnik kapitalizacji

)

1

(

K

r



w potędze

tej

n



, zaś kwota pozyskana na początek ostatniego interwału czasu

jest wymnażana przez współczynnik kapitalizacji w potędze pierwszej.

Dla zmiennej stopy kapitalizacji

)

(

i

K

r

w poszczególnych interwałach czasowych, formuła (2.2) przyjmuje

następująca postać:

































n

i

K

n

K

Kn

Kn

K

Kn

Kn

i

r

K

r

r

r

K

r

r

r

K

K

1

2

1

2

1

1

)

1

(

......

)

1

)....(

1

)(

1

(

)

1

)....(

1

)(

1

(



(2.3)

2

W przypadku, gdy pozyskiwane na początek ustalonego interwału czasu kwoty pieniężne będą na jednakowym

poziomie

K

K

i



, wtedy składniki w formule (2.2) można ustawiać w odwrotnej kolejności, a to prowadzi do postaci

rosnącego szeregu geometrycznego, czyli



































n

i

i

K

n

i

n

K

n

K

K

K

i

r

K

r

K

r

K

r

K

r

K

K

1

1

1

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

......

)

1

(

)

1

(



(2.4)

Po oznaczeniu współczynnika kapitalizacji przez

)

1

(

K

K

r

q





(2.5)

suma kapitału (SK) po upływie n okresów czasu wyraża się następującą zależnością:

n

K

n

K

K

K

q

K

q

K

q

K

q

K

SK





















1

2

......

(2.6)

Formuła (2.6) przedstawia klasyczną postać szeregu geometrycznego o następujących parametrach:

K

K

q

q

q

K

a







1

(2.7)

W wielu rozważaniach, dotyczących wyceny metodami dochodowymi, będą wykorzystywane własności szeregu

geometrycznego, stąd jest wskazane wyprowadzenie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego przy
uwzględnieniu jego pierwszego wyrazu

1

a

i jego ilorazu

q

. W tym celu formułę (2.6) zapiszemy dwukrotnie w

następującej postaci:

n

n

n

n

n

q

a

q

a

q

a

q

a

q

a

SK

q

q

a

q

a

q

a

q

a

a

SK





















































1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

..........

......

(2.8)

przy czym zależność druga powstała z obustronnego pomnożenia zależności pierwszej przez iloraz ciągu. Odejmując
stronami obje zależności, przy założeniu

1



q

, otrzymujemy następujące równanie:

)

1

(

)

1

(

1

1

1

n

n

q

a

q

SK

q

a

a

SK

q

SK



















(2.9)

które prowadzi do ostatecznego wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego dla ustalonej liczby n interwałów
czasowych, czyli

1

1

1

1

1

1















q

q

a

SK

q

q

a

SK

n

n

(2.10)

Wzór (2.10) również może być wykorzystywany do kapitalizacji kwot pieniężnych pozyskiwanych na koniec
interwałów czasowych, ale wtedy parametry ciągu geometrycznego są następujące:

K

q

q

K

a





1

(2.11)

Po wykorzystaniu wyżej zamieszczonych rozważań można wyprowadzić dwie generalne formuły.

-

Gdy pozyskiwane na początek każdego interwału czasu kwoty pieniężne będą na jednakowym poziomie

K

, a stopa

kapitalizacji będzie stała, wtedy suma wszystkich kapitalizowanych kwot na przestrzeni n interwałów czasu wyraża się
następująca zależnością:

K

n

K

K

K

n

K

K

r

r

r

K

q

q

q

K

SK

1

)

1

(

)

1

(

1

1

















(2.12)

-

Gdy pozyskiwane na koniec każdego interwału czasu kwoty pieniężne będą na jednakowym poziomie

K

, a stopa

kapitalizacji będzie stała, wtedy suma wszystkich kapitalizowanych kwot na przestrzeni n interwałów czasu wyraża się
następująca zależnością:

K

n

K

K

n

K

r

r

K

q

q

K

SK

1

)

1

(

1

1













(2.13)

Wyprowadzone formuły (2.12) i (2.13) maja zastosowanie tylko w tych przypadkach, gdy pozyskiwane kwoty

pieniężne oraz stopa kapitalizacji, we wszystkich interwałach rozważanego czasu, będą na jednakowym poziomie.

Jeżeli pozyskiwane kwoty pieniężne będą ulegały zmianie, w poszczególnych interwałach czasu, według funkcji

wykładniczej, ale przy stałej stopie zmienności kapitału

)

(

ZK

r

, czyli

1

1

)

1

(







i

ZK

i

r

K

K

(2.14)

wtedy sumę wszystkich kapitalizowanych kwot na przestrzeni n interwałów czasu można wyrazić również za pomocą
szeregu geometrycznego, którego parametry będą następujące:
-

Dla kwot pieniężnych pozyskiwanych na początek każdego interwału czasu

3

)

1

)(

1

(

)

1

(

1

1

K

ZK

KZ

K

r

r

q

q

r

K

a













(2.15)

-

Dla kwot pieniężnych pozyskiwanych na koniec każdego interwału czasu

)

1

)(

1

(

1

1

K

ZK

KZ

r

r

q

q

K

a











(2. 16)

Po wstawieniu powyższych parametrów do wzoru (2.10) można otrzymać formuły na sumę wszystkich

kapitalizowanych kwot, których wartość ulega zmianie według funkcji wykładniczej.

2.2. Przykłady liczbowe dla kapitalizacji kwot pieniężnych

Przykład 1

Niech pozyskiwane w każdym roku kwoty pieniężne będą na jednakowym poziomie

zł

K

400

8



. Przyjmując

roczną stopę kapitalizacji

07

.

0



K

r

, określić sumę wszystkich kapitalizowanych kwot, na koniec szóstego roku.

Rozwiązanie:
Zgodnie ze wzorem (2.5), obliczamy współczynnik kapitalizacji za jeden rok, czyli

07

.

1

)

1

(







K

K

r

q

-

Dla kwot pozyskiwanych na początek każdego roku, realizujemy formułę (2.12), za pomocą której określamy sumę

kapitalizowanych kwot za okres 6 lat, czyli

zł

SK

60

.

293

64

6540

.

7

400

8

07

.

0

1

07

.

1

07

.

1

400

8

6















-

Dla kwot pozyskiwanych na koniec każdego roku, realizujemy formułę (2.13), za pomocą której określamy sumę

kapitalizowanych kwot za okres 6 lat, czyli

zł

SK

72

.

087

60

1533

.

7

400

8

07

.

0

1

07

.

1

400

8

6













Przykład 2

Niech pozyskiwane kwoty pieniężne, z poziomu pierwszego roku

zł

K

400

8

1



, będą ulegać zmniejszeniu w

każdym roku, według rocznej stopy

03

.

0



ZK

r

. Zakładając roczną stopę kapitalizacji

07

.

0



K

r

, określić sumę

wszystkich kapitalizowanych kwot, na koniec szóstego roku.

Rozwiązanie:
Zgodnie ze wzorem (2.15) lub (2.16), obliczamy skorygowany współczynnik kapitalizacji za jeden rok, czyli

0379

.

1

07

.

1

97

.

0

)

1

)(

1

(













K

ZK

KZ

r

r

q

-

Dla kwot pozyskiwanych na początek każdego roku, do realizacji formuły (2.10) wykorzystujemy parametry (2.15),

za pomocą której określamy sumę kapitalizowanych kwot na koniec szóstego roku, czyli

zł

SK

16

.

303

59

0599

.

7

400

8

1

0379

.

1

1

0379

.

1

07

.

1

400

8

6

















-

Dla kwot pozyskiwanych na koniec każdego roku, do realizacji formuły (2.10) wykorzystujemy parametry (2.16), za

pomocą której określamy sumę kapitalizowanych kwot na koniec szóstego roku, czyli

zł

SK

04

.

424

55

5981

.

6

400

8

1

0379

.

1

1

0379

.

1

400

8

6















.

2.3. Dyskontowanie

Dyskontowanie kwot pieniężnych stanowi również transformację wartości pieniądza w czasie, za pomocą której

dokonuje się przeliczania wartości pieniądza z przyszłych okresów czasu (prognozowanych kwot) na teraźniejszy okres
czasu. Formuła dyskontowania kwot pieniężnych bazuje na prognozowanej stopie dyskonta (dyskontowej), która będzie
oznaczana symbolem

)

(

D

r

. Stopa dyskonta definiuje się według następującej zależności:

N

R

D

R

K

K

r

K





(

N

K

- nominalna (prognozowana) wartość kapitału,

R

K

- realna wartość kapitału

1

(1

)

N

R

N

N

D

R

Ri

i

R

D

D

K

K

K

K

r

K

K

K

r

r

















(2.17)

gdzie:

1

K

- wartość kapitału (kwota pieniężna) prognozowana na koniec pierwszego interwału czasu,

4

01

K



- wartość kapitału przetransformowana na początek pierwszego interwału czasu,

1

K

- wartość kapitału (kwota pieniężna) prognozowana na koniec pierwszego interwału czasu,

i

K

- wartość kapitału (kwota pieniężna) prognozowana na koniec i-tego interwału czasu.

Warto tutaj zaznaczyć, że zależności na stopę kapitalizacji i na stopę dyskonta zawierają różne wartości kapitału, czyli

K



i

K



, stąd nie mogą być alternatywnie przekształcane.

Jeżeli prognozowane na koniec ustalonego interwału czasu kwoty pieniężne (kapitału) będą oznaczane przez

i

K

, przy czym wskaźnik

i

będzie odnosił się do numeru interwału czasu (np. roku), a stopa dyskonta będzie na

jednakowym poziomie, to formuła dyskontowania pozyskiwanych kwot pieniężnych dla

n

interwałów czasu wyraża się

następującym wzorem:



























n

i

n

D

n

n

D

n

D

D

i

r

K

r

K

r

K

r

K

K

1

1

1

2

2

1

)

1

(

1

)

1

(

1

......

)

1

(

1

)

1

(

1



(2.18)

Po uwzględnieniu współczynnika dyskonta

D

D

r

q





1

1

(2.18a)

formułę (2.18) można zapisać następującym wzorem

2

1

1

2

1

1

......

n

n

n

i

n

n

i

K

K q

K

q

K

q

K

q









 















(2.19)

Dla zmiennej stopy dyskonta

)

(

i

D

r

w poszczególnych interwałach czasowych, formuła (2.18) przyjmuje

następująca postać:

























n

i

Dn

D

D

n

D

D

D

i

r

r

r

K

r

r

K

r

K

K

1

2

1

2

1

2

1

1

)

1

)....(

1

)(

1

(

1

......

)

1

)(

1

(

1

)

1

(

1



(2.20)

W przypadku, gdy pozyskiwane na koniec ustalonego interwału czasu kwoty pieniężne będą na jednakowym

poziomie

K

K

i



, wtedy w wzór (2.19) przyjmuje postać szeregu geometrycznego, czyli

2

1

1

......

n

n

n

i

D

D

D

D

i

K

K q

K q

K q

K q





 

 



 

 



(2.21)

Po wykorzystaniu rozważań (2.8)



(2.10), dotyczących sumy wyrazów ciągu geometrycznego, można zapisać dwie

podstawowe formuły na dyskontowanie kwot pieniężnych przewidywanych w ustalonych interwałach czasu.
-

Gdy przewidywane na początek każdego interwału czasu kwoty pieniężne będą na jednakowym poziomie

K

, wtedy

suma wszystkich dyskontowanych kwot na przestrzeni n interwałów czasu wyraża się następująca zależnością:

1

)

1

(

1

)

1

(

1

1



















n

D

D

n

D

D

n

D

r

r

r

K

q

q

K

SK

(2.22)

-

Gdy przewidywane na koniec każdego interwału czasu kwoty pieniężne będą na jednakowym poziomie

K

, wtedy

suma wszystkich dyskontowanych kwot na przestrzeni n interwałów czasu wyraża się następująca zależnością:

n

D

D

n

D

D

n

D

D

r

r

r

K

q

q

q

K

SK

)

1

(

1

)

1

(

1

1

















(2.23)

Wyprowadzone formuły (2.22) i (2.23) maja zastosowanie tylko w tych przypadkach, gdy pozyskiwane kwoty

pieniężne oraz stopa dyskonta, we wszystkich interwałach rozważanego czasu, będą na jednakowym poziomie.

Jeżeli przewidywane kwoty pieniężne będą ulegały zmianie, w poszczególnych interwałach czasu, według

funkcji wykładniczej, przy stałej stopie zmienności kapitału

)

(

ZK

r

, czyli

1

1

)

1

(







i

ZK

i

r

K

K

(2.24)

wtedy sumę wszystkich dyskontowanych kwot na przestrzeni n interwałów czasu można wyrazić również za pomocą
szeregu geometrycznego, którego parametry będą następujące:
-

Dla kwot pieniężnych pozyskiwanych na początek każdego interwału czasu

D

ZK

DZ

r

r

q

q

K

a











1

1

1

1

(2.25)

-

Dla kwot pieniężnych pozyskiwanych na koniec każdego interwału czasu

5

D

ZK

DZ

D

r

r

q

q

r

K

a













1

1

1

1

1

1

(2.26)

Znak (+) dotyczy przypadku, gdy przewidywana wartość kapitału ma ulegać wzrostowi, zaś znak (-) odnosi się

do przypadku, gdy przewidywana wartość kapitału ma ulegać spadkowi.


2.4. Przykłady liczbowe dla dyskontowania kwot pieniężnych

Przykład 1

Niech prognozowane w każdym roku kwoty pieniężne, reprezentujące dochody, będą na jednakowym poziomie

zł

K

400

8



. Zakładając roczną stopę dyskonta

09

.

0



D

r

, określić z okresu 6 lat sumę wszystkich dyskontowanych

kwot, na początek pierwszego roku prognozy.

Rozwiązanie:

Zgodnie ze wzorem (2.21) obliczamy współczynnik rocznego dyskonta

9174

.

0

1

1







D

D

r

q

-

Dla kwot przewidywanych na początek każdego roku, realizujemy formułę (2.22), na podstawie której obliczymy

sumę wszystkich dyskontowanych na początek pierwszego roku dochodów, za okres 6 lat, czyli

zł

SK

12

.

070

41

8893

.

4

400

8

9174

.

0

1

9174

.

0

1

400

8

6















-

Dla kwot przewidywanych na koniec każdego roku, realizujemy formułę (2.23), na podstawie której obliczymy

sumę wszystkich dyskontowanych na początek pierwszego roku dochodów, za okres 6 lat, czyli

zł

SK

36

.

677

37

4854

.

4

400

8

9174

.

0

1

9174

.

0

1

9174

.

0

400

8

6

















Z porównania otrzymanych w obu przypadkach wartości SK wynika, że sposób prognozowania dochodów (na początek
lub na koniec roku) ma istotny wpływ na wynik ich dyskonta. W analizowanym przykładzie różnice wartości SK są na
poziomie 9 %.

Przykład 2
Niech prognozowane kwoty pieniężne, reprezentujące dochody, z poziomu pierwszego roku

zł

K

400

8

1



podlegają

wzrostowi, według rocznej stopy

03

.

0



ZK

r

. Zakładając roczną stopę dyskonta

09

.

0



D

r

, określić z okresu 6 lat

sumę wszystkich kwot, dyskontowanych na początek pierwszego roku prognozy.

Rozwiązanie:

Zgodnie ze wzorem (2.25) lub (2.26) obliczamy skorygowany współczynnik rocznego dyskonta

9450

.

0

1

1









D

ZK

DZ

r

r

q

-

Dla kwot przewidywanych na początek każdego roku, realizujemy dla wartości (2.26) formułę (2.23), na podstawie

której obliczymy sumę wszystkich dochodów dyskontowanych na początek pierwszego roku, za okres 6 lat, czyli

zł

SK

04

.

958

43

2331

.

5

400

8

9450

.

0

1

9450

.

0

1

400

8

6















-

Dla kwot przewidywanych na koniec każdego roku, realizujemy dla wartości (2.25) formułę (2.28), na podstawie

której obliczymy sumę wszystkich dochodów dyskontowanych na początek pierwszego roku, za okres 6 lat, czyli

6

1 0.9450

8400 0.9174

8400 4.8008

40 326, 02

1 0.9450

SK

zł

















Z porównania otrzymanych wartości SK wynika, że w zależności od sposobu prognozowania dochodów (na początek
lub na koniec roku), otrzymujemy różnice w wynikach dyskontowania na poziomie 6 %.