1. DRGANIA MECHANICZNE.

Drgania to każdy ruch lub zmiana stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fiz. określających ten ruch lub stan. Drg.: mechaniczne, elektromagnetyczne, akustyczne.

Drgania ciała dookoła pewnego położenia równowagi nazywamy drganiami harmonicznymi. Ruch harmoniczny opisany jest: s = Asinωt, s-wychylenie z położenia równowagi, A-wynika z charakteru funkcji sinus (ma wymiar wychylenia s) -1≤sinωt≤1; -A≤s≤A, A-amplituda wychylenia. Można powiedzieć, że s wykonuje drgania wokół położenia równowagi zbliżając się i oddalając kolejno do wartości +A i -A.

Drgania odbywają się z regularnością zwaną okresem(T): T=2π/ω, gdzie ω- prędkość kołowa (pulsacja).

Liczba pełnych drgań wokół położenia równowagi w jedn. czasu (odwrotność okresu) to częstotliwość drgań: ƒ=1/T=ω/2π, ω=2πƒ, ω=2π/T; s=Asin*2π/T*t, s=Asin(ωt+ϕ), ϕ-faza początkowa;

V=ds/dt=Aωcosωt= Aωcos*2π/T*t

a=dV/dt=-Aω²sinωt=-Aω²sin*2π/T*t

a=-ω²s ; a=-*4π²/T²*s

Przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do wychylenia.

ma = -mω²s , F = -mω²s

(a ∼s , F∼s)→fizyczne definicje ruchu harmonicznego. Znak „-” oznacza, że zwrot przyspieszenia jest przeciwny do wychylenia. Prędkość jest max w chwili mijania położenia równowagi (+Aω, -Aω)i przyjmuje wartości 0 w największych wychyleniach. Przyspieszenie jest max, gdy wychylenie jest max.

s=Asin(ωt),

s=Asin(ωt+ϕ),

s=Acos(ωt+ϕ)

Z istnienia przyspieszenia w ruchu harmonicznym wynika, że każdy drgający punkt materialny posiadający masę m podlega działaniu sił:

F=-mω²s=-m*4π²/T²*s,

F∼s lecz przeciwnie skierowana (cecha sił sprężystych). mω²=k, F=-ks , F=m*d²s/dt²=-ks,

m*d²s/dt²+ks=0

Ciało posiada energię kinetyczną.: E_k=0,5mω²A²cos²(ωt+ϕ) .

E_k jest zawsze dodatnia. Natomiast E_p jest równa pracy:

E_p=W=∫Fds=-∫ksds=-ks²/2, E_p=1/2*mω²A²sin²(ωt+ϕ),

E_c= E_k+E_p=1/2* mω²A²[cos²(ωt+ϕ)+

+sin²(ωt+ϕ)] , E_k+E_p=1/2* mω²A² ,

E_c=1/2* mω²A² ,

E_p i E_k wahają się między 0 a max, natomiast E_c jest stała w czasie.

2. DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE.

Drgania zachodzące w warunkach rzeczywistych zawsze wiążą się z przekazem energii otoczeniu w związku z pokonywaniem sił oporu.

Energia drgającego ciała więc maleje i zmniejsza się amplituda. Najczęściej siła oporu jest siła proporcjonalna do prędkości i skierowana przeciwnie. Dla małych prędkości siła oporu jest proporcjonalna do prędkości w I potędze, dla dużych w II lub III.

F=-bV=-b*ds/dt , b-współczynnik oporu (np. lepkość).

m*d²x/dt²=-kx-b*dx/dt ,

d²x/dt²+b/m*dx/dt+k/m*x=0 ,

b/m=2δ (delta) ,

Rozwiązaniem równania jest:

x=A₀e^-δt sin(ωt+ϕ)

x-wychylenie, A₀- I max. amplituda, δ-stała tłumienia, ω-pulsacja drg.tłu., ω₀-pulsacja drgań własnych.

Pojęcie- logarytmiczny dekrement tłumienia to jest logarytm naturalny ze stosunku dwóch amplitud różniących się o okres.

Ω=ln*A₀e^-δt/ A₀e^-δ(t+T)=

= ln*A₀e^-δt/ A₀e^-δtA₀e^-δT=lne^δT=δTlne ,

Ω=δTlne → δ=Ω/T ,

x=A₀e^-δ*t/T sin(ωt+ϕ) ,

ω= |ω₀²-δ² .

1) ω₀>>δ drg.tł.periodyczne

2) ω₀<<δ drg.tł.aperiodyczne

3) ω₀=δ ruch krytyczny

3. DRGANIA WYMUSZONE -

-REZONANS.

Każdy układ drgający nie poddawany stałej sile zewn. jest układem o drganiach zanikających. Żeby utrzymać pewną stałą amplitudę drgań, należy zasilić drgania pewną siłą (energią).

F=F₀sin(Ωt) ,

F₀ - amplituda tej siły, Ω - pulsacja zmian tej siły.

Równanie drgań wymuszonych ma postać rozszerzoną:

d²x/dt²+2δ*dx/dt+ω₀x=γsinΩt , (1)

γ=F₀/m , x=Bsin(Ωt-ϕ) , x=(2)

B=F₀/m |(ω₀²-Ω²)²+(2δΩ)² , (3)

ϕ=arctg(2δΩ/ω₀²-Ω²) , (4)

β - amplituda drgań wymuszonych, γ - faza początkowa, ω₀ - pulsacja drgań własnych układu, Ω - pulsacja siły wymuszającej.

Wnioski: (1) drgania wymuszone odbywają się z pulsacją Ω siły wymuszającej.

(2) drgania wymuszone mają inną fazę niż siła wymuszająca. (3) amplituda drgań wymuszonych (β) zależy od różnicy ω₀²-Ω²

Drgania wymuszone osiągają max amplitudę, gdy:

d[(ω₀²-Ω²)²+(2δΩ)²] / dΩ=0 ,

-4Ω(ω₀²-Ω²)+8δ²Ω=0 ,

-4Ωω₀²+4Ω³+8δ²Ω=0 ,

-4ω₀²+4Ω²+8δ²=0 ,

-ω₀²+Ω²+2δ²=0 ,

Ω²=ω₀²-2δ² , Ω_r= |ω₀²-2δ² .

Pulsacja rezonansowa jest mniejsza od pulsacji drgań własnych układu.

Dla pulsacji o bardzo małym tłumieniu δ można przyjąć, że pulsacja rezonansowa siły wymuszającej jest równa pulsacji drgań własnych Ω_r=ω₀.

δ₁<δ₂<δ₃<δ₄<δ₅

Przykładem układu rezonansowego może być kamerton, zamocowany na pudle rezonansowym:

Impedancja akustyczna - na granicy dwóch ośrodków zachodzi skok impedancji akustycznej.

Pudło rezonansowe jest transformatorem akustycznym dopasowującym impedancję układu akustycznego do powietrza.

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

4. SKŁADANIE DRGAŃ PROSTOPADŁYCH

Drgania poruszają się w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.

x=rcosα ,

y=rsinα ,

r=A, α=ωt ,

x=Acos(ωt)=

=Asin(ωt+π/2) ,

y=Asin(ωt) .

Oba drgania różnią się fazą drgania i przesunięte są względem siebie o π/2. Oba równania opisują ruch harmoniczny o jednakowej amplitudzie i pulsacji. Każdy z nich jest ruchem rzutu punktu M na odpowiednią średnicę. W wyniku złożenia opisanych dwóch ruchów harmonicznych otrzymujemy ruch jednostajny po okręgu. Można dokonać złożenia ruchów różniących się amplitudą, pulsacją czy fazą. Otrzymuje się wtedy krzywe Lissajous obserwowane na ekranie oscyloskopu.

5. SUPERPOZYCJA DRGAŃ O JEDNAKOWYM OKRESIE. DRGANIA RÓWNOLEGŁE.

Rozważmy układ o jednym stopniu swobody wykonującym równocześnie kilka drgań harmonicznych wzdłuż tej samej prostej. Jeśli weźmiemy dwa drganiamające ten sam okres lecz różne amplitudy i fazy to:

x₁=A₁cos(ωt+ϕ₁)=

=A₁cosϕ₁cos(ωt)-A₁sinϕ₁sin(ωt) ,

x₂=A₂cos(ωt+ϕ₂)=

=A₂cosϕ₂cos(ωt)-A₂sinϕ₂sin(ωt) .

Wychylenie wypadkowe tych drgań ”x” będzie sumą wychyleń obu ruchów składowych. x=x₁+x₂=(A₁cosϕ₁+A₂cosϕ₂)cos(ωt)+

-(A₁sinϕ₁+A₂sinϕ₂)sin(ωt)=Acos(ωt+ϕ)

gdzie:

A₁cosϕ₁+A₂cosϕ₂=Acosϕ ,

A₁sinϕ₁+A₂sinϕ₂=Asinϕ ,

x=Acosϕcos(ωt)-Asinϕcos(ωt)=

=Acos(ωt+ϕ) ,

tgϕ=sinϕ/cosϕ=

=A₁sinϕ₁+A₂sinϕ₂ / A₁cosϕ₁+A₂cosϕ₂ .

Dla ”n” drgań o tym samym okresie lecz o różnych amplitudach i fazach zachodzących w tych samych kierunkach można zapisać:

A= |(ΣA_icosϕ_i)²+(ΣA_isinϕ_i)² ,

tgϕ=ΣA_isinϕ_i/ΣA_icosϕ_i .

Wielkości x (wychylenie), A oraz ϕ charakteryzujące drganie wypadkowe można wyznaczyć z tzw. DIAGRAMU FAZOWEGO (wykresu fazowego):

6. SUPERPOZYCJA DRGAŃ O RÓŻNYCH OKRESACH.

W przypadku składania drgań o różnych okresach(T₁,T₂) powstaje drganie okresowe nieharmoniczne o okresie T₀ jedynie wtedy, gdy można podać dwie najmniejsze liczby całkowite n₁ i n₂ takie, że: n₁T₁=n₂T₂=T₀ . Daje nam to warunek na: T₁=T₀/n₁ i T₂=T₀/n₂ .

Dowolne drganie okresowe może powstać jako superpozycja wielu drgań. Rozkład drgania złożonego można przedstawić jako szereg drgań harmonicznych (analiza Fourier'a):

x=A₁cos(ωt+ϕ₁)+A₂cos(2ωt+ϕ₂)+...=

=∑ A_ncos(nωt+ϕ_n) .

7. SUPERPOZYCJA DRGAŃ O MAŁORÓŻNIĄCYCH SIĘ OKRESACH. DUDNIENIA.

Przyjmijmy, że okresy dwóch nakładających się drgań harmonicznych wynoszą T₁ i T₂ , gdzie T₁<T₂.

x₁=A₁cos(ω₁t) , x₂=A₂cos(ω₂t) , ΔT=(T₂-T₁)/2 <<(T₁+T₂)/2 .

Załóżmy, że fazy początkowe są równe zero. Przyjmijmy, że w pewnym czasie, gdy zajdzie n” pełnych drgań o okresie T₂, to zajdzie ”n+1” pełnych drgań o okresie T₁ i drganie wypadkowe będzie miało max.

nT₂≈(n+1)T₁ , nT₂≈nT₁+T₁ ,

n(T₂-T₁) ≈T₁ ,

ΔT=(T₂-T₁)/2 , 2nΔT≈T₁ .

Między kolejnymi maxymami wychylenia drgania wypadkowego na pewno spotkają się drgania o fazach przeciwnych czyli wypadkowe wychylenie będzie miało minimum. Występuje wówczas dudnienie.

8. RUCH FALOWY.

Fala to zaburzenie rozprzestrzeniające się w ośrodku sprężystym. W ruchu falowym źródło fali przekazuje swoją energię w postaci zaburzenia do otaczającego go ośrodka. Zaburzenie przenosi się coraz dalej, do bardziej odległych części ośrodka. W ośrodkach jednorodnych odbywa się to ruchem jednostajnym. Jednocześnie z rozchodzeniem się zaburzenia zachodzi transport energii i rozpoczyna się drganie cząstek dookoła ich położenia równowagi. Ruch falowy związany jest z dwoma procesami: transport energii przez ośrodek oraz ruch drgający poszczególnych cząstek dookoła ich położenia równowagi. Nie jest związany z ruchem materii jako całości. Pojęcia: - promień fali to każdy kierunek rozchodzenia się zaburzenia

- powierzchnia falowa to zbiór punktów ośrodka, w których zaburzenie ma tę samą fazę drgania w danej chwili.

- czoło fali to powierzchnia falowa najdalej odsunięta od źródła.

Podział fal:

a) w zależności od liczby wymiarów w przestrzeni, w których się rozchodzi (trój, dwu i jedno -wym.).

b) kształt pow. falowych (kuliste, elipsoidalne, kołowe, eliptyczne).

c) fale płaskie. d) fale poprzeczne (rozchodzą się tylko w ciałach stałych ponieważ ciała te mają sprężystość postaciową) e) fale podłużne związane ze sprężystością objętościową, a taką posiadają ciała stałe, ciecze i gazy.

W ciałach stałych rozprzestrzeniają się fale podłużne i poprzeczne.

UGIĘCIE, ODBICIE

I ZAŁAMANIE FAL

9. RÓWNANIE FALI PŁASKIEJ HARMONICZNEJ.

Drgania harmoniczne ośrodka w danym kierunku (np. y) można wyrazić ogólnym równaniem, że wychylenie:

y=A₀sin(ωt+ϕ), A₀ - amplituda wychylenia, y - wychylenie z położenia równowagi, gdy ϕ=0 to y=A₀sin(ωt) .

Fala wzbudzona w punkcie 0 dotrze w postaci zaburzenia do punktu B' odległego o x' w pewnym czasie τ. Potem dotrze do B'' oddalonym o x'' od źródła. W punkcie B'' fala jest opóźniona w stosunku do źródła o czas τ. τ=x'/V .

W punkcie B' : y'=A₀sin[ω(t-τ)] ,

y'=A₀sin [ω(t-x'/V)] , ω=2π/T ,

Dla punktu B'' : y''=A₀sin [ω(t-x''/V)] ,

y'=A₀sin2π(t/T-x'/VT) ,

y''=A₀sin2π(t/T-x''/VT) .

Jeżeli odległość między B' i B'' będzie równa długości fali (x''-x'=λ) to różnica wartości pod sinusem będzie równa:

2π(t/T-x'/VT)- 2π(t/T-x''/VT)=2π ,

czyli: -x'/VT+x''/VT=1 ,

x''-x'=VT , x''-x'=λ , λ=VT ,

co oznacza, że długość fali wyraża drogę jaką przebywa zaburzenie w ciągu jednego okresu drgań źródła.

Równanie na wychylenie :

y=A₀sin2π(t/T-x/λ) .

Podana w ten sposób prędkość V jest prędkością propagacji fali lub inaczej prędkością fazową fali.

10. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE FALI PŁASKIEJ.

y=Asin2π(t/T-x/λ) ,

y=Asin2π/λ(t*λ/T-x) ,

y= Asin2π/λ(VT-x) .

Wychylenie ośrodka jest funkcją położenia i czasu. y=y(x,t) .

dy/dt=A*2π/λ*Vcos*2π/λ*(Vt-x) ,

d²y/dt²=-A*(2π/λV)²sin*2π/λ*(Vt-x) ,

dy/dx=-*2π/λ*Acos*2π/λ*(Vt-x) ,

d²y/dx²=-(2π/λ)²Asin*2π/λ*(Vt-x) ,

d²y/dt²=V²*d²y/dx² ,

Uogólniając:

d²ψ/dt²=V²(d²ψ/dx²+ d²ψ/dy²+ d²ψ/dz²)

11. PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FALI W OŚRODKACH SPRĘŻYSTYCH.

Na przykładzie długiego pręta o przekroju ”s” i długości ”l”.

Działająca siła F w czasie Δt spowoduje przesunięcie przekroju s na odległość Δl. Praktycznie w tym samym czasie zaburzenie wywołane tą siłą rozejdzie się w pręcie na odl. l. FΔt=mΔV , popęd siły spowoduje zmianę pędu, m-masa objęta zaburzeniem , m=slς (ro).

Z prawa Hooka F=sE*Δl/l , E-moduł Younga - określa właściwości sprężyste materiału.

ΔV=Δl/Δt - prędkość rozchodzenia się zaburzenia w tym materiale.

sEΔl*Δt/l=slς*Δl/Δt ,

E/V=ςV , V= |E/ς

-prędkość propagacji fali nie zależy od wymiarów pręta, natomiast muszą być spełnione warunki stosowalności prawa Hooka. Jeżeli odkształcenie będzie miało charakter objętościowy lub postaciowy odkształcającej siły to wtedy prędkość :

V= |K/ς , V= |G/ς

K- moduł sprężystości objętościowej , G- moduł sprężystości postaciowej

Analizując prędkość fali w gazach należy uwzględnić czy zachodzi przemiana izotermiczna czy adiabatyczna.

Dla izotermicznej K=p , V= |p/ς

Dla adiabatycznej pV^H=const. .

H- KAPPA wsp. adiabaty

różniczkując: pHV^H-1dV+V^Hdp=0 ,

dp=-Hp*V^H-1/V^H*dV , dp=-Hp*dV/V

Dla gazów prawo Hooka:

dp=-K*dV/V , gdzie K=Hp , V= |Hp/ς

Ponieważ K>G to fala podłużna rozchodzi się szybciej od poprzecznej czyli wzbudzone jednocześnie fala podłużna wyprzedza falę poprzeczną.

12. SUPERPOZYCJA FAL.

W pewnym ośrodku rozchodzą się równocześnie dwie fale z dwóch źródeł o różnych amplitudach i okresach. Obu falom towarzyszą odkształcenia ośrodka zgodne z prawem Hooka. Każda z tych fal w dowolnym pkt. ośrodka wywoła jego odkształcenie jak gdyby tej drugiej fali nie było. Wypadkowe wychylenie od położenia równowagi będzie równe sumie geometrycznej wychyleń składowych. Jest to tzw. prawo składania małych wychyleń. Rozpatrzmy przykład interferencji dwóch fal spójnych o jednakowych częstotliwościach, skierowane

wzdłuż tej samej prostej.

x₁,x₂ - odległość od źródła

y₁=A₁sin2π(t/T-x₁/λ) ,

y₂=A₂sin2π(t/T-x₂/λ) .

Są to małe wychylenia :

y_w=y₁+y₂= A₁sin2π(t/T-x₁/λ)+

+ A₂sin2π(t/T-x₂/λ) ,

y_w=A_wsin(ωt-ϕ) ,

A_w²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos2π*[(x₁-x₂)/λ] ,

tgϕ=(A₁sinα+A₂sinβ)/(A₁cosα+A₂cosβ)

α=2π*x₁/λ , β=2π*x₂/λ .

W wyniku interferencji obu fal otrzymujemy falę harmoniczną lecz o innej amplitudzie i fazie początkowej.

Interferencja fal prowadzi do wzmocnienia, osłabienia, wygaszenia tych fal.

Amplituda drgań wypadkowych ma max gdy: (x₁-x₂)/λ=0,1..n , x₁-x₂=nλ .

Natomiast amplituda drgania wypadkowego będzie równa 0, gdy:

(x₁-x₂)/λ=(2n+1)/2 , x₁-x₂=(2n+1)λ/2 .

Nieparzysta wielokrotność połowy długości fali czyli fale spotykają się fazami przeciwnymi.

13. POWSTAWANIE FALI STOJĄCEJ PODCZAS INTERFERENCJI FALI PADAJĄCEJ I ODBITEJ.

Rozważmy przebieg interferencji fali poprzecznej biegnącej od źródła ”O” z falą odbitą od przeszkody B.

Wychylenie z położenia równowagi w dowolnym pkt. C, równa się sumie wychyleń y₁ i y₂ fali padającej i odbitej.

y₁=A₀sin2π(t/T-x₁/λ) ,

y₂=A₀sin2π(t/T-x₁/λ-2x/λ-d) .

Parametr ”d” charakteryzuje warunki odbicia w zależności od tego czy odbicie zachodzi na przeszkodzie bardziej czy mniej bezwładnej (sztywnej) niż ośrodek, w którym fala się rozchodzi. Odbicie fali zachodzi na granicy dwóch ośrodków lub gdzie zachodzi impedancja akustyczna (czyli gdy zachodzi między ośrodkami).

2πd=δ → faza odbicia.

Drgania mają małe wychylenie więc:

y=y₁+y₂=A₀sin2π(t/T-x₁/λ)+ +A₀sin2π(t/T-x₁/λ-2x/λ-d) .

Zastosujemy wzór na sumę sinusów:

sinα+sinβ=2sin(α+β)/2*cos(α-β)/2 ,

y=2A₀cos2π(x/λ+d/2)*

*sin2π(t/T-x₁/λ-x/λ-d/2) , x₁+x=l ,

y=2A₀cos2π(x/λ+d/2)*

*sin2π(t/T-l/λ-d/2) .

Z ostatniego wzoru widać, że argument cos nie zależy od czasu, a od warunków odbicia, parametru d i od odległości x wybranego pkt. od przeszkody. Wychylenie wynosi zatem : s=Asin(ωt+ϕ) ,

A=2A₀cos2π(x/λ+d/2) , 2π(t/T-l/λ-d/2) .

Ponieważ pkt. C jest dowolny, można stwierdzić, że podczas interferencji fali padającej i odbitej każdy punkt leżący na

prostej OB wykonuje ruch harmoniczny. Amplituda tego ruchu jest funkcją odległości x, a faza tylko funkcją czasu. Ostatni zapis równania pokazuje, że fala wypadkowa jest falą stojącą.

14. WARUNKI ODBICIA FALI OD PRZESZKODY (parametr „d”).

1). Pkt. B w miejscu odbicia jest częścią ośrodka bardziej sztywnego czyli pozostaje nieruchomy. W tym pkt. wychylenie = 0, czyli amplituda w pkt. B = 0. 2A₀cos2π(x/λ+d/2)=0 ,

B → x=0 , cos(π/2)=0 ,

2π*d/2=π/2 , czyli d=1/2 .

Podstawiając do fazy odbicia: δ=2πd=π ,

co oznacza, że w miejscu odbicia nastąpiła zmiana fazy na przeciwną czyli przy odbiciu od ściany pkt. leżący na niej nie wykonuje drgań, jest po prostu węzłem fali stojącej. Następne węzły znajdziemy podstawiając d=1/2:

A=2A₀cos2π(x/λ+1/4) , A=0 ,

2π(x/λ+1/4)=(2n+1)π/2 ,

2x/λ=n , x=nλ/2 dla n=0,1,2,3...

Kolejne węzły powstają dla:

x'=0 , x''=λ/2 , x'''=λ , x^IV=3λ/2 .

Odległości w jakich znajdują się strzałki fali stojącej : cos2π(x/λ+1/4)=±1 ,

2π(x/λ+1/4)=nπ , 2x/λ=n-1/2 ,

x=(n-1/2)λ/2 dla n=1,2,3,... strzałki będą więc równe : x'=λ/4 , x''=3λ/4 ,

x'''=5λ/4 , x^IV=7λ/4 , czyli nieparzyste wielokrotności ćwiartki.

2). Przypadek powstawania fali stojącej przy odbiciu od ośrodka mniej bezwładnego. Wtedy pkt. B w miejscu odbicia może wykonywać drgania nawet o max amplitudzie: A=2A₀cos2π(x/λ+d/2) ,

cos2π(x/λ+d/2)=1 , dla pkt. B →x=0 , 2π(x/λ+d/2)=0 , 2π*d/2=0 , d=0 .

Czyli przy odbiciu fali od ośrodka mniej

bezwładnego nie występuje zmiana fazy, a wychylenie nie zmienia znaku. Badamy położenie kolejnych węzłów i strzałek. W węzłach amplituda = 0 , A=0 ,

czyli: 2π*x/λ=(2n-1)π/2 ,

x=(n-1/2)λ/2 , dla n=0,1,2... ,

x'=λ/4 , x''=3λ/4 , x'''=5λ/4 .

W strzałkach amplituda jest max :

2π*x/λ=nπ , x=λ/2 dla n=0,1,2,...

x'=0 , x''=λ/2 , x'''=λ .

15. ENERGETYCZNE WŁAŚCIWOŚCI FAL.

1). Energia i natężenie fali.

Rozchodzenie się fali polega na przenoszeniu energii (nie materii) od cząstek do cząstek coraz dalej położonych od źródła. Natężenie fali wyraża liczbowo ilość energii przenoszonej w jedn. czasu przez jednostkową powierzchnię ustawioną prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. [I]=W/m² . Gęstość energii fali to ilość energii przypadająca na jedn. objętości ośrodka. I-natężenie fali, w-gęstość energii fali, V-prędkość fali.

I=wV , w= ςU₀²/2 , gdzie U₀-amplituda prędkości cząstek w ruchu harmoniczn.

U₀=Aω , w= (ςA²w²)/2 ,

I=wV=ςω²A²*V/2 .

16. AKUSTYKA.

Polem akustycznym nazywamy obszar wypełniony falami akustycznymi. W najbardziej ogólnej formie akustyka zajmuje się falami sprężystymi. W węższym znaczeniu hist. Akustyka była działem fizyki zajmującym się głosem, dźwiękami instrumentów czyli falami podłużnymi w powietrzu i odczuwalnymi przez ucho ludzkie. Najłatwiej analizę fali dźwiękowej można przedstawić na przykładzie fali płaskiej. Fala płaska akustyczna, podłużna o pulsacji ”ω”, biegnąca z prędkością ”u” w kierunku osi x, wychylenie ”ξ” (psi) cząstki powietrza w chwili t w pkt. x możemy zapisać: ξ=Asinω(t-x/u) , ω=2πƒ ,

ξ=Asin2πƒ(t-x/u) .

Różniczkując względem czasu :

dξ/dt=Aωcosω(t-x/u) =

= 2πƒA cos2π(t-x/u) = V₀cosω(t-x/u) .

Drugim istotnym parametrem jest zmiana ciśnienia ośrodka (Δp) wywołana tym polem. Aby określić zmiany ciśnienia z drganiami cząsteczek powietrza przeprowadzamy rozumowanie:

Weźmy pod uwagę jednostkową objętość (ΔV) zawartą pomiędzy ściankami prostopadłymi do osi x, każda o powierzchni jednostkowej i odległymi o Δx :

Na ścianki po obu stronach działa ciśnienie jak na rys. Wypadkowa siła działająca wzdłuż osi x ma objętość ΔV jest równa : -Δp=-dp/dx*Δx .

Jest to gradient ciśnienia na jednostkową długość. Masa powietrza w objętości ”V” jest równa ςΔx, gdzie ς to gęstość powietrza. Zgodnie z II prawem Newtona, gdzie siła bezwładności jest równa sile wymuszającej:

ς*d²ξ/dt²=-*dp/dx , różniczkując:

ς*d²ξ/dt²=-Aω²ςsinω(t-x/u) ,

dp/dx=Aω²ςsinω(t-x/u) , całkując:

p=p₀+Aςωucosω(t-x/u) , p₀- wielkość stała odpowiadająca normalnemu ciśnieniu powietrza w nieobecności fali akustycznej. Δp=Δp₀cosω(t-x/u) ,

Δp₀=Aςωu=V₀ςu .

Przy propagacji fali mamy dwie prędkości. Jedna to prędkość drgań cząstek ośrodkowa (b. mała), a druga to prędkość propagacji czyli zaburzenia fali w danym ośrodku. I=wu , w=(ςV₀²)/2 ,

I=1/2*ςuV₀² =1/2*(Δp₀)²/ςu .

Ponieważ drgania są harmoniczne to max E_k odpowiada max E_p drgań w jednostce objętości. Δp₀=V₀ςu ,

ςu= Δp₀/V₀ . W analogii do prawa Ohma iloczyn gęstości i prędkości fali nazwano opornością właściwą fali akustycznej czyli impedancją akustyczną.

17. WRAŻENIE SŁUCHOWE - SŁUCH.

Akustyka zajmuje się dźwiękami słyszalnymi prze ucho ludzkie, które odbiera dźwięki z przedziału 16Hz-16000Hz. Dźwięki można rozłożyć na tzw. tony o określonej częstotliwości. Słyszalność tonów zależy od natężenia i częstotliwości. Miarą natężenia tonu jest amplituda zmian ciśnienia (Δp) fali lub przypadająca na jednostkę powierzchni moc tej fali. I₀-natężenia wzorcowe (progowe) ,

I-natężenie mierzone.

i=constlog*I/I₀ .

Różniczkując ten wzór otrzymamy prawo Webera-Fechnera : δi=const∗dI/I .

Prawo to określa, że dający się zauważyć przyrost głośności nie jest proporcjonalny do przyrostu lecz do względnego przyrostu głośności. Przyjmuje się, że const=10: i=10log*I₁/I₀=20log*Δp₁/Δp₀

I₁-natężenie badanego dźwięku, p₁-amplituda ciśnienia badanego dźwięku, p₀-amplituda ciśnienia akustycznego tonu odniesienia o częstotliwości 1 kHz.

p₀=2*10^-5 *N/m² .

Natężenie mierzymy w dB. Różnicę ciśnień dwóch odbieranych dźwięków możemy przedstawić jako:

i₁-i₂=10(log*I₁/I₀-log*I₂/I₀)=

=10log*I₁/I₂=20log*p₁/p₂ .

Ucho uniemożliwia porównywanie subiektywnej tonacji tonów o różnej częstotliwości.

Wykres spadku ciśnienia akustycznego i natężenia dźwięku ze wzrostem odległości od punktowego źródła dźwięku :

Powierzchnia słyszalności słuchu ludzkiego normalnego :

Charakterystyka korekcyjna częstotliwości (odwrócone to co słyszy ucho):

Każdy dźwięk akustyczny złożony można przedstawić w postaci tzw. WIDMA CZĘSTOTLIWOŚCI czyli rozkładu częstotliwości, który może być : oktawowy, tercjowy, dyskretny (obrazuje dźwięk co 1 kHz lub gęściej). Wrażenie głośności wyraża się w fonach. Jako ton odniesienia przyjęto ton o częstotliwości 1000 Hz. Mówimy, że źródło dźwięków ma poziom głośności ”n” fonów jeżeli słyszymy je tak samo głośno, jak źródło dźwięku o częstotliwości 1000 Hz i poziomie ciśnienia akustycznego ”n” decybeli. Przykład : ƒ=1 Hz → i=60 dB ,

ƒ=50 Hz → i=78 dB .

18. SUMOWANIE ŹRÓDEŁ DŹWIĘKU.

Nie można sumować bezpośrednio : i₁+i₂= np. 50+56 → źle !

i₁=10log*I₁/I₀ → i₁/10=log*I₁/I₀ ,

I₁/I₀=10^i/10 → I₁=I₀10^i/10 ,

I₂=I₀10^i/10 , i₁+i₂=10log*[(I₁+I₂)/I₀]=

=10log(10^i/10+10^i/10) .

Dla źródeł takim samym poziomie :

i_s=10log*(nI/I₀)-i₁+10logn .

Przy pomiarach poziomu dźwięku stosuje się odpowiednie filtry pomiarowe. Analizując krzywe czułości ucha ludzkiego dla częstotliwości niskich i b. wysokich jest ona znacznie mniejsza niż dla częstotliwości średnich. Poprzez pomiar ciśnienia akustycznego uzyskujemy informacje na temat natury fizycznej dźwięków. Wartości te jednak w niezadowalający sposób kolidują z subiektywnymi ocenami prze ucho. W celu poprawienia tej korelacji wprowadzono do przyrządów charakterystyczne filtry pomiarowe typu : A, B, C, G. Inne charakterystyczne podziały dźwięków to podział na pasma oktawowe lub tercjowe. Inny podział charakterystyczny to tzw. WIDMO DŹWIĘKU.

Wykresy :

1) fala sinusoidalna lub ton prosty

2) widmo cztero-tonowe

3) widmo ciągłe

4) widmo ciągłe z wyróżnionymi tonami prostymi

Do oceny dźwięku przyjęto pewien znormalizowany podział częstotliwości na pasma oktawowe i tercjowe.

Oktawowe mają wart.:

31,5; 63; 125; 250; 500; 1000; 2000; 4000; 8000; 16000 Hz .

Tercje mają wart.:

31,5; 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 200; 250; 315; 400; 500; 640; 800; 1000; 1250; 1600; 2000; 2500; 3150; 4000; 5000; 6400; 8000; 10000; 12500; 16000

Mierzonej wartości fali akustycznej odpowiadają w pewnym ogólnym bilansie wartości energii określone najczęściej za pomocą wartości skutecznej ciśn. akust.

P_SK²=1/(t₂-t₁)*∫p²(t)dt ,

p(t)-ciśn. akust. stanowiące funkcję czasu, (t₂-t₁)-przedział czasu. dla którego obliczamy skuteczną wartość ciśnienia. W analogii dla prądu sinus:

P_SK=P_max/ |2 .

19. HAŁAS. ŹRÓDŁA HAŁASU. OCHRONA PRZED HAŁASEM.

Hałas to każdy dźwięk szkodliwy, nieprzyjemny i niepożądany. Hałas szkodliwy na stanowisku pracy to hałas > 85 dB (w skali A). Normy mieszkaniowe to: 50 dB w dzień i 40 dB w nocy. Istotnym

parametrem w odbiorze hałasu jest jego widmo częstotliwości. Bardziej uciążliwe są częstotliwości wysokie. Każde nieharmoniczne częstotliwości traktowane są przez ucho jako elementy hałasu. Krótkie przebywanie w hałasie powoduje zmęczenie słuchu, ale jest to chwilowe, potem słuch wraca do normy. Od strony fizycznej zmęczenie słuchu polega na podwyższeniu progu słyszalności. Istotnym czynnikiem działania hałasu jest czas ekspozycji hałasu o określonym poziomie :

Przebywanie w hałasie o dużym poziomie natężenia powoduje trwałe ubytki słuchu, które powstają z naturalnym starzeniem narządu słuchu i wynoszą odpowiednio do wieku :

20 lat→1,3 dB ; 30 →7,4 ;

40 → 12,7 ; 50 →18 ;

60 →27,4 ;70 → 36,7 ; 80 → 44 .

Za ubytek słuchu powodowany już upośledzeniem przyjmuje się 30 dB jako średnia arytmetyczna dla częstotliwości 1000, 2000, 4000 Hz , dla każdego ucha oddzielnie.

20. ŹRÓDŁA DŹWIĘKU.

Najprostszym źródłem dźwięku jest napięta struna. Istotną sprawą jest przekazywanie drgań do otaczającego ośrodka, najczęściej powietrza. Dla wytworzenia drgań struna musi być napięta. Jeżeli przez ”s” oznaczymy napięcie struny, to prędkość na strunie wynosi: u= |s/ς .

Struna jest napięta z obu końców, wtedy powstaje fala stojąca z węzłami na końcach. λ₀=2l , λ₀ƒ₀=u ,

ƒ₀-częstliwość , λ₀-długość fali czyli :

ƒ₀=1/2l* |s/ς .

Na strunie mogą również powstać dalsze węzły przy odpowiednim podziale częstotliwości. Jeżeli na strunie położymy mówimy wtedy o k-krotnym drganiu harmonicznym: λ_k=λ₀/(k+1) ,

ƒ_k=(k+1)ƒ₀=(k+1)/2l* |s/ς .

Strunę można też pobudzić przez strumień powietrza. Struna (np. drut wysokiego napięcia) powoduje na swojej powierzchni zawirowania. Strumienia powietrza, które odbywa się od struny raz z jednej raz z drugiej strony. Gdy jedna z częstotliwości drgań własnych struny zgodzi się z częstotliwością odrywania to struna zostanie pobudzona do drgań, których częstotliwość zgodnie z tw. Rayleigha wynosi : ƒ=0,185∗u/d, gdzie u-prędkość strumienia, d-średnica drutów.

Zjawisko to tłumaczy brzęczenie drutów na wietrze.

21. LINIOWE DRGANIA PRĘTÓW I SŁUPÓW POWIETRZA.

Pręt można pobudzić do drgań podłużnych przez pocieranie go w kierunku jego długości. Zostaną wtedy wzbudzone w nim sprężyste fale podłużne. Natomiast gdy pręt będziemy wzbudzać w kierunku poprzecznym do jego długości to częstotliwość drgań zależy od jego umocowania. Gdy zamocujemy go na końcu to powstaną drgania stojące, podobnie jak drgania struny z węzłami na końcu. Inne sytuacje powstaną, gdy pręt będzie miał końce swobodne.

1) Jeżeli umocujemy do w środku to drgać będą końce czyli na końcach będą strzałki a w środku węzeł.

λ=2l

l-długość pręta , λ-długość fali .

2) Inne drgania otrzymamy, gdy pręt zamocujemy w dwóch punktach po 1/4 odległości od końca.

λ/2

długość fali o połowę mniejsza.

Kolejne drgania harmoniczne będą, gdy zamocujemy je w pkt. 1/6 , 1/8 .

ƒ_k=(1+k)/2l* |E/ς .

Zupełnie inne drgania powstaną, gdy zamocujemy go tylko z jednego końca. W miejscu zamocowania powstanie węzeł fali stojącej natomiast na końcu swobodnym powstanie strzałka fali stojącej. Długość pręta również w tym przypadku będzie nieparzystą wielokrotnością 1/4 długości fali stojącej powstającej w pręcie. Natomiast częstotliwość własna drgań będzie określona wzorem :

ƒ_k=(2k+1)/4l* |E/ς .

k-liczby całkowite (0,1,2...)

Drgania skrętne i poprzeczne powstają poprzez pocieranie mokrą szmatką, przez co wzbudzi się w pręcie drgania poprzeczne sprężyste o częstotliwości:

ƒ_k=(k+1)/2l* |E/[ςl(1+μ)] .

Można wzbudzić podłużne fale stojące zagęszczeń i rozrzedzeń w słupach powietrza.

Podstawowe drgania słupa powietrza powstają, gdy h= 1/4 długości fali:

h=λ₀/4 , h₁=3/4*λ , h_k=(2k+1)/4 .

22. OPTYKA FALOWA.

Elementy optyki geometrycznej prowadzą do błędnych wniosków, że granice cienia mogą być ostre i wyraźne. W rzeczywistości są one rozmyte, a na dodatek składają się z prążków. Fakt ten można wyjaśnić tym, że światło jest falą. Fale świetlne zachowują się podobnie jak inne fale tzn. uginają się na przeszkodzie, wzmacniają się, osłabiają.

23. INTERFERENCJA ŚWIATŁA.

Interferencja fal polega na ich wzajemnym nakładaniu się. Dla fal np. na powierzchni wody, a zwłaszcza dla fal świetlnych obowiązuje zasada superpozycji. Według tej zasady, jeżeli przez jakiś obszar w przestrzeni przechodzą dwie lub więcej fal to każda z nich rozchodzi się tak jak gdyby inne nie istniały. Fale świetlne, które są falami elektromagnetycznymi polegają na rozchodzeniu się drgającego pola elektrycznego i sprężonego z nim pola magnetycznego. W zjawiskach optycznych decydującą rolę odgrywa wektor elektryczny i ten umownie przyjęto jako wektor świetlny.

Przy dodawaniu do siebie natężeń fal, które są proporcjonalne do kwadratu wektorów świetlnych zjawisko interferencji nie zachodzi w ogóle. Zgodnie z zasadą Fouriera każdą stosującą się do zasady superpozycji falę można uważać za wynik nałożenia na siebie odpowiednio dobranych ciągów fal harmonicznych. Najlepszy przykład, to fala propagująca się w kierunku x :

A=A₀sin[2π(t/T-x/λ)+δ] ,

gdzie T-okres fali, λ-długość fali, δ-faza, A₀-amplituda.

A-zależy od rodzaju fali, dla fal świetlnych jest to natężenie pola elektrycznego fali czyli wektor. Dla fal głosowych w powietrzu jest to np. zmiana ciśnienia czyli skalara:

A=A₀sin[2π(t/T-x/λ)+δ₁]+

+A₀sin[2π(t/T-x/λ)+δ₂]=

=2A₀cos[(δ₁-δ₂)/2]*

*sin[2π(t/T-X/λ)+(δ₁+δ₂)/2] .

Amplituda zależy od różnicy faz:

δ=δ₁-δ₂=2πk , k-liczba całkowita .

Max wartość amplitudy wynosi 2A₀ przy zgodnych fazach: δ=δ₁-δ₂=(2k+1)π ,

co oznacza, że fale są przesunięte względem siebie o nieparzystą wielokrotność połowy długości fali, to wtedy fale wzajemnie się znoszą. W przypadkach pośrednich amplituda A₁ zawarta jest :

0<A₁<2A₀ .

Δ=CD=CA-BA , CD=dsinα .

Jeżeli oba źródła fal będą drgały synchronicznie (w zgodnej fazie) to różnica faz wywołana będzie tylko różnicą dróg : δ=2π∗CD/λ =2π∗dsinα/λ .

Wzmocnienie będzie zachodziło, gdy:

(2πdsinα)/λ = 2πk , czyli : sinα=kλ/d .

Zupełnie inny warunek otrzymamy, gdy będziemy obserwować falę nie w kierunku poprzecznym, ale w podłużnym względem prostej łączącej oba źródła.

CD=dcosβ ,

cosβ=kλ/d ,

k-rząd max wzmocnienia.

Oczywistym jest, że najsilniejsze wzmocnienie jest dla k=0:

sinα=(2k+1)∗λ/2d ,

cosβ=(2k+1)∗λ/2d .

24. SPÓJNOŚĆ FAL ŚWIETLNYCH.

Spójność można zdefiniować jako stabilność fazy fali zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Poprzez st. W przestrzeni rozumiemy ustalony związek faz pomiędzy dwiema oddzielnymi falami, a przez stabilność w czasie niezmienność fazy w pojedynczej fali. Oba te zjawiska mają istotny udział zarówno w interferencji jak i dyfrakcji.

25. SPÓJNOŚĆ PRZESTRZENNA I FAZOWA.

Weźmy pod uwagę dwie fale o tej samej amplitudzie i długości. Przy nakładaniu się ich na siebie obraz interferencyjny oraz prążki nie będą miały max widzialności ani kontrastu. Ze względów praktycznych kontrast ten najczęściej będzie mniejszy, a natężenie w minimach nie będzie równe zero. Określając widzialność (v) oraz kontrast (γ) to możemy zdefiniować: v=γ=(I_max-I_min)/(I_max+I_min).

W idealnych warunkach widzialność i kontrast będą sobie równe i równe jedności. W trzech przypadkach kontrast w układzie prążków będzie niższy:

1)obie fale mogą mieć nieskończoną długość, równą amplitudę i równą długości fali, ale może pomiędzy nimi występować różnica faz:

Dla fali nieskończenie długich różnica faz jest stała w czasie i wtedy kontrast jest w prosty sposób związany z różnicą faz: δ=0 → γ=1 , δ=π → γ=0 ,

dla pośrednich przypadków : 0<γ<1 .

2) światło nie może być reprezentowane przez fale o nieskończonej długości. W rzeczywistości fala jest skończona i zależy od rodzaju źródła występującego światła. Pełna interferencja i max kontrast będą zachodzić tylko wtedy, gdy biegnące obok siebie ciągi fal całkowicie się pokryją. Jeżeli pokrywają się tylko połową swych długości to interferencja występuje, ale kontrast będzie mniejszy o połowę:

Stąd wniosek, że zmniejszenie kontrastu może być wywołane skończoną długością ciągów falowych.

3) kontrast równy jedności nie może być osiągnięty, ponieważ żadne światło nie jest ściśle monochromatyczne. Nawet w laserze występuje pewne rozmycie długości fali Δλ wokół pewnej długości λ₀.

Im większa jest liczba fal N w paczce falowej, tym mniejsza jest dyspersja czyli rozmycie Δλ : Δλ/λ₀ ≈ 1/N ,

co oznacza, że każda linia widmowa ma pewną skończoną szerokość, a własność tę nazwano spójnością czasową.

26. DŁUGOŚĆ SPÓJNOŚCI I CZAS SPÓJNOŚCI.

Szerokość linii widmowej jest to szerokość mierzona dla natężenia równego połowie jej max natężenia. Jest to tzw. szerokość połówkowa:

Efektywna szerokość pasma Δλ i efektywna szerokość Δƒ wyrażona w jednostce częstotliwości są związane z długością ciągu falowego czyli długością spójności czyli długością koherencji Δs w następujący sposób :

λ²/Δλ=c/Δƒ≈Δs , c-prędkość światła.

Powyższa zależność przedstawia, że ciągi fal o nieskończonej długości mogą pochodzić wyłącznie od linii o szerokości równej zero, a takie linie nie istnieją. Ponieważ c=Δs/Δt , więc powyższe równanie możemy przekształcić : ΔƒΔt≈1 .

Czas spójności jest identyczny z czasem zaniku emitującego stanu atomowego. W konwencjonalnych źródłach światła ten czas jest rzędu 10^-8 s. W laserach gazowych jest rzędu 10^-4 s.

27. SPÓJNOŚĆ I WIDZIALNOŚĆ.

Nie ma żadnych ostrych granic między warunkami dla których spójność i interferencja mają miejsce z tymi, dla których spójność przestaje istnieć. W interferencji stopień wymaganego kontrastu decyduje o tym czy prążki interferencyjne będą widzialne dla obserwatora. Całkowita spójność w rzeczywistości nie zachodzi. Stopień widzialności prążków interferencyjnych jest pewną miarą stopnia spójności częściowej dla obu fal. Przykład :

Załóżmy, że dwa pkt. na ekranie są oświetlone przez dwie wiązki światła o równym natężeniu I₀ każda. Każda z nich składa się niejako z dwóch części: A i B. Części A są identycznie ze sobą spójne i mają natężenie cI_A . Części B są całkowicie niespójne względem siebie jak i w stosunku do A. Ich natężenia są równe: (1-c)I_B , gdzie c-stopień spójności pomiędzy wiązkami.

Jeżeli doprowadzimy dwie wiązki do interferencji to uczestniczą w nich wyłącznie części A. Wytwarzają one obrazy interferencyjne, w których rozkład natężeń, jako funkcji różnicy faz δ, dany

jest w postaci : I_A=ucI₀cos²(δ/2) .

Ze wzoru wynika, że natężenie może być równe 4cI₀ natomiast minimum może być 0. Na obraz ten nakłada się jednolity rozkład natężeń pochodzący od części B: I_B=2(1-c)I₀ . W rezultacie max natężenie będzie: I_max=4cI₀ + 2(1-c)I₀=2(1+c)I₀ ,

natomiast: I_min=2(1-c)I₀ .

Podstawiając oba wyrażenia do równania opisującego widzialność otrzymamy:

v=(I_max-I_min)/(I_max+I_min)=4c∗I₀/4I₀=c .

Stąd wniosek, że stopień spójności pomiędzy drganiami dwóch fal jest równy widzialności prążków wytwarzanych przez te drgania.

28. INTERFERENCJA ŚWIATŁA W CIENKICH WARSTWACH.

Zjawisko interferencji zachodzące w cienkich warstwach obserwujemy np. w postaci zabarwienia baniek mydlanych, cienkich warstwach oliwy na powierzchni wody. W celu przeanalizowania zjawisk powstających przy przejściu przez płytkę płaskorównoległą grubości d:

Pomiędzy ramieniami odbitymi od przedniej ściany, a wychodzącymi z płytki w skutek odbicia drugiej ścianki zachodzi interferencja fal.

Obliczyć różnicę dróg optycznych między promieniami :

1) przechodzącymi bezpośrednio przez płytkę ABDG oraz promieniem drugim ACBDG, który to doznał dwukrotnego odbicia uwzględniając że pkt. A i E leżą na tej samej powierzchni falowej AE i różnica dróg optycznych wynosi:

Δ=(AC+CB)n-EB , gdzie Δ-różnica dróg optycznych.

Def. Drogą optyczną nazywamy drogę geometryczną razy współczynnik załamania ośrodka. Z rys. widać, że CB=CH, AC+CB=AC+CH=AH .

Drogi AK i AB przebyte są przez światło w tym samym czasie, są one sobie równe, co zapisujemy: nHK=EB ,

λ=nAH-nAK=nHK=2dncosβ =2d ,

Ze wzoru wynika, że różnica dróg optycznych zależy od grubości warstwy d i od kąta padania α. Gdy na płytkę pada światło jednobarwne wówczas dla kątów β spełniony jest warunek:

2dncosβ=kλ , k=0,±1,±2,... ,

→obserwujemy wzmocnienie interferencyjne ze sobą wiązek światła.

2dncosβ=(k+1/2)λ , k=0,±1,±2,... ,

→występuje całkowite wygaszenie.

Dla światła białego wygaszane są jedne długości, a inne wzmacniane w efekcie czego obserwuje się różne zabarwienie zależne od kąta padania wiązki światła białego, co wykorzystano do budowy filtrów interferencyjnych.

Interferencja w tych filtrach zachodzi pomiędzy promieniami przechodzącymi bezpośrednio przez filtr oraz promieniami, które uległy odbiciu na pow. posrebrzanych, zmieniając kąt padania światła białego przepuszczonego przez filtr. Filtry interferencyjne przewyższają filtry absorpcyjne. Dobry filtr interferencyjny posiada transmisję 90% przy szer. transmisji ok. 1nm, a filtr absorpcyjny ma transmisję 30% przy szerokości połówkowej ok. 50nm.

29. WARSTWY PRZECIWODBLASKOWE.

Część światła przechodzi przez gaz dwu ośrodków jest tracona w skutek odbicia. Współczynnik odbicia na granicy dwóch ośrodków zależy od współczynników załamania światła: r=[(n₁-n₂)/(n₁+n₂)]² ,

r-współczynnik przebicia, np dla powietrza i szkła n=1,25, a r wynosi 1/25 czyli 4%. W przypadku większej liczby soczewek dochodzi nawet do 20-30%.

Straty te można zmniejszyć dwoma sposobami :

1) jeżeli zachodzi stopniowa zmiana współczynnika załamania światła np.: przez odpowiednie wytrawienie powierzchni

2) przez stosowanie cienkich warstw np.: na powierzchnię, soczewek w aparatach fotograficznych, okularach, itd.

Padające światło odbija się na każdej powierzchni soczewki. Odbicia te zniosą się, jeżeli czoła fal będą się różnić w fazie o π. Warunek różnicy faz będzie spełniony, gdy: n_cd=(k+1/2)∗λ/2 .

Warunek równości amplitud zajdzie, gdy: [(n₁-n_c)/(n₁+n_c)]² =

=[(n_c-n₃)/(n_c+n₃)]² , n₁- dla powietrza=1,

[(1-2n_c+n_c²)/(1+2n_c+n_c²)]=

=[n_c²-2n_cn₃+n₃²)/(n_c²+2n_cn₃+n₃²)] ,

po przekształceniu otrzymamy :

n_c²+n_c²n₃+n₃²-n₃=0 , n_c=n₃ .

Grubość warstwy dla wiązki padającej prostopadle i dla podwójnej zmiany fazy o π : d=(k+1)λ/2n_c .

30. DYFRAKCJA ŚWIATŁA.

Dyfrakcja to każde odchylenie od prostoliniowego rozchodzenia się światła.

31. DYFRAKCJA FRAUNHOFERA.

Zachodzi wtedy, gdy fala osiągająca przeszkodę i opuszczająca ją jest falą płaską. Oznacza to, że zarówno źródło światła jak i obserwator znajdują się w nieskończoności.

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie :

W pkt. P₀ obraz dyfrakcyjny będzie miał max, ponieważ w całym obszarze szczeliny promienie będą zgodne w fazie, jak również ta sama zgodność faz będzie zachodzić w pkt. P₀ bez względu na soczewkę. Warunki powstawania minimum: będzie to wszędzie, gdzie pkt. P ma taką odległość aby różnica dł. dróg dwóch różnych promieni wynosiła λ/2 .

ma taką wartość, że promienie 1 i 2 będą w fazach przeciwnych. W pkt. P. się wygaszą. Uogólniając każdy promień przechodzący przez górną połowę szczeliny zniesie się z promieniem dolnej połowy odległym od niego o min: F₁₃=λ/2 ,

F₁₁=λ , min=F₁₃/a , λ=asin .

Dyfrakcja Fraunhofera na pojedynczej szczelinie powstaną wszędzie tam, gdzie:

a_wyp=

32. DYFRAKCJA JAKO FUNKCJA SZEROKOŚCI SZCZELINY.

Z powyższych równań wynika, że kąt ugięcia wzrasta, gdy szczelina będzie węższa dla a=λ , k=1 , co daje dla min I rzędu kąt 90⁰ do osi optycznej:

Np.: dla a=100λ kąt ugięcia min I rzędu wynosi ok. 0,5⁰, stąd wniosek, że światło o większej dł. fali jest uginane szybciej.

33. SZEREOKOŚĆ POŁÓWKOWA.

Szerokość połówkowa maximum centralnego zerowego rzędu jest szerokością kątową mierzoną w połowie max natężenia:

W mierze kątowej:

I /I₀=1/2=[(sin(δ/2)/(δ/2)]² .

Połówkową różnicę faz można przedstawić: δ_1/2=(aπsinθ_1/2)/λ .

Ponieważ zachodzi symetria maximum centralnego to szerokość połówkowa będzie dwa razy większa od θ_1/2 :

2*1,4rad=(aπsinθ)/λ=λ/a , im mniejsze będzie a, tym większy będzie kąt .

34. DYFRAKCJA FRAUNHOFERA NA OTWORZE KOŁOWYM.

Przy analizie tego zjawiska dyfrakcji okrągły otwór dzielimy na strefy o jednakowej szerokości. Strefy te w postaci pasków mają różne fazy zmieniające się w funkcji odległości od środka. Ponieważ strefy nie są jednakowej długości to i amplitudy też nie są równe, a wypadkową amplitudę znajduje się metodą całkowania. Za otworem obraz dyfrakcyjny składa się z jasnego max centralnego otoczonego bladymi pierścieniami. Dla szczeliny odległość kątowa minimów od środka wynosi: θ=arcsin(kλ/a)=kλ/a , gdzie a-szerokość szczeliny, k-liczba całkowa .W dyfrakcji na otworze kołowym wzór jest podobny, ale wartość k otrzymuje się z tzw. funkcji Bessela pierwszego rzędu i wynoszą odpowiednio: szczeliny: 1 otwór kołowy: 1,22 ;

szczeliny: 2 otwór kołowy: 2,233 ;

szczeliny: 3 otwór kołowy: 3,238 ;

szczeliny: 4 otwór kołowy: 4,241 ;

szczeliny: 5 otwór kołowy: 5,243 ;

35. ZDOLNOŚĆ ROZDZIELCZA - KRYTERIUM RAYLEIGHA.

Dwie równoległe linie można odróżnić jako oddzielne, jeżeli ich obrazy dyfrakcyjne są wyraźnie oddzielone jeden od drugiego. Przyjmuje się, że jeżeli środek jednego obszaru dyfrakcyjnego pokrywa się z pierwszym minimum drugiego, to linie obie są rozdzielone.

Położenie pierwszego min za otworem o średnicy d jest określone :

sin=1,22∗λ/d (jest to położenie kątowe).

Aby dwa obiekty były rozdzielone to odległość kątowa musi być równa:

θ_min=arcsin(1,22∗λ/d) .

Ponieważ w grę wchodzą b. małe kąty wobec tego w mierze kątowej:

θ_min≈1,22∗λ/d .

Im mniejsza jest dziurka tym efekty dyfrakcyjne są silniejsze.

36. DYFRAKCJA FRESNELA.

Jest bardziej ogólna od Fraunhofera. W dyfrakcji tej zarówno źródło jak i ekran mogą znajdować się w odległościach skończonych od przedmiotu uginającego. Nie stosuje się tu soczewek skupiających.

37. CAŁKI FRESNELA.

Opis: Ze źródła S rozchodzą się kuliste fale W-W. W bieg tych fal ustawiona jest krawędź uginająca B. Określmy amplitudę i natężenie w wybranym pkt. P na ekranie. Załóżmy, że czoło fali składa się z pewnej liczby elementów dW, które „kombinują ze sobą” po dotarciu do pkt. P. Odległość od poszczególnych elementów czoła fali do pkt. P jest różna , wobec czego docierające do niej fale mają różną fazę. Wypadkowa amplituda w pkt. P jest sumą wektorową a nie algebraiczną.

Sumowanie elementarnych otworów nie daje okręgów. Amplituda światła przechodząc przez poszczególne strefy maleje stopniowo w miarę oddalania się od krawędzi uginającej. Z tego powodu amplituda w minimach nie będzie równa zero. Wynikiem dodania wektorów jest spirala zacieśniająca się do środka. W punkcie P₀ falę świetlną możemy opisać:

y₀=Asin(2πƒt) . Jest to opis zaburzenia falowego funkcji czasu. W pkt. P zaburzenie pochodzące od dW przyległego do krawędzi wynosi:

y=Asin(2π*t/T-b/λ)dW .

Dla innego elementu droga b zwiększy się o γ (gamma duże):

y=Asin[2π*t/T-(b+γ)/λ]dW .

Całkowite zaburzenie wypadkowe w pkt. P od wszystkich elementów dW będzie wynosiło: y=∫Asin[2π*t/T-(b+γ)/λ]dW .

Dla A=1, możemy określić natężenie:

I=[∫cos(2πγ/λ)*dW]²+[∫sin(2πγ/λ*dW]²

γ=d²[(a+b)/(2ab)] ,

I={∫cosπ*[(a+b)d²]/(abλ)*dW}²+

+{∫sinπ*[(a+b)d²]/(abλ)*dW}² .

Wprowadzając nową zmienną: V= |4γ/λ ,

uogólniając:

I=[abλ/2(a+b)]*{[∫cos(πV²/2)*dV]²+

+[∫sin(πV²/2)*dV]²} .

Całki w nawiasie noszą nazwę całek Fresnela. Opisują one składowe wypadkowej amplitudy wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych. Granice całkowania V₁ , V₂ określają z jakiej części czoła fali pochodzi zaburzenie lub z jakiej części otworu.

38. SPIRALA CORNU.

Odkładając całki Fresnela, jedną na jednej osi współrzędnych, a drugą na drugiej prostokątnego układu otrzymuje się wykres zwany spiralą Cornu. Równanie parametryczne spirali Cornu ma postać:

x=∫cos(πV²/2)*dV ,

y=∫sin(πV²/2)*dV , gdzie V-jest długością krzywej mierzoną od początku układu (0,0), π-określa krzywiznę spirali .

∫cosp²dp=∫sinp²dp=1/2 |π/2 ,

∫cos1/2*πV²dV=∫sin1/2*πV²dV=+0,5 .

Dla punktu K' współrzędne będą miały wartości odpowiednio (-0,5;-0,5). Kąt nachylenia spirali σ (sigma) do osi X jest proporcjonalny do kwadratu odległości V mierzonej wzdłuż krzywej od początku układu, co zapisujemy:

σ=arctg(dy/dx)=1/2*πV² ,

Promień krzywizny spirali: dV/dσ=1/πV

Różnica faz między dwoma promieniami z sąsiadujących stref wynosi:

δ=2π/λ*V=[π(a+b)]/abλ*d²=1/2*πV² .

39. ZASTOSOWANIE SPIRALI CORNU. DYFRAKCJA NA OSTRZU NOŻA.

40. DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ SZCZELINIE.

Przyjmijmy, że szczelina ma pewną szerokość Δs co odpowiada długości spirali C o wartości: C=Δs |2(a+b)/abλ , a- długość odcinka od źródła do szczeliny, b-odległość szczeliny do ekranu, λ-długość światła.

W zależności od położenia długość cięciwy zmienia się: I=A²=(Δx)²+(Δy)² .

41. USUWANIE SZKODLIWYCH EFEKTÓW DYFRAKCYJNYCH.

Jest bardzo istotne dla dużych lunet astronomicznych. Nosi ono nazwę apodyzacji. Np.: stosuje się stopniowe przejście od soczewki przeźroczystej do jej nieprzeźroczystej obudowy, np.: poprzez odpowiednie pokrycie lub specjalne ukształtowanie oprawy.

42. STREFY FRESNELA.

Czoło fali dzielimy na koncentryczne strefy, tak aby każda strefa była dalej o λ/2 od punktu P: b+λ/2, b+2λ/2, b+3λ/2 ,..., b+mλ/2 . Promień m-tej granicy między strefami: R_m= |(b+m*λ/2)²-b² .

Całkowita powierzchnia m pierwszych stref: B_m=πR_m²=π=[(b+m*λ/2)²-b²]=

=π(bmλ+m²*λ/4) . Zatem powierzchnia pojedynczej strefy wynosi:

B₀=πbλ[1+(2m-1)*λ/4b] , λ<<b:

B₀=πbλ , oznacza to, że wszystkie strefy mają tę samą powierzchnię. W rzeczywistości powierzchnie bardzo wolno rosną w miarę odległości od środka.

W punkcie P fale przechodzące przez kolejne strefy różnią się od siebie o π. Wypadkowa amplituda w punkcie P jest sumą wektorową amplitud:

A=ΔA₁-ΔA₂+ΔA₃-ΔA₄...(-1)^m-1ΔA_m .

W miarę wzrostu odległości od środka strefy maleje amplituda składowa ΔA_m .

43. PŁYTKA STREFOWA FRESNELA.

Płytka strefowa Fresnela jest jedynym elementem optycznym, który nie ma swojego odpowiednika w przyrodzie. Wysokiej jakości płytki mają po kilka tysięcy stref. Promienie granic między strefami są proporcjonalne do pierwiastków kwadratowych z liczb naturalnych.

Promień m-tej strefy:

m=1,2,3... , b²=(b+m*λ/2)-R_m² ,

mbλ=R_m² , b-ogniskowa płytki ,

b=f=R_m²/mλ=R₁²/λ , f∼1/λ ,

skąd wynika wniosek, że występuje silna aberacja hromatyczna oraz dodatkowo pojawiają się inne ogniska zlokalizowane w odległościach 1/3, 1/5, 1/7, od głównej ogniskowej. Dla stałej liczby stref mamy określony min. odstęp d_min≈1,22λ*f/D,

D-średnica płytki , d_min≈1,22λ*R₁²/D .

Zdolność rozdzielcza płytek strefowych jest kilkakrotnie większa od zwykłych mikroskopów.

44. POLARYZACJA ŚWIATŁA.

Z praw Maxwella wynika, że fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną do kierunku jej rozchodzenia się. Dowodem na to jest zjawisko polaryzacji. Tylko światło idealnie monohromatyczne wykonuje pewną orientację oscylacji. Umownie przyjęto obrazowe określenie polaryzacji jako gwiazdę wieloramienną. Oscylacje światła niespolaryzowanego przebiegają we wszystkich kierunkach:

światło zęściowo całkowicie niespolaryzowane.

Jeżeli wektor elektryczny drga tylko w jednej płaszczyźnie, to mówimy, że światło jest liniowo spolaryzowane.

Stopień polaryzacji to stosunek maksymalnego i min natężenia światła:

P=(I_max-I_min)/(I_max+I_min) .

Przy polaryzacji kołowej koniec wektora zakreśla okrąg w kierunku rozchodzenia się (polaryzacja prawo- i lewo-skrętna):

Najbardziej ogólnym przypadkiem jest polaryzacja eliptyczna:

45. OTRZYMYWANIE ŚWIATŁA SPOLARYZOWANEGO. POLARYZACJA PRZEZ ODBICIE.

Wiązka światła padająca na powierzchnię płyty szklanej wnika częściowo do wnętrza, a częściowo zostaje odbita. Obie wiązki odbita i załamana są częściowo spolaryzowane przy czym efekt jest najsilniejszy przy kącie 57^o (kąt BREWSTERA). Przy kącie tym promień padający i odbity tworzą kąt 90^o.

α+90^o+β=180^o , α+β=90^o , β=90^o-α ,

sinα/sinβ=n₂/n₁=sinα/cosα=n₂/n₁ ,

tgα=n₂/n₁ , α=arctgn₂/n₁ ,

n=n(λ) , α=α(λ) .

Polaryzacja tego typu występuje na powierzchni jezdni, czy w fotografii.

46. POLARYZACJA PRZY ZAŁAMANIACH.

Przy wielokrotnym odbiciu zwiększa się stopień polaryzacji wiązki załamanej:

Jedna płytka szklana usuwa ok. 8% światła niespolaryzowanego. 10 płytek usuwa 67% , a 45 płytek usuwa ok. 90%. Metody tej używa się do polaryzacji światła z obszaru widzialnego i podczerwieni.

47. POLARYZACJA PRZEZ ROZPRASZANIE.

Wiązka światła przechodząc przez pewną objętość, w której zawieszone są b. małe cząsteczki ulega rozproszeniu na boki. Takie światło jest częściowo spolaryzowane liniowo:

Stopień polaryzacji światła rozproszonego wzrasta ze stopniem rozdrobnienia cząstek. Polaryzację przez rozproszenie obserwuje się np. w świetle docierającym na ziemię z nieba od słońca. W tym przypadku max polaryzacja występuje w kierunku pod kątem 90⁰ do kierunku w stronę słońca.

48. POLARYZACJA PRZEZ SELEKTYWNĄ ABSORBCJĘ.

Obserwuje się ją dla niektórych kryształów wykazujących dichroizm (dwubarwność w kryształach jednoosiowych, występowanie dwóch barw w wyniku odpowiedniego załamania światła ; kryształ turmalinu). Jeżeli światło niespolaryzowane pada na płytkę z turmalinu równolegle do osi optycznej to zostaje ono rozdzielone na dwie prostopadłe do osi optycznej wiązki spolaryzowane. Właściwość ta została wykorzystana do produkcji polaroidów. W matrycach celulozowych kryształki są w postaci igiełek hematytu.

49. PRAWO MALUSA.

Dotyczy zmiany natężenia światła przechodzącego przez analizator w zależności od kąta jaki tworzą płaszczyzny transmisji analizatora i polaryzatora. I₂=I₁cos²θ , gdzie θ-kąt skręcania wzajemnego obu płaszczyzn polaryzacji.

W polaryzatorze występuje pewna stała absorpcja natężenia, natomiast zależność: cos²θ jest spełniona ściśle.

50. POLARYZACJA PRZEZ PODWÓJNE ZAŁAMANIE. PRYZMAT NICOLA.

Właściwości podwójnego załamania (dwójłomność) wykazuje kryształ kalcytu (CaCO₃) tzw. szpat islandzki. Wiele kryształów anizotropowych jak: kwarc, turmalin, mika, lód, cukier i inne wykazują właściwości podwójnego załamania. W kryształach tych światło ma różne prędkości (dwie) zależne od orientacji płaszczyzny drgań światła.

Wiązka padająca na pryzmat Nicola rozdziela się na dwie wiązki liniowo spolaryzowane w kierunkach prostopadłych do siebie.

n_e- promień nadzwyczajny ,

n₀- promień zwyczajny.

n₀ spełnia prawo Snelliusa, a n_e nie.

Zjawisko podwójnego załamania zostało wykorzystane w pryzmacie Nicola.

Współczynnik załamania światła ma wartość pomiędzy współczynnikiem załamania balsamu :1,66 ; 1,55 ; 1,49 .

Z tego powodu promień zwyczajny ulega całkowitemu odbiciu. Efekt dwójłomności określamy jako: D=n_e-n₀=γ/L ,

gdzie: γ-opóźnienie fazowe , L-droga geometryczna. Droga optyczna jest to droga geometryczna razy współczynnik załamania. Dwójłomność wymuszona:

1) mechanicznie:

Poddając ciała izotropowe (szkło, pleksi) działaniom nieharmonicznych naprężeń, ciało to może stać się dwójłomne z osią optyczną skierowaną wzdłuż działających sił.

2) w przepływie:

Niektóre ciecze izotropowe stają się dwójłomne jeżeli podda je się działaniom naprężeń ścinających.

51. ZJAWISKO KERRA I COTTONA-MOUTONA.

Własności optyczne niektórych ciał zmieniają się pod wpływem pola elektrycznego i stają się podobne do własności jednoosiowych kryształów dwójłomnych. Oś optyczna jest wtedy zgodna z kierunkiem wektora elektrycznego E. Zjawisko to nosi nazwę zjawiska Kerra.

Spolaryzowane światło przechodząc przez ciepły dielektryk umieszczony w polu elektrycznym, rozszczepia się na dwie wiązki : n₀-promień zwyczajny i n_e-promień nadzwyczajny, różniące się wartością współczynnika załamania. Różnica ta wynosi : n₀-n_e=kE² ,

różnica dróg optycznych wynosi:

d₀=d(n₀-n_e)=BE²λd ,

gdzie d₀-droga optyczna, d-droga geometryczna, B=k/λ - stała Kerra .

Czas zaniku anizotropii tej cieczy dielektrycznej wynosi ok. 10^-10s, co wykorzystuje się jako ultraszybkie migawki fotograficzne lub przy modulacji natężenia światła przy zapisie ścieżek dźwiękowych w filmach.

Cotton i Mouton podobne właściwości uzyskali w polu magnetycznym. Różnica dróg optycznych wynosi:

d₀-d(n₀-n_e)=CH²λd , gdzie :

C-stała Cottona-Moutona , H-natężenie pola magnetycznego .

52. OPTYKA OŚRODKÓW NIEJEDNORODNYCH.

Przyczynami powstawania ośrodków niejednorodnych mogą być gradienty temperatury, ciśnienia czy gęstości. Np. zmieszanie ciepłej i zimnej wody, cukier na dnie szklanki, fale uderzeniowe w gazach, rozkład temperatury w atmosferze związany z wysokością.

W przyrodzie następuje zmiana współczynnika załamania światła atmosfery ziemskiej (najczęściej zmniejsza się wraz z wysokością). Obserwujemy wtedy tzw. zjawisko refrakcji astronomicznej polegającej na wzroście wysokości gwiazd nad horyzontem oraz migotanie gwiazd:

Odwrotny efekt obserwujemy na pustyni (fatamorgana):

Inny przypadek ośrodka niejednorodnego może być roztwór solanki ze zmienną gęstością wraz z wysokością.

1-2: n₁sinα₁₂=n₂sinβ₁₂ , β_1,2=α_2,3 ,

2-3: n₂sinα₂₃=n₃sinβ₂₃ ,

n₁sinα₁₂=n(k)sinα(k) ,

n(k)sinα(k)=const. ,

co oznacza, że jeżeli n zmienia się z wysokością, a promień zgodnie z zasadą Fermata, to wybierze drogę, dla której czas będzie najkrótszy, to tor przebiegu tego promienia w pewnych przypadkach może być paraboliczny:

53. ROZPRASZANIE ŚWIATŁA.

Przeźroczysty ośrodek oczyszczony nawet bardzo dokładnie z kurzu wykazuje nadal pewne właściwości rozpraszające np. dla światła białego o zabarwieniu niebieskim. Światło to jest rozpraszane przez cząsteczki gazowe ośrodka (klasycznym przykładem tego zjawiska jest niebieski kolor nieba). Rayleigh wykazał, że odpowiedzialne są za to cząsteczki azotu i tlenu, a ilość światła rozproszonego jest odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali.

Teorię Rayleigha stosuje się do cząsteczek nie większych niż 1/10 długości fali światła. W gazie o stężeniu N-cząsteczek na jednostkę objętości (V) współczynnik załamania n, współczynnik rozproszenia dla danej długości fali λ :

ς=8π³/3Nλ⁴*(n²-1)² ,

(n²-1)²=[(n+1)(n-1)]²=[2(n-1)]²=4(n-1)²

ς=32π³/3Nλ⁴*(n-1)² .

54. TEORIA MIEGO.

Przy bardzo małych cząsteczkach, mniejszych niż 1/10λ rozpraszanie światła można opisać jako dipolowe:

Dla większych cząsteczek światło rozproszone przez jedną część cząsteczki może być niezgodne w fazie przez światło rozproszone przez inną jej część. Różnica faz wzrasta ze wzrostem kąta rozproszenia.

Teoria Miego uwzględnia: rozmiary, kształt, stałą dielektryczną i absorpcję cząsteczek. Wszystkie cząsteczki, dla których R/λ jest takie samo, mają takie same właściwości rozpraszające:

2πR/λ=α .

Teoria Miego uwzględnia różnicę współczynnika załamania Δn cząsteczki i

ośrodka rozpraszającego. Wszystkie te parametry określają również własność ośrodka jaką jest: rozpraszanie, pola-ryzacja, pochłanianie.

W jednostce objętości znajduje się N cząsteczek o promieniu R. Wobec tego w całej objętości będzie : NV=NAds, gdzie A-powierzchnia dna walca.

Każda cząsteczka stanowi dla światła przegrodę geometryczną o przekroju: ၰR². Zatem całkowity przekrój czynny na rozproszenie światła przez cząsteczki możemy zapisać : ၓ=NAdsၰR² .

W rzeczywistości przekrój czynny jest większy niż zapisany powyżej przekrój geometryczny czynnik K (współczynnik ekstyncji, współczynnik na rozpraszanie)

KၰR² - przekrój czynny na ekstyncję jednej cząstki. Oznaczając przez „i” natężenie światła rozproszonego oraz przez „I₀” natężenie światła padającego mamy : -i/I₀=(NAdsKၰR²)/A , “-“ minus określa zmniejszenie natężenia światła, natomiast ds-przebytą drogę.

-i/I₀=ၭds , gdzie ၭ=NKၰR² , ၭ-Miego współczynnik ekstynkcji.

FIZYKA JĄDROWA

55. PROMIENIOTWÓRCZOŚĆ NATURALNA.

Jądra pierwiastków promieniotwórczych jako nietrwałe podlegają ciągłemu rozpadowi. Emitują cząstki ၡ w postaci jąder helu albo cząstki ၢ głównie w postaci elektronów pozbywając się przy tym pewnej energii. Bardzo często przy emisji cząstek ၡ lub ၢ powstają jądra wzbudzone, które tracą swoją energię wzbudzenia przez emisję

fotonów w postaci kwantów ၧ (gamma).

56. PRZEMIANY PROMIENIOTWÓRCZE.

Dla każdego jądra pierwiastka promieniotwórczego prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu jest wielkością stałą. Średnia liczba dN-atomów, które w bardzo krótkim czasie dt ulegają rozpadowi jest proporcjonalna do liczby atomów N-pierwiastka i do czasu dt:

-dN=Nၬdt , ၬ-stała rozpadu, ၬ=-dN/Ndt ၬ-określa stosunek liczby atomów rozpadających się w ciągu jednej sekundy do wszystkich atomów próbki danego pierwiastka w danej chwili.

Całkując otrzymamy: N=N₀e^-ၬt , gdzie N₀-liczba atomów na początku. Charakterystyczny dla każdego pierwiastka jest czas połowicznego rozpadu (zaniku) T_1/2 czyli czas po którym liczba atomów zmaleje do połowy. Jeżeli zapiszemy : T_1/2=t , wobec tego : N=N₀/2=N₀e^-ၬt ,

czyli: ၬt=ln2 , T_1/2=ln2/ၬ .

Średni czas życia ၴ wyznaczymy mnożąc liczbę dN atomów rozpadających się przez czas t, a następnie zsumujemy wszystkie te iloczyny i podzielimy sumę przez całkowitą liczbę atomów N₀ :

ၴ=(ჲtdN)/(ჲdN) ,

dN(t)=ၬN(t)dt=ၬN₀e^-ၬtdt ,

ၴ=(N₀ჲၬte^-ၬtdt)/(N₀) ,

oznaczając: ၬt=x , ၴ=1/ၬ*ჲe^-xxdx ,

ၴ=1/ၬ=T/ln2=1,443 T .

Procesy naturalnych rozpadów zostały opisane za pomocą prawa przesunięć Soddy'iego-Fajans'a.

- rozpad ၡ , rozpad ၢ^- , rozpad ၧ .

Wszystkie przemiany jądrowe podlegają podstawowym prawom :

zasada zachowania liczby nukleonów, zasada zachowania ładunku,

zasada zachowania energii pędu.

57. RODZINY (SZEREGI) PROMIENIOTWÓRCZE.

Kwanty gamma ၧ są emitowane w danej rodzinie pierwiastka promieniotwórczego wtedy, gdy w skutek rozpadu powstaje jądro wzbudzone, które wraca do stanu podstawowego przez emisję. Jeżeli rodzina zaczyna się od pierwiastka o liczbie masowej A₀ i liczbie porządkowej Z₀ to pierwiastek, który powstał po N_ၡ w rozpadach ၡ i N_ၢ w rozpadach ၢ oraz dowolnej liczbie rozpadów gamma będzie miał liczbę masową A i liczbę atomową Z określoną następującymi związkami: A=A₀-4N_ၡ , Z=Z₀-2N_ၡ-N_ၢ .

Znane są 4 rodziny promieniotwórcze: torowa, neptunowa, uranowa, aktywowa. Rodzina neptunowa jest wytworem sztucznych pierwiastków promieniotwórczych. Pozostałe występują w przyrodzie. Wszystkie rodziny promieniotwórcze kończą się pierwiastkiem jednym z izotopów ołowiu.

58. ROZPAD PROMIENIOTWÓRCZY SUKCESYWNY.

Jest to rozpad, w którym każdy następny pierwiastek powstaje poprzez rozpad pierwiastka poprzedniego. I,II,III, w chwili t=0 istnieje tylko I pierwiastek o liczbie atomowej N₀ , po czasie t nastąpi zmiana liczby atomowej:

dN₁/dt=-ၬ₁N₁ ;

dN₂/dt=ၬ₁N₁-ၬ₂N₂ ;

dN₃/dt=ၬ₂N₂ ;

N₁=N₀ဪe^-ၬt, czyli dN₂/dt=ၬ₁N₀ဪe^-ၬt-ၬ₂N₂

gdzie ၬ₁N₁-przyrost pierwiastka II w skutek rozpadu I ; ၬ₂N₂-ubytek pierwiastka II w skutek rozpadu.

Podsumowując: w rozpadzie promieniotwórczym sukcesywnym liczbę atomów poszczególnych pierwiastków można określić za pomocą równań różniczkowych: dN₁/dt=-ၬ₁N₁ ;

dN₂/dt=ၬ₁N₁-ၬ₂N₂ ; dN₃/dt=ၬ₂N₂-ၬ₃N₃ .

W zależności od tego w jakiej relacji będą pozostawać do siebie stałe rozpadu, to w przedstawionym przykładzie max krzywej drugiej N₂ ustawi się na niskim lub wysokim poziomie. Gdy ၬ₁<<ၬ₂ to ustali się niski poziom tego maksimum. Gdy ၬ₁>>ၬ₂ to poziom maksimum będzie wysoki.

59. WIEK ZIEMI.

Istnienie pierwiastków promieniotwórczych w przyrodzie pozwala na określenie wieku Ziemi, ponieważ pierwiastki te nie powstają obecnie można przypuszczać, że ich powstawanie odbywało się w zupełnie innych warunkach.

Możemy powiedzieć, że prawo rozpadu promieniotwórczego stanowi zegar w badaniach geologicznych i archeologicznych:

N=N₀e^-ၬt , t=1/ၬ*ln(N₀/N) .

Ponieważ w przyrodzie ołów ²⁰⁶Pb nie występuje w postaci niepromieniotwórczej, zatem z dużym prawdopodobieństwem można przyjąć, że jest efektem rozpadu uranu ²³⁸U.

N₀=N_Pb+N_U , t=1/ၬ*ln[(N_Pb+N_U)/N_U] , t-jest to czas jaki upłynął, gdy grudka uranu została zamknięta w zastygającej skale (wiek skały). Jako dolną granicę wieku wszechświata przyjęto czas t=5*10⁹ lat.

---