1. Obliczenia w sieciach elektroenergetycznych

1. Rodzaje i cel obliczeń

Najogólniej obliczenia sieci elektroenergetycznych można podzielić na obliczenia mechaniczne i elektryczne. Inny możliwy podział to podział na obliczenia analityczne i optymalizacyjne. Obliczenia elektryczne mają charakter analityczny. Należy tu zaznaczyć, że dla wykonania obliczeń optymalizacyjnych konieczne są wyniki obliczeń analitycznych.

Obliczenia mogą być wykonywane zarówno dla sieci nowoprojektowanych jak i dla sieci istniejących, przy czym obliczenia mechaniczne wykonuje się głównie na etapie projektowania nowej sieci.

Celem obliczeń wykonywanych na etapie projektowania sieci jest określenie wartości narażeń elektrycznych i mechanicznych dla potrzeb doboru parametrów znamionowych elementów, z których sieć będzie zbudowana oraz optymalizacja struktury sieci.

Przez narażenia elektryczne rozumie się:

• nagrzewanie przewodów w wyniku przepływu prądu roboczego w stanach normalnych i poawaryjnych;

• nagrzewanie przewodów w wyniku przepływu prądu zwarciowego;

• narażenia izolacji na przebicie w wyniku przepięć łączeniowych lub atmosferycznych;

Przez narażenia mechaniczne rozumie się naprężenia wynikające z:

• sił rozciągających przewody (naciąg, obciążenie sadzią, wiatr);

• drgań przewodów wywołanych wiatrem powodujące zmęczenie materiału przewodów
  i osprzętu;

• sił dynamicznych działających na izolatory lub szyny w rozdzielniach.

• siły działających na konstrukcje słupów w wyniku wiatru,

• siły działających na konstrukcje słupów narożnych i odciągowych wynikających z naciągu przewodów,

Obliczenia mogą być wykonywane dla stanów:

• ustalonych dla normalnych lub poawaryjnych układów pracy sieci, w których zmiany wartości napięć w węzłach i prądów w gałęziach w sieci zachodzą wolno i wynikają ze zmian obciążenia i działania regulatorów;

• nieustalonych (przejściowych), w których zmiany wartości napięć w węzłach i prądów w gałęziach w sieci zachodzą wolno (tj. dla stanów zakłóceniowych wywołanych np. przez zwarcia i spowodowane nimi zmiany układu połączeń sieci oraz przepięciami łączeniowymi lub atmosferycznymi).

Zadaniem obliczeń wykonywanych dla sieci istniejącej może być:

• sprawdzenie czy na skutek zmian obciążenia sieci (wzrost mocy pobieranej przez odbiory istniejące i/lub przyłączenie nowych odbiorów) lub zmian konfiguracji, nie zostały przekroczone dopuszczalne wartości narażeń elektrycznych lub mechanicznych elementów sieci;

• sprawdzenie możliwości dokonania zmian w układzie połączeń sieci dla zmniejszenia kosztów eksploatacyjnych (obliczenia optymalizacyjne)

• sprawdzenie możliwości dokonania zmian w układzie połączeń dla zapewnienia rezerwowania w stanach poawaryjnych.

Obliczenia analityczne sieci wykonywane są dla jednoznacznie określonej struktury sieci tj.: układu połączeń i parametrów elementów analizowanej sieci. Obliczenia analityczne wykonuje się dla stanów pracy normalnej, awaryjnej i poawaryjnej sieci.

Dla stanów normalnych i poawaryjnych najczęściej wykonuje się obliczenia obciążeń sieci i rozpływu mocy (prądów) w gałęziach sieci (linie, transformatory) oraz poziomów napięć
w węzłach sieci.

Obliczenia rozpływu mocy wykonuje się w oparciu o znajomość obciążeń w węzłach odbiorczych i poziomów napięć w węzłach zasilających przy zadanej strukturze sieci. Sposób wykonywania tych obliczeń jest zależny od tego czy sieć ma strukturę zamkniętą czy otwartą. Dla obliczenia rozpływu mocy w sieci wielokrotnie zamkniętej konieczne jest rozwiązanie nieliniowego układu równań i wymaga stosowania metod iteracyjnych. Jedynie dla prostszych układów sieci (tj. takich, które łatwo można sprowadzić do toru zasilanego dwustronnie lub trójstronnie) obliczenia rozpływu prądów można wykonać dokonując przekształceń układu sieci. Wykorzystuje się przy tym przekształcenie gwiazda - trójkąt lub odwrotnie oraz przenoszenie odbiorów do węzłów rozgałęźnych w sieci.

Obliczenia rozpływu mocy w sieciach otwartych jest znacznie prostsze, chociaż przy dokładnych obliczeniach może wystąpić konieczność kilkukrotnego wykonania obliczeń (iteracje).

Dla stanów nieustalonych wykonywane są obliczenia:

• zwarciowe;

• stabilności lokalnej

• stabilności globalnej.

1. Czwórniki

Do wykonania obliczeń elektrycznych sieci konieczna jest znajomość schematów zastępczych linii elektroenergetycznych, transformatorów, dławików generatorów. Elementy te reprezentowane są przez mniej lub bardziej skomplikowane czwórniki składające się z elementów pasywnych tj.: rezystancji R, reaktancji X, konduktancji G i susceptancji B, wyznaczanych na podstawie danych znamionowych elementu, który ma być reprezentowany przez dany czwórnik.

Czwórnikiem nazywamy element obwodu elektrycznego mający dwie uporządkowane pary zacisków (rys. 4.1), z których jedna para stanowi zaciski wejściowe, a druga zaciski wyjściowe. Rozróżnia się czwórniki liniowe i nieliniowe. Jeśli wszystkie elementy, z których jest zbudowany czwórnik są liniowe to jest on liniowy, jeśli przynajmniej jeden z elementów jest nieliniowy to czwórnik jest nieliniowy. Czwórnik może być pasywny lub aktywny. Czwórnik jest pasywny jeśli nie zawiera źródeł napięć lub prądów.

Rys. 1. Ogólny schemat czwórnika

Zależność pomiędzy prądami na wejściu i wyjściu czwórnika wyznacza się z równań:

a) łańcuchowych:

(1)

Stałe A, B, C i D w zależności (1) są wielkościami zespolonymi, przy czym A i D są wielkościami bezwymiarowymi, natomiast stała B ma wymiar impedancji (om []), a stała C wymiar admitancji (simens [S])

Równania admitancyjne

(2)

Pomiędzy parametrami czwórnika wyrażonymi poprzez równania admitancyjne zachodzą zależności;

(3)

W modelowaniu elementów sieci elektroenergetycznych często wykorzystuje się połączenia czwórników. Pozwala to na tworzenie czwórników reprezentujących skomplikowane elementy sieci z czwórników elementarnych. Czwórniki można łączyć łańcuchowo lub równolegle.

Rys. 2. Połączenie łańcuchowe czwórników

Dla połączenia łańcuchowego czwórników obowiązują zależności:

(4)

przy czym

(5)

Połączenie równoległe czwórników

Rys. 3. Połączenie równoległe czwórników.

Przy połączeniu równoległym czwórników wygodnie jest korzystać z macierzy admitancyjnych łączonych czwórników. Obowiązują wówczas zależności:

(6)

Elementy macierzy opisującej dany czwórnik przyjmują różne wartości w zależności od tego jaki element ma być przez ten czwórnik reprezentowany:

a) impedancja wzdłużna
:

oraz
(7)

Rys. 2. Impedancja wzdłużna Z jako czwórnik oraz odpowiadające temu czwórnikowi macierze łańcuchowa [A] i admitancyjna [Y].

b) Admitancja poprzeczna

(8)

Rys. 3. Admitancja poprzeczna jako czwórnik oraz odpowiadająca temu czwórnikowi macierz łańcuchowa [A] (macierz impedancyjna [Y] dla tego czwórnika nie istnieje).

Łącząc łańcuchowo czwórniki reprezentujące impedancję wzdłużną i admitancję poprzeczną można otrzymać czwórniki typu ,  lub :

a) b)

Rys. 4. Schemat czwórników typu : a) normalny, b) odwrócony.

Macierz łańcuchową [A] dla czwórnika  otrzymuje się poprzez pomnożenie macierzy łańcuchowej czwórnika reprezentującego admitancję poprzeczną przez macierz łańcuchową czwórnika impedancję wzdłużną. Dla czwórnika typu  odwrócony kolejność mnożonych macierzy jest odwrotna. Elementy macierzy admitancyjnej [Y] można wyznaczyć z równań (3). Elementy macierzy czwórników typu  wyznacza się z zależności:

a) czwórnik typu :

(9)

b) czwórnik typu  odwrócony:

(10)

Czwórnik typu :

Rys. 5. Schemat czwórnika typu .

Dla tego czwórnika obowiązują równania:

(11)

Czwórnik typu :

Rys. 6. Schemat czwórnika typu .

Dla czwórnika typu  obowiązują zależności:

(11)

2. Schematy zastępcze elementów sieci i wyznaczenie ich parametrów

W modelowaniu linii elektroenergetycznych uwzględnia się następujące parametry:

• R_L - rezystancję przewodów w [];

• X_L - reaktancję indukcyjną przewodów w [];

• G_L - konduktancję poprzeczną w [S];

• B_L - susceptancję pojemnościową w [S].

Nie wszystkie z ww. parametrów uwzględnia się przy modelowaniu linii. To, które parametry są uwzględniane zależy od rodzaju linii. Przyjęto przy tym podział linii elektroenergetycznych na linie I, II i III i IV rodzaju. Przynależność linii do danego rodzaju zależy od napięcia znamionowego, długości linii oraz od tego czy linia jest na napięcie przemienne czy stałe.

Linie I rodzaju

Do linii I rodzaju zalicza się linie:

• napowietrzne niskiego napięcia, w których współczynnik mocy cos > 0.95;

• kablowe o napięciu U_n ≤ 6 kV;

• prądu stałego.

W schemacie zastępczym linii I rodzaju (rys. 7) uwzględnia się tylko rezystancję R_L ≠ 0, pozostałe parametry pomija się (X_L = G_L = B_L = 0).

Rys. 7. Schemat zastępczy linii elektroenergetycznej I rodzaju.

Rezystancję linii wyznacza się z zależności:

• dla linii trójfazowej prądu przemiennego
  

albo (12)

• dla linii prądu stałego lub jednofazowej linii prądu przemiennego
  

gdzie

R₀ - rezystancja jednostkowa linii [/km]

l - długość linii w [km].

Rezystancję jednostkową linii można wyznaczyć z zależności:

[/km] (13)

gdzie:

s - przekrój przewodu w [mm²];

γ - konduktywność materiału, z którego wykonany jest przewód w
:

γ_Al = 33
- dla przewodów wykonanych z aluminium przewodowego twardego lub przewodów stalowo-aluminiowych o stosunku stali do aluminium 1:6;

γ_Cu = 53
- dla przewodów wykonanych z miedzi przewodowej twardej.

W praktyce częściej wykorzystuje się wartości rezystancji jednostkowej R₀ podawane przez producenta przewodów. Jest to szczególnie istotne dla przewodów wykonanych z dwóch metali np. linki stalowo-aluminiowe (AFL). Informacje te można znaleźć w katalogach fabrycznych lub tablicach podanych w różnego rodzaju poradnikach jak np. [10].

Linie II rodzaju

Do linii II rodzaju zalicza się linie:

• napowietrzne niskiego napięcia, w których współczynnik mocy cos ≤ 0.95;

• napowietrzne o napięciu U_n ≤ 30 kV;

• kablowe o napięciu U_n < 30 kV.

W schemacie zastępczym linii II rodzaju (rys. 8) uwzględnia się rezystancję R_L ≠ 0 oraz reaktancję indukcyjną X_L ≠ 0, pomija się konduktancję i susceptancję (G_L = B_L = 0).

Rys. 8. Schemat zastępczy dla linii II rodzaju.

Reaktancję indukcyjną linii wyznacza się z zależności:

(14)

gdzie

X₀ - reaktancja jednostkowa linii w [/km]:

(15)

gdzie

 = 2⋅⋅f - pulsacja prądu przemiennego - dla częstotliwości f = 50 Hz:  = 314 [1/s];

L₀ - indukcyjność robocza jednej fazy w [H/km]

Wartość tej indukcyjności zależy od materiału, z którego wykonany jest przewód, średnicy przewody oraz od średniej odległości przewodów. Dla przewodów wykonanych z materiału niemagnetycznego indukcyjność jednostkową przewodu można wyznaczyć z zależności:

[H/km] (16)

gdzie

b_śr - średnia geometryczna odległość przewodu od przewodów pozostałych faz linii, w przypadku linii jednofazowej odległość od drugiego przewodu w [cm];

r_z - zastępczy promień przewodu dla linii z przewodami wiązkowymi (dla linii z przewodami pojedynczymi: r_z = r).

Współczynnik 0.78 we wzorze (16) obowiązuje dla przewodów wykonanych z materiałów niemagnetycznych. Dla przewodów stalowo-aluminiowych przyjmuje się wartość z przedziału 0.81 ÷ 0.97 (a w praktyce wartość średnią z tego przedziału tj. 0.88).

Rys. 9. Odległości wzajemne przewodów poszczególnych faz linii trójfazowej.

Dla linii trójfazowej z niesymetrycznie rozmieszczonymi przewodami przy oznaczeniach jak na rys. 9. średnią odległość przewodu dowolnej fazy od przewodów pozostałych faz oblicza się z zależności:

(17)

Zastępczy promień dla przewodów wiązkowych wyznacza się z zależności:

(18)

gdzie

n - liczba przewodów w wiązce;

a_śr - średnia geometryczna odległość między przewodami tej samej fazy:

Najczęściej jednak korzysta się z wartości reaktancji jednostkowej podanych w tablicach dla konkretnych linii.

Linie III rodzaju

Do linii III rodzaju zalicza się linie elektroenergetyczne o napięciu U_n > 30 kV i długości
l < 400 km. W schemacie zastępczym linii oprócz rezystancji R_L i reaktancji X_L uwzględnia się susceptancję pojemnościową B_L, a w przypadku możliwości wystąpienia zjawiska ulotu należy uwzględnić również konduktancję poprzeczną linii G_L. Linia taka może być odwzorowana jako czwórnik typu  lub  (rys. 10).

Susceptancję pojemnościową linii wyznacza się z zależności:

(19)

gdzie

C₀ - pojemność jednostkowa fazowa linii w [F/km]:

(20)

Występującą we wzorze (20) średnią odległość przewodów b_śr oraz zastępczy promień przewodów r_z wyznacza się tak samo jak przy obliczaniu indukcyjności jednostkowej korzystając z zależności (17) i (18).

Rys. 10. Schemat zastępczy typu  linii elektroenergetycznej III rodzaju.

Konduktancja linii elektroenergetycznych reprezentuje upływność izolacji oraz straty spowodowane przez ulot w liniach napowietrznych i jest bardzo rzadko uwzględniana w obliczeniach. Występowanie ulotu jest ściśle związane z warunkami atmosferycznymi i występuje wówczas gdy napięcie krytyczne U_kr zmniejszy swoją wartość poniżej roboczego napięcia fazowego linii U_f. Napięcie krytyczne, jednostkowe straty ulotu P_0ul ulotu i jednostkową konduktancję linii wyznacza się z zależności:

, [kV] (21)

, [MW/km] (22)

, [S/km] (23)

w których:

m_p - współczynnik zależny od stanu powierzchni przewodu (m_p = 1 dla drutu nowego,
natomiast dla linek m_p = 0.83 ÷ 0.87);

m_a - współczynnik zależny od gęstości powietrza (m_a = 1 dla dobrej pogody a dla złej pogody
m_a = 0.8;

δ_a - współczynnik zależny od ciśnienia atmosferycznego p_a (w [hPa]) i temperatury powietrza
t (w ^oC):

; (24)

r_z - zastępczy promień przewodu w [cm];

f - częstotliwość w [Hz];

b_śr - średnia geometryczna odległość miedzy przewodami fazowymi w [cm]

U_f - napięcie fazowe w [kV].

Gdy U_kr < U_f zjawisko ulotu nie występuje, straty ulotu są równe zero, a wzór (22) nie ma zastosowania.

Wyznaczanie jednostkowych reaktancji i susceptancji dla linii kablowych jest znacznie bardziej skomplikowane i parametry te są przyjmowane z katalogów wydawanych przez producentów lub wydawnictw typu poradnikowego. Należy tu zaznaczyć, że ze względu na małe odległości przewodów, reaktancja kabli jest kilkakrotnie (4 ÷ 5 razy) mniejsza niż linii napowietrznych i wynosi X₀ = 0.08 ÷ 0.1 [/km]. Z tego samego powodu znacznie większa jest susceptancja pojemnościowa linii kablowych.

Konduktancja kabli wynika ze strat dielektrycznych w izolacji kabli i jest proporcjonalna do współczynnik tgδ i wyznacza się ją z zależności:

(25)

Straty dielektryczne są małe w porównaniu z innymi stratami i są zazwyczaj pomijane
w obliczeniach.

Linie IV rodzaju

Do linii IV rodzaju zalicza się linie napowietrzne najwyższych napięć o długości powyżej 400 km. Linie te analizowane są jako tzw. linie długie i w ich przypadku nie można stosować schematu zastępczego o parametrach skupionych. Linie te zastępowane są czwórnikami o parametrach jednostkowych połączonymi łańcuchowo. W analizie tych linii zasadnicze znaczenie mają zjawiska falowe.

Transformatory trójfazowe

Transformatory dwuuzwojeniowe w obliczeniach są najczęściej zastępowane czwórnikiem typu  (rys. 11) lub typu .

Rys11. Schematy zastępcze typu  i  dla trójfazowego transformatora dwuuzwojeniowego.

Czwórnik typu T jest stosowany niechętnie gdyż wprowadza dodatkowy sztuczny węzeł
w miejscu przyłączenia parametrów porzecznych. Najchętniej stosowany jest czwórnik typu .

Podstawą do wyznaczenia parametrów schematu zastępczego transformatora są jego parametry znamionowe:

• S_n - moc znamionowa w [MVA];

•  - przekładnia stanowiąca stosunek napięcia znamionowego U_nG uzwojenia górnego napięcia do napięcia znamionowego U_nG uzwojenia dolnego napięcia (lub stosunkiem liczny zwojów poszczególnych uzwojeń);

• P_Cu - znamionowe straty mocy czynnej w uzwojeniach transformatora w [MW] lub w [%] mocy znamionowej S_n;

• P_Fe - straty mocy czynnej w obwodzie magnetycznym (w rdzeniu) P_Fe w [MW] lub w [%] mocy znamionowej S_n;

• I₀ - prąd biegu jałowego transformatora w [%] prądu znamionowego.

• U_k - napięcie zwarcia wyrażone w procentach napięcia znamionowego [%];

Impedancja fazowa:

, []. (26)

Rezystancja fazowa:

, [] lub
[]. (27)

Reaktancja fazowa:

, []. (28)

Dla transformatorów o napięciu zwarcia U_k ≥ 10 % reaktancja fazowa transformatora jest prawie równa impedancji fazowej:

=
, []. (29)

Konduktancja:

, [S] lub
, [S]. (30)

Susceptancja indukcyjna:

, [S]. (31)

Wyznaczając parametry transformatorów z powyższych wzorów, podstawia się napięcie znamionowe uzwojenia górnego bądź dolnego napięcia (dla wszystkich parametrów to samo). Wyznaczone w ten sposób parametry są odniesione do tego właśnie napięcia.

Transformatory trójfazowe trójuzwojeniowe

Dla transformatorów trójuzwojeniowych znamionowe straty mocy oraz napięcia zwarcia podawane są dla poszczególnych par uzwojeń:

P_CuGS /P_CuGD /P_CuSD - znamionowe straty mocy czynnej w parach uzwojeń transformatora górne-średnie/górne-dolne/średnie-dolne (G-S/G-D/S-D )w [MW] lub w [%] mocy znamionowej S_n (przy czym za moc znamionową transformatora trójuzwojeniowego jest największa z mocy znamionowych uzwojeń - w transformatorach sieciowych jest to moc uzwojenia górnego napięcia);

U_kGS /U_kGD /U_kSD - napięcia zwarcia dla poszczególnych par uzwojeń wyrażone w [%] napięcia znamionowego;

Schematy zastępcze transformatorów trójuzwojeniowych pokazano na rys. 12. W schemacie zastępczym transformatorów o napięciu znamionowym (górnym) do 30 kV pomija się gałąź poprzeczną. Dla transformatorów o napięciu znamionowym większym niż 30 kV parametry gałęzi poprzecznej wyznacza się z zależności (30) i (31) najlepiej w odniesieniu do moc znamionowej oraz napięcia znamionowego.

a)

b)

c)

Rys. 12. Schematy zastępcze transformatorów trójuzwojeniowych: a) transformator o napięciu górnym do 30 kV; b) transformator o napięciu górnym > 30 kV schemat typu ; c) transformator o napięciu górnym > 30 kV schemat typu .

Rezystancje poszczególnych par uzwojeń oblicza się z zależności:

(32)

Uwzględniając fakt, że:

(33)

rezystancje poszczególnych uzwojeń wyznacza się z zależności:

, []

, [] (34)

, []

Uwzględniając fakt, że udział rezystancji w impedancji poszczególnych par uzwojeń jest pomijalnie mały, reaktancje par uzwojeń transformatora wyznacza się korzystając uproszczonych zależności:

, []

, [] (35)

, []

Również w tym przypadku zachodzą zależności:

(36)

ostatecznie, reaktancje fazowy poszczególnych uzwojeń wyznacza się z zależności:

(37)

W powyższych zależnościach należy wyrażać: napięcie znamionowe U_n w [kV], napięcia zwarcia U_k w [%], moc znamionową S_n w [MVA], a straty obciążeniowe P_Cu w [MW].

Literatura

1. Bernas S.: Systemy elektroenergetyczne. WNT, Warszawa 1986.

2. Cegielski M.: Sieci i systemy elektroenergetyczne. PWN, Warszawa 1979.

3. Kinsner K., Serwin A., Sobierajski M., Wilczyński A.: Sieci elektroenergetyczne. Wyd. Pol. Wrocławskiej, Wrocław 1993.

4. Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. WNT, Warszawa 1996.

5. Kujszczyk Sz., Brociek S., Flisowski Z. Gryko J., Nazarko J., Zdun Z.: Elektroenergetyczne układy przesyłowe. WNT, Warszawa, 1997.

6. Kujszczyk Sz. pod red. Elektroenergetyczne sieci rozdzielcze. tom I i II, WNT, Warszawa 1991.

7. Popczyk J.: Elektroenergetyczne układy przesyłowe. Pol. Śląska, skrypt nr 1196, Gliwice 1984.

8. Strojny J., Strzałka J.: Zbiór zadań z sieci elektrycznych. Cz. I, AGH, skrypt nr 999, Kraków 1986 (lub nowszy).

9. Strojny J., Strzałka J.: Zbiór zadań z sieci elektrycznych. Cz. II, AGH, skrypt nr 1019, Kraków 1986 (lub nowszy).

10. Poradnik inżyniera elektryka tom 3. WNT, Warszawa 1997

SIECI ELEKTROENERGETYCZNE

15

Przygotował: W. Szpyra, Zakład Elektroenergetyki AGH, tel.: [phone], e-mail: [e-mail]

I₁

I₂

U₁

U₂

U₁

U₂

I₁

I₂

I₂

I₁

U₂

U₁

Y

Z

Y

I₂

I₁

U₂

U₁

Z

Y

I₂

I₁

U₂

U₁

Z₂

Y

I₂

I₁

U₂

U₁

Z₁

Y₁

Y₂

I₁

U₂

U₁

I₂

Z

Z

I₂

Y₂

I₁

Y₁

U₂

U₁

[A]

[A₁]

U₂

U₁

U₁

I₁

[A₂]

U₂

[Y^']

I₂

I₂

I₁

[Y^'']

R_L

I₂

I₁

U₂

U₁

R_L

I₂

I₁

U₂

U₁

X_L

A

B

C

b_AB

b_BC

b_CAB

X_L

R_L

I₂

I₁

U₂

U₁

U₂

B_T

B_T

G_T

G_T

X_T

R_T

I₂

I₁

U₂

U₁

I₂

I₁

U₂

U₁

---