| Rafał Cebula | I rok, Grupa Laboratoryjna 2 | Wydział Budownictwa Politechnika Opolska |
|---|---|---|
| Temat Ćwiczenia nr 14 | ZJAWISKO HALLA (pomiar napięcia Halla i koncentracji nośników) | |
| Ćwiczenie nr 9 | 28.05.2008 r. |
Zjawisko Halla – zjawisko galwanamagnetyczne polegające na pojawianiu się napięcia: (tzw.: napięcie Halla UH) w płytce półprzewodnika lub metalu, przez które płynie prąd elektryczny, umieszczonej w prostopadłym do kierunku prądu polu magnetycznym.
Napięcie Halla pojawia się w kierunku prostopadłym zarówno do kierunku pola magnetycznego, jak i prądu.
gdzie:
RH – stałą Halla
B – indukcja magnetyczna
d – grubość płytki ( mierzona w kierunku równoległym do pola magnetycznego)
Stała Halla zależy od koncentracji, rodzaju i ruchliwości nośników ładunku. Jeśli w przewodnictwie elektrycznym dominuje jeden rodzaj nośników (dziury lub elektrony), to jest ono odwrotnie proporcjonalne do ich koncentracji. Pomiar napięcia Halla jest jedną z podstawowych metod badania własności nośników ładunku, zwłaszcza w półprzewodnikach. Na podstawie znaku napięcia Halla można określić jaki rodzaj nośników dominuje w przewodnictwie.
OPIS ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie koncentracji nośników prądu oraz stałej Halla. Zjawisko Halla jest to jedno z najważniejszych zjawisk występujących w metalach i półprzewodnikach. Pojawienie się napięcia Halla wynika z faktu, że pole magnetyczne powoduje ruch nośników prądu po torach zakrzywionych. Jeśli półprzewodnik, mający kształt prostopadłościennej płytki, jest jednorodny to między symetrycznie naprzeciw siebie położonymi elektrodami nie powstaje żadna różnica potencjałów. Z chwilą umieszczenia próbki, przez którą płynie prąd, w polu magnetycznym, prostopadłym do kierunku prądu między elektrodami pojawi się pewne napięcie, zwane napięciem Halla. Napięcie Halla jest proporcjonalne do natężenia prądu płynącego przez próbkę i wartości indukcji pola magnetycznego oraz odwrotnie proporcjonalne do grubości próbki
Tabela pomiarowa.
| Natężenie prądu magnesowania | Natężenie prądu sterującego | Napięcie Halla | Średnia wartość napięcie Halla |
|---|---|---|---|
| IM [A] | IX [A] | UH1 [V] | UH2 [V] |
| 1,2 | 0,54 | 0,026 | 0,025 |
| 1,00 | 0,046 | 0,048 | |
| 1,50 | 0,067 | 0,073 | |
| 2,00 | 0,088 | 0,099 | |
| 2,50 | 0,111 | 0,124 | |
| 3,00 | 0,132 | 0,150 | |
| 3,50 | 0,153 | 0,175 | |
| 4,00 | 0,174 | 0,200 | |
| 4,50 | 0,194 | 0,225 | |
| 5,00 | 0,214 | 0,248 | |
| 2,8 | 0,53 | 0,051 | 0,052 |
| 1,00 | 0,096 | 0,101 | |
| 1,50 | 0,144 | 0,152 | |
| 2,00 | 0,191 | 0,203 | |
| 2,50 | 0,238 | 0,254 | |
| 3,00 | 0,284 | 0,304 | |
| 3,50 | 0,330 | 0,353 | |
| 4,00 | 0,376 | 0,403 | |
| 4,50 | 0,420 | 0,452 | |
| 5,00 | 0,463 | 0,500 |
OBLICZENIA
Napięcie Halla:
$$U_{H} = \frac{U_{H1} + U_{H2}\ }{2}$$
$U_{H1} = \frac{0,026 + 0,025}{2} = 0,0255$ [V]
UH2 = 0, 047 [V]
UH3 = 0, 07 [V]
UH4 = 0, 0935[V]
UH5 = 0, 1175[V]
UH6 = 0, 141[V]
UH7 = 0, 164[V]
UH8 = 0, 187[V]
UH9 = 0, 209[V]
UH10 = 0, 231[V]
Wartość indukcji pola magnetycznego B obliczam ze wzoru:
B[T] = 0, 4IM
Dla IM = 1,2 [A] wartość indukcji wynosi: B[T] = 0,4*1,2 =0,48
Dla IM = 2,8[A] wartość indukcji wynosi: B[T] = 0,4*2,8 =1,12
Grubość płytki półprzewodnikowej wynosi d = 8*10-6m
Stałą Halla dla IM = 1,2 [A] wyznaczam z zależności:
$$R = \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B}$$
$$R_{1} = \frac{0,0255*8*10^{- 6}}{0,54*0,48} = 7,87*10^{- 7}$$
R2=7,83*10-7
R3=7,77*10-7
R4=7,79*10-7
R5=7,83*10-7
R6=7,83*10-7
R7=7,81*10-7
R8=7,79*10-7
R9=7,74*10-7
R10=7,70*10-7
Rśr.=1,41*10-5
Koncentrację nośników prądu wyznaczam z zależności:
$$n = \frac{1}{e*R}$$
e = 1,6*10-19 C
$$n_{1} = \frac{1}{1,6*10^{- 19}*7,87*10^{- 7}} = 7,94*10^{14}$$
n2 = 7,98*1014
n3 = 8,041014
n4 = 8,021014
n5 = 7,98*1014
n6 = 7,98*1014
n7 = 8,00*1014
n8 = 8,02*1014
n9 = 8,07*1014
n10 = 8,12*1014
nśr = 8,02*1015
Niepewność wielkości R wyznaczam ze wzoru:
$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{d}{I_{x}*B}*u(U_{H}) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}}{I_{x}*B}*u(d) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{B*I_{x}^{2}}*u(I_{x)} \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B^{2}}*u(B) \right)^{2}}$$
Grubość płytki półprzewodnikowej przyjmuje jako wartość nie obarczoną błędem, dlatego u(d) = 0. Z tego względu powyższe równanie otrzymuje postać:
$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{d}{I_{x}*B}*u(U_{H}) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{B*I_{x}^{2}}*u(I_{x)} \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B^{2}}*u(B) \right)^{2}}$$
u(B) = 0,02
Niepewność pomiaru u(H)
| i | Hi | (Hi - $\overset{\overline{}}{H}$) | (Hi - $\overset{\overline{}}{H}$)2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,0255 | -0,1875 | 0,035 |
| 2 | 0,047 | -0,166 | 0,027 |
| 3 | 0,07 | -0,143 | 0,020 |
| 4 | 0,935 | 0,722 | 0,521 |
| 5 | 0,1175 | -0,095 | 0,0091 |
| 6 | 0,147 | -0,072 | 0,0052 |
| 7 | 0,164 | -0,049 | 0,0024 |
| 8 | 0,187 | -0,026 | 0,00068 |
| 9 | 0,209 | 0,0004 | 0,000015 |
| 10 | 0,231 | 0,018 | 0,00032 |
$$\sum_{i = 1}^{10}H_{i} = 2,127$$ |
$$\sum_{i = 1}^{10}{{(H\text{i\ } - \ \overset{\overline{}}{H})}^{2} = 0,621}$$ |
$$\overset{\overline{}}{\text{\ H}_{i}} = 0,213$$
$$u\left( \overset{\overline{}}{H} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(H\text{i\ } - \ \overset{\overline{}}{H})}^{2}}{n(n - 1)}} = \sqrt{\frac{0,621}{10*(10 - 1)}} = 0,083$$
Niepewność pomiaru u(I)
| i | Ii | (Ii - $\overset{\overline{}}{I}$) | (Ii - $\overset{\overline{}}{I}$) 2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,54 | -2,21 | 4,88 |
| 2 | 1,00 | -1,75 | 3,06 |
| 3 | 1,50 | -1,25 | 1,56 |
| 4 | 2,00 | -0,75 | 0,56 |
| 5 | 2,50 | -0,25 | 0,06 |
| 6 | 3,00 | 0,25 | 0,06 |
| 7 | 3,50 | 0,75 | 0,56 |
| 8 | 4,00 | 1,25 | 1,56 |
| 9 | 4,50 | 1,75 | 3,06 |
| 10 | 5,00 | 2,25 | 5,06 |
$$\sum_{i = 1}^{10}I_{i} = 27,54$$ |
$$\sum_{i = 1}^{10}{{(I\text{i\ } - \ \overset{\overline{}}{I})}^{2} = 20,42}$$ |
$$\overset{\overline{}}{\text{\ I}_{i}} = 2,75$$
$$u\left( \overset{\overline{}}{I} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(I\text{i\ } - \ \overset{\overline{}}{I})}^{2}}{n(n - 1)}} = \sqrt{\frac{20,42}{10*(10 - 1)}} = 0,47$$
$$u\left( R_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{8*10^{- 6}}{0,54*0,48}*0,083 \right)^{2} + \left( \frac{0,0255*8*10^{- 6}}{0,48*{0,54}^{2}}*0,47 \right)^{2} + \left( \frac{0,0255*8*10^{- 6}}{0,54*{0,48}^{2}}*0,02 \right)^{2}} = 2,651*10^{- 6}$$
u(R2)= 1,432*10-6
u(R3)= 2,460*10-6
u(R4)= 7,162*10-6
u(R5)= 5,545*10-6
u(R6)= 8,425*10-6
u(R7)= 4,057*10-6
u(R8)= 2,106*10-6
u(R9)= 7,869*10-6
u(R10)= 1,736*10-6
Niepewność u(n) wyznaczam z zależności:
$$u\left( n \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{e*R^{2}}*u(R) \right)^{2}}$$
$$u\left( n_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{1,6*10^{- 19}*7,87*10^{- 7}}*2,651*10^{- 6} \right)^{2}} = 2,105*10^{19}$$
u(n2)=1,143*1019
u(n3)=1,978*1019
u(n4)=5,746*1019
u(n5)=4,426*1019
u(n6)=6,725*1019
u(n7)=3,247*1019
u(n8)=1,689*1019
u(n9)=6,354*1019
u(n10)=1,409*1019
Napięcie Halla:
$$U_{H} = \frac{U_{H1} + U_{H2}\ }{2}$$
$U_{H1} = \frac{0,026 + 0,025}{2} = 0,0515$ [V]
UH2 = 0, 0985 [V]
UH3 = 0, 148 [V]
UH4 = 0, 197[V]
UH5 = 0, 246[V]
UH6 = 0, 276[V]
UH7 = 0, 3415V]
UH8 = 0, 3895[V]
UH9 = 0, 436[V]
UH10 = 0, 4815[V]
Stałą Halla dla IM = 2,8 [A] wyznaczam z zależności:
$$R = \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B}$$
$$R_{1} = \frac{0,0515*8*10^{- 6}}{0,53*1,12} = 6,94*10^{- 7}$$
R2=7,03*10-7
R3=7,05*10-7
R4=7,03*10-7
R5=7,03*10-7
R6=6,57*10-7
R7=6,97*10-7
R8=6,96*10-7
R9=6,92*10-7
R10=6,88*10-7
Rśr.=6,24*10-5
Koncentrację nośników prądu wyznaczam z zależności:
$$n_{1} = \frac{1}{1,6*10^{- 19}*6,94*10^{- 7}} = 9,01*10^{14}$$
n2 = 8,89*1014
n3 = 8,871014
n4 = 8,891014
n5 = 8,89*1014
n6 = 9,51*1014
n7 = 8,97*1014
n8 = 8,98*1014
n9 = 9,03*1014
n10 = 9,08*1014
nśr = 9,01*1015
Niepewność wielkości R wyznaczam ze wzoru:
$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{d}{I_{x}*B}*u(U_{H}) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{B*I_{x}^{2}}*u(I_{x)} \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B^{2}}*u(B) \right)^{2}}$$
u(B) = 0,02
Niepewność pomiaru u(H)
| i | Hi | (Hi - $\overset{\overline{}}{H}$) | (Hi - $\overset{\overline{}}{H}$)2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,0515 | -0,214 | 0,046 |
| 2 | 0,0985 | -0,167 | 0,028 |
| 3 | 0,148 | -0,118 | 0,014 |
| 4 | 0,197 | -0,069 | 0,0048 |
| 5 | 0,246 | -0,02 | 0,0004 |
| 6 | 0,276 | 0,01 | 0,0001 |
| 7 | 0,3415 | 0,075 | 0,0057 |
| 8 | 0,3895 | 0,123 | 0,015 |
| 9 | 0,436 | 0,170 | 0,029 |
| 10 | 0,4815 | 0,215 | 0,046 |
$$\sum_{i = 1}^{10}H_{i} = 2,665$$ |
$$\sum_{i = 1}^{10}{{(H\text{i\ } - \ \overset{\overline{}}{H})}^{2} = 0,189}$$ |
$$\overset{\overline{}}{\text{\ H}_{i}} = 0,266$$
$$u\left( \overset{\overline{}}{H} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(H\text{i\ } - \ \overset{\overline{}}{H})}^{2}}{n(n - 1)}} = \sqrt{\frac{0,189}{10*(10 - 1)}} = 0,046$$
Obliczam niepewność u( R )
$$u\left( R_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{8*10^{- 6}}{0,53*1,12}*0,046 \right)^{2} + \left( \frac{0,0515*8*10^{- 6}}{1,12*{0,53}^{2}}*0,47 \right)^{2} + \left( \frac{0,0515*8*10^{- 6}}{0,53*{1,12}^{2}}*0,02 \right)^{2}} = 8,736*10^{- 6}$$
u(R2)= 4,662*10-6
u(R3)= 3,112*10-6
u(R4)= 2,334*10-6
u(R5)= 1,364*10-6
u(R6)= 8,425*10-6
u(R7)= 1,686*10-6
u(R8)= 8,624*10-6
u(R9)= 1,035*10-6
u(R10)= 9,334*10-6
Niepewność u(n) wyznaczam z zależności:
$$u\left( n \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{e*R^{2}}*u(R) \right)^{2}}$$
$$u\left( n_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{1,6*10^{- 19}*6,94*10^{- 7}}*8,736*10^{- 6} \right)^{2}} = 7,867*10^{19}$$
u(n2)=4,145*1019
u(n3)=2,759*1019
u(n4)=2,075*1019
u(n5)=1,213*1019
u(n6)=8,015*1019
u(n7)=1,512*1019
u(n8)=7,744*1019
u(n9)=9,347*1019
u(n10)=8,479*1019
WNIOSKI:
Celem ćwiczenia było wyznaczenie stałej Halla R oraz koncentracji n nośników prądu dla dwóch różnych wartości prądu magnesującego IM. Wartości prądu magnesującego to 1,2[A] oraz 2,8[A].
Uzyskane wartości stałej Halla dla prądu magnesującego 1,2 [A] to:
R1 = 7, 87 * 10−7± 2,651*10-6R2=7,83*10-7 ±1,432*10-6
R3=7,77*10-7±2,460*10-6
R4=7,79*10-7±7,162*10-6
R5=7,83*10-7±5,545*10-6
R6=7,83*10-7±8,425*10-6
R7=7,81*10-7±4,057*10-6
R8=7,79*10-7±2,106*10-6
R9=7,74*10-7±7,869*10-6
R10=7,70*10-7±1,736*10-6
Koncentracja nośników prądu dla powyższego prądu magnesującego przedstawia się następująco:
n1 = 7, 94 * 1014±2, 105 * 1019
n2 = 7,98*1014±1,143*1019
n3 = 8,041014±1,978*1019
n4 = 8,021014±5,746*1019
n5 = 7,98*1014±4,426*1019
n6 = 7,98*1014±6,725*1019
n7 = 8,00*1014±3,247*1019
n8 = 8,02*1014±1,689*1019
n9 = 8,07*1014±6,354*1019
n10 = 8,12*1014±1,409*1019
Uzyskane wartości stałej Halla dla prądu magnesującego 2,8 [A] to:
R1 = 6, 94 * 10−7±8,736*10-6R2=7,03*10-7±4,662*10-6
R3=7,05*10-7±3,112*10-6
R4=7,03*10-7±2,334*10-6
R5=7,03*10-7±1,364*10-6
R6=6,57*10-7±8,425*10-6
R7=6,97*10-7±1,686*10-6
R8=6,96*10-7±8,624*10-6
R9=6,92*10-7±1,035*10-6
R10=6,88*10-7±9,334*10-6
Koncentracja nośników prądu dla powyższego prądu magnesującego przedstawia się następująco:
n1 = 9, 01 * 1014 ± 7, 867 * 1019
n2 = 8,89*1014±4,145*1019
n3 = 8,871014±2,759*1019
n4 = 8,891014±2,075*1019
n5 = 8,89*1014±1,213*1019
n6 = 9,51*1014±8,015*1019
n7 = 8,97*1014±1,512*1019
n8 = 8,98*1014±7,744*1019
n9 = 9,03*1014±9,347*1019
n10 = 9,08*1014±8,479*1019
Napięcie Halla jest proporcjonalne do natężenia prądu płynącego przez próbkę i wartości indukcji pola magnetycznego oraz odwrotnie proporcjonalne do grubości próbki.
Wykres przedstawiający zależność UH = f(IX) , potwierdza powyższe stwierdzenie gdyż obrazem tej charakterystyki jest linia prosta.