Marzena Gorzycka

Ćwiczenie 41

Wyznaczanie stałej Halla

Tabele otrzymanych wyników pomiarowych i obliczeń

Pomiar bez pola magnetycznego

I [A]	U0 [V]
0,01	0,001
0,02	0,003
0,03	0,004
0,04	0,005
0,05	0,006
0,06	0,008
0,07	0,009
0,08	0,010
0,09	0,011
0,10	0,012

Dla I=1A → B=0,142T

I [A]	UH [V]
0,01	0,039	0,053521127	1,16617*10^20
0,02	0,070	0,047183099	1,32282*10^20
0,03	0,108	0,048826291	1,2783*10^20
0,04	0,142	0,048239437	1,29385*10^20
0,05	0,174	0,047323944	1,31888*10^20
0,06	0,211	0,047652582	1,30978*10^20
0,07	0,243	0,047082495	1,32564*10^20
0,08	0,277	0,047007042	1,32777*10^20
0,09	0,310	0,046791862	1,33388*10^20
0,10	0,337	0,045774648	1,36352*10^20

Dla I=1,5A → B=0,210T

I [A]	UH [V]
0,01	0,054	0,05047619	1,23652*10^20
0,02	0,105	0,048571429	1,28501*10^20
0,03	0,151	0,046666667	1,33746*10^20
0,04	0,200	0,046428571	1,34431*10^20
0,05	0,248	0,046095238	1,35404*10^20
0,06	0,299	0,046190476	1,35124*10^20
0,07	0,348	0,046122449	1,35324*10^20
0,08	0,393	0,039202381	1,59211*10^20
0,09	0,444	0,045820106	1,36217*10^20
0,10	0,483	0,044857143	1,39141*10^20

Dla I=1,8 → B=0,248T

I [A]	UH [V]
0,01	0,066	0,052419355	1,19068*10^20
0,02	0,119	0,046774194	1,33438*10^20
0,03	0,180	0,047311828	1,31922*10^20
0,04	0,239	0,047177419	1,32298*10^20
0,05	0,290	0,045806452	1,36257*10^20
0,06	0,360	0,047311828	1,31922*10^20
0,07	0,412	0,046428571	1,34431*10^20
0,08	0,470	0,046370968	1,34598*10^20
0,09	0,531	0,046594982	1,33951*10^20
0,10	0,570	0,045	1,38699*10^20

Dla I=1A

,

Dla I=1,5A

,

Dla I=1,8A

,

1. Teoria

Jeżeli płytkę metaliczna, w której płynie stały prąd elektryczny, umieścimy w prostopadłym do niej polu magnetycznym, to między jej krawędziami równoległymi do prądu i pola powstaje różnica potencjałów U_H=ϕ₁-ϕ₂.

Zjawisko to zostało odkryte przez Halla i nosi nazwę efektu Halla lub zjawiska galwanomagnetycznego.

Efekt Halla można łatwo wyjaśnić na gruncie teorii elektronowej. W nieobecności pola magnetycznego prąd w płytce uzależniony jest od pola elektrycznegoE₀. Przez płytkę przepływa prąd I. Mechanizm przewodzenia polega na uporządkowanym ruchu ładunków elektrycznych e. Gdy liczba ładunków w jednostce objętości wynosi n, a prędkość średnia u to możemy zapisać równość postaci

.

Powierzchnie ekwipotencjalne tego pola tworzą układ płaszczyzn prostopadłych do wektora E₀. Dwie z tych płaszczyzn przedstawione są na rysunku ciągłymi liniami prostymi. Potencjał we wszystkich punktach każdej z tych powierzchni, a wiec i w punktach 1 i 2 jest jednakowy. Nośniki prądu, czyli elektrony mają ładunek ujemny i dlatego prędkość u ich uporządkowanego ruchu jest skierowana przeciwnie do gęstości prądu j. Po włączeniu pola magnetycznego każdy nośnik znajduje się pod działaniem siły magnetycznej F, skierowanej wzdłuż b płytki i równej co do wartości

F=euB.

W wyniku jej działania elektrony zyskują składową prędkości skierowaną do górnej (na rysunku krawędzi płytki. W pobliżu tej krawędzi powstaje nadmiar ładunków ujemnych i odpowiednio przy krawędzi dolnej nadmiar ładunków dodatnich; pojawia się dodatkowe, poprzeczne pole elektryczne E_B. Gdy natężenie tego pola osiąga wartość, przy której jego działanie na ładunki równoważy siłę magnetyczna F, wtedy poprzeczny rozkład ładunków przechodzi w stan stacjonarny. Odpowiednia wartość E_B wynika z warunku:

.

Pole E_B sumuje się z polem E₀, dając pole wypadkowe E. Powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora natężenia pola elektrycznego, muszą więc ulec obrotowi i zająć położenie przedstawione na rysunku linią przerywaną. Punkty 1 i 2, które poprzednio leżały na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej, mają teraz różne potencjały. Aby znaleźć napięcie między tymi punktami, należy pomnożyć odległość b między nimi przez natężenie E_B:

.

Po podstawieniu wzoru

otrzymujemy

.

Wyrażenie

nosi nazwę stałej Halla. Pomiar napiecia U
i stałej Halla umożliwia wyznaczenie liczby nośników n oraz charakteru przewodnictwa.

.

W przypadku gdy stała Halla jest:

1. R_H<0 mamy do czynienia z przewodnictwem elektronowym

2. R_H>0 mamy do czynienia z przewodnictwem dziurowym.

- w słabym polu magnetycznym

lub

- w silnym polu magnetycznym

W przypadku równych koncentracji: n_e=n_d=n;

- niezależnie od pola
.

Wartości stałej Halla:

1. Dla półprzewodników R_H rzędu
   

2. Dla metali alkalicznych R_H<0 i rzędu
   

3. Dla około połowy metali R_H>0. Kwantowa teoria przewodnictwa metali wyjaśnia ten efekt przewodnictwem metali z „półswobodnymi” elektronami. Takie zjawisko obserwujemy przy znaczącym zapełnieniu pasma przewodnictwa (
   , gdzie N to liczba poziomów energetycznych).

4. Ferromagnetyki wykazują anomalne zjawisko Halla.

,

gdzie R₁ to anormalna stała Halla (zwykle R₁>>R_H), która silnie zależy od temperatury i oporności właściwej metalu.

Element półprzewodnikowy wykorzystujący efekt Halla nazywamy hallotronem. Właściwości hallotronów charakteryzują następujące parametry

• oporność właściwa
  

• stała Halla
  

• ruchliwość Halla
  , związana z tzw. kątem Halla:
  

Aparatura pomiarowa

Próbką pomiarową jest cienka warstwa metalu (np. bizmut). W czasie pomiaru płytkę tę umieszcza się w szczelinie elektromagnetycznej prostopadle do kierunku linii sił pola magnetycznego. Źródłem prądu I_p jest elektroniczny zasilacz prądu stałego Z. Napięcie Halla występujące między elektrodami V_H, mierzymy za pomocą miliamperomierza V (lub kompensatora). Czysty efekt uzyskuje się, gdy linia, na której leżą elektrody V_H jest dokładnie prostopadła do linii łączącej elektrody I_p. Na ogół elektrody V_H są nieznacznie przesunięte względem I_p. W takim przypadku po przyłożeniu do elektrod I_p napięcia, wzdłuż próbki wytwarza się spadek potencjału. Ten spadek napięcia równy jest wskazaniu woltomierza V, występującym po wyłączeniu prądu I_p, lecz w nieobecności pola magnetycznego
.

2. Analiza niepewności pomiarowych

Niepewność pomiarową stałej Halla wynikającą z przeprowadzenia serii pomiarowej oblicza się przy zastosowaniu odchylenia standardowego

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,005581	3,115*10^-5
2	0,0007572	5,733*10^-7
3	-0,000886	7,851*10^-7
4	-0,000299	8,951*10^-8
5	0,0006163	3,798*10^-7
6	0,0002877	8,275*10^-8
7	0,0008578	7,357*10^-7
8	0,0009332	8,709*10^-7
9	0,0011484	1,319*10^-6
10	0,0021656	4,69*10^-6

Stąd mamy

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,004433	1,965*10^-5
2	-0,002528	6,393*10^-6
3	-0,000624	3,889*10^-7
4	-0,000386	1,486*10^-7
5	-5,22*10^-5	2,722*10^-9
6	-0,000147	2,173*10^-9
7	-7,94*10^-5	6,302*10^-9
8	0,0068407	4,679*10^-5
9	0,000223	4,971*10^-8
10	0,0011859	1,406*10^-6

Stąd mamy

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,0053	2,809*10^-5
2	0,0003454	1,193*10^-7
3	-0,000192	3,697*10^-6
4	-5,79*10^-5	3,348*10^-9
5	0,0013131	1,724*10^-6
6	-0,000192	3,697*10^-8
7	0,000691	4,775*10^-7
8	0,0007486	5,604*10^-7
9	0,0005246	2,752*10^-7
10	0,0021196	4,493*10^-6

Stąd mamy

.

Niepewność pomiarową liczby nośników n wynikającą z przeprowadzenia serii pomiarowej oblicza się przy zastosowaniu odchylenia standardowego

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	1,3789*10^19	1,90146*10^38
2	-1,876*10^18	3,51789*10^36
3	2,5762*10^18	6,63672*10^36
4	1,0211*10^18	1,0426*10^36
5	-1,482*10^18	2,19605*10^36
6	-5,723*10^17	3,27568*10^35
7	-2,158*10^18	4,65807*10^36
8	-2,371*10^18	5,62183*10^36
9	-2,982*10^18	8,89016*10^36
10	-5,946*10^18	3,53527*10^37

Stąd mamy

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	1,242*10^19	1,54341*10^38
2	7,574*10^18	5,73702*10^37
3	2,329*10^18	5,42604*10^36
4	1,644*10^18	2,70113*10^36
5	6,714*10^17	4,50757*10^35
6	9,506*10^17	9,03577*10^35
7	7,513*10^17	5,64404*10^35
8	-2,31*10^19	5,35288*10^38
9	-1,42*10^17	2,00684*10^34
10	-3,07*10^18	9,39956*10^36

Stąd mamy

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	1,359*10^19	1,847*10^38
2	-7,8*10^17	6,078*10^35
3	7,367*10^17	5,427*10^35
4	3,609*10^17	1,302*10^35
5	-3,6E*10^18	1,295*10^37
6	7,367*10^17	5,427*10^35
7	-1,77E*10^18	3,143*10^36
8	-1,94*10^18	3,764*10^36
9	-1,29*10^18	1,672*10^36
10	-6,04*10^18	3,649*10^37

Stąd mamy

.

Ostatecznie uwzględniwszy zaokrągloną niepewność pomiarową wynik możemy zapisać w postaci

Dla I=1A

,

Dla I=1,5A

,

Dla I=1,8A

,

4. Wnioski

Jak widać stała Halla przyjmuje w naszym doświadczeniu wartości dodatnie mamy więc do czynienia z przewodnictwem dziurowym (nośnikami prądu są ładunki dodatnie). Wartości stałej Halla i liczby nośników prądu dla poszczególnych pomiarów nie różnią w dużym stopniu (różnica występuje na trzecim miejscu znaczącym).

Niepewność pomiarowa stałej Halla i liczby nośników prądu wynoszą poniżej 2%, przy czym dla pierwszej serii pomiarowej wynosi ona zarówno dla stałej Halla jak i liczby nośników prądu około 1,6%, a dla pozostałych dwóch serii około 0,4%. Powodem tego jest prawdopodobnie błędny odczyt napięcia U_H podczas pierwszej serii, który doprowadził w efekcie do sporych odchyleń pomiędzy wartością średnią, a poszczególnymi wartościami stałej Halla w pierwszej serii.

9

---