1

POLE MAGNETYCZNE

to pole w którym na poruszający ładunek magnetyczny działa siła.

jedna z postaci , w jakiej przejawia się pole elektromagnetyczne . Działające
tylko na poruszające się ciała obdarzone ładunkiem elektrycznym oraz na
ciała mające moment magnetyczny ,niezależnie od ich stanu ruchu.

→

→

→

F=q(V

×β

)

F=qVBsin

α

→

→

F

β

V

⊥

B

α

F

max

=qVB

V

B=F

max

/qV [T]=[Ns/Cm]

PRAWO AMPERA - prawo przedstawiające zależność wartości całki okrężnej
wektora natężenia pola magnetycznego od wartości natężeń stałych prądów
elektrycznych płynących przez powierzchnię objętą całką.

I LINIE SIŁ POLA -możemy wyznaczyć
metodą korkociągu lub regułą prawej dłoni.

B

dl

∫∫∫∫Bdl=

µµµµ

o

I

dl - wektor elementarny długości
B - wektor indukcji styczny do lini pola

B∫U=
B
B2

Π

R=

µ

o

I

2

B=

µµµµ

o

I/2

Π

Π

Π

Π

R

µ

o - przenikalność magnetyczna próżni = 4

Π•

10

-7

[Tm/A]

Wykład nr 2 - 27 lutego początek godzina 8

15

wykładowca dr Janicki

PRAWO BIOTA - SAWARTA - prawo określające wielkość i kierunek
wektora indukcji magnetycznej w dowolnym punkcie pola magnetycznego
wytwarzanego przez prąd elektryczny , pozwalające znaleźć rozkład pola
magnetycznego wytworzonego przez dowolny układ przewodników z prądem.

dB=UoI(dl

×

r)/4

Π

r

3

dB




dB=

µ

o

I/4

Π

r

2

2

Π

r 2

Π

r 2

Π

r 2

Π

r

B= ∫dB=∫

µ

o

I/4

Π

r

2

dl =

µ

o

I/4

Π

r

2

∫dl=

µ

o

I/4

Π

r

2

[ l ] =

µ

o

I

•

2

Π

r/4

Π

r

2

=

µ

o

I/2r

0 0 0 0

H=I/2r [A/m.] natężenie pola magnetycznego

→

→

B=

µµµµ

o

••••

H

→

→

B=

µ

r

µ

o

H

µ

r

<

1 ;

µ

r

>

1 ;

µ

r

>>

1

Wartość

µ

r

uzależniona jest od zewnętrznego pola magnetycznego albo od pola

indukcji.
DIAMAGNETYKI-gazy szlachetne , a także cynk,błoto,rtęć,krzem
PARAMAGNETYKI-metale w wysokich temperaturach ,tlenki kobaltu , sole
żelaza .
FERROMAGNETYKI-rudy żelaza.



POLE MAGNETYCZNE A PRZEWODNIK PRZEZ , KTÓRY

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

BIEGNIE PRĄD.

F=q(V

×

B)

PRĄD-to uporządkowany przepływ ładunków elektrycznych w jednostce czasu.

3

NATĘŻENIE PRĄDU ELEKTRYCZNEGO-wielkość skalarna równa
ładunkowi elektrycznemu przepływającemu przez poprzeczny przekrój
przewodnika.

I=dQ/dt

Na przewodnik z prądem znajdujący się w polu magnetycznym działa siła
elektrodynamiczna wyrażona wzorem :

→

→

→

→

→

→

F=I(l

×

B) ; dF=I(dl

×

B)

F jest równoległa do natężenia pola magnetycznego.

REGUŁA LEWEJ DŁONI-linie sił wchodzą do wewnętrznej strony dłoni ,
palce pokazują kierunek prądu.



I
F=IlB sin ( l , B )
F=BIlsin

α

F

F=B I l

l - długość przewodnika
B-indukcja natężenia prądu
I -natężenie
POLE MAGNETYCZNE - to przestrzeń w której na ładunki działa siła
magnetyczna.

I

I

→

B

Tworzymy układ złożony z miernika i solenoidu.Do solenoidu będziemy
wsuwali magnez.Gdy będziemy poruszali magnez , miernik będzie się
wychylał.Prąd płynie wtedy gdy będzie się zmieniała ilość linii sił , które
przenikają przez ten zwój.
STRUMIEŃ MAGNETYCZNY-to iloczyn skalarny indukcji magnetycznej i
wektora powierzchni.

4

Jeśli pole jest jednorodne tzn. Że przez powierzchnię S przepływa taka sama
ilość linii sił ,wartość jest stała.

Φ

=BS

n

Φ

Φ

Φ

Φ

=BScos (B,n) [Wb]=[Tm

2

]

S

Wektory indukcji są prostopadłe do powierzchni.
Jeśli pole nie jest jednorodne:

→

→

d

Φ

=B dS

→

→

Φ

Φ

Φ

Φ

=∫∫∫∫B dS

W polu magnetycznym jednorodnym linie sił są równoległe do siebie a indukcja
ma stałą wartość.
dx



F

F

z

A

Przeciwko sile elektrodynamicznej F przeciwstawia się siłę zewnętrzną Fz .

→

→

→

→

F

z

= -F = -I( l

×

B )

Siła zewnętrzna wykonuje pracę przy przesunięciu tego przewodnika o dx .
dW=F

z

dx = -Fdx

dW= -I B l dx
ds= l dx
dW= -I B ds

dW= -I d

Φ

Φ

Φ

Φ

5

Elementarny strumień magnetyczny.

dW= -E

I dt

E I dt = -I d

Φ

E= -d

Φ

Φ

Φ

Φ

/dt

Siła elektromotoryczna indukcji .

d

Φ

/dt - szybkość zmian strumienia magnetycznego

PRAWO INDUKCJI FARADAYA (elektromotorycznej) - indukowana siła
elektromotoryczna jest proporcjonalna do szybkości zmian strumienia
magnetycznego.
REGUŁA PRZEKORY LENCA - kierunek prądu indukowanego jest zawsze
taki że pole magnetyczne przezeń wytworzone przeciwstawia się zmianie
strumienia magnetycznego zewnętrznego.
B

L

↑

→

Φ

→

E

in

→

I

→

B

in

Wykład 3 - 5 marca wykładowca dr Janicki

Wyindukowane pole magnetyczne przeciwdziała zmianom , które go wywołują.

N

N S
I



S

I N S

s E

ind

= d

Φ

/dt = d(Bs)/dt

S = ls
V E

ind

= Bl ds/dt = B l V

l

E

ind

= B l V sin

αααα

6

STRUMIEŃ SKOJARZONY - jest wprost proporcjonalny do przepływającego
w czasie prądu.

N

Φ

= LI

L=N

Φ

Φ

Φ

Φ

/I

[ H ] [henr] Indukcyjność

N dQ/dt = - L dI/dt

E

sin

= - L dI/dt

Siła elektromotoryczna samoindukcji

zależy od szybkości zmian natężenia prądu w cewki

L =

µµµµ

o

N

2

S/l

Indukcyjność cewki (solenoidu)

L =

µµµµ

r

µµµµ

o

N

2

S / l

Indukcyjność cewki z ferromagnetykiem

l - długość solenoidu

U

dW = U dq

+ W = CU

2

/2

-

U = L dI / dt

L dW = (L dI / dt) dq
dW = L dI dq/dt

dW = (L I) dI

dW = ∫ (L I) dI = L ∫ I dI = L I

o

2

/2

dW = L I

o

2

/2

W = L I

o

2

/2

Praca
E

m

= W

E

m

= L I

2

/2

Energia pola magnetycznego

Eind =d

Φ

/dt

7

Φ

= B S

Φ

= B S cos (B,S)

Φ

= B S cos

ω

t

Eind = -B S (-sin

ω

t)

ω

Eind = B S

ω

(sin

ω

t)

Eind = Em sin

ω

t

ω

Prąd zmienia się w sposób sinusoidalny.

I = Im sin

ω

ω

ω

ω

t

U = Um sin

ω

ω

ω

ω

t

Dla kondensatora

C U = Um sin

ω

t

U = q/C
dU/dt = (1/C) dq/dt I = dq/dt
Um(cos

ω

t) = I/C

I =

ω

CUm (cos

ω

t) Xc = 1/

ω

t

∼

Um/Xc = Im

I = Im(sin

ω

ω

ω

ω

t + 90

o

)

I

Uc





Dla cewki

8

UL.

U = - Eind = L dI/dt

Um sin

ω

t = L dI/dt

1/2 Um sin

ω

t = dI

I I = ∫ 1/L Um sin

ω

t dt

I = (1/L

ω

) (-cos

ω

t)Um

I = (-Um/

ω

L)cos

ω

t

I = (Um/

ω

L)sin(

ω

t-90

0

)

X

L

=

ω

L

I = Im sin (

ω

ω

ω

ω

t-90

o

)

L U

L

+

∼

U

R

_

γ

C
U
U

C

U

L

R



U

2

=(U

C

- U

L

.)

2

+U

R

2

U = I Z
U

R

= I R

U

C

= I X

C

U

L

= I X

L

Z =

√√√√

(X

C

- X

L

)2 + R

2

RÓWNANIA MAXWELLA

→

→

1.

s

∫ E ds = 1/

ε

∑Q Prawo Gaussa dla elektryczności

→

→

2.

L

∫ E dl = 0 Prawo indukcji Faradaya

→

→

3.

s

∫ B ds = 0 Prawo Gaussa dla magnetyzmu

→

→

9

4.

L

∫ B dl =

µ

o

I Prawo Ampere’a

W równaniu (1) zamiast ∑Q można zapisać ∫

ρ

dV

→

→

1’.

s

∫ E ds = 1/

ε

o ∫

ρ

dV

2’.
I
E

ind

= -d

Φ

/dt

→

→

∫ E dl = -dQ/dt
L

→

→

Φ

=

s

∫ B dS

→

→

→

→

∫ E dl = -d/dt

s

∫ B dS

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

L

∫∫∫∫ E dl = -∫∫∫∫ (

δδδδ

B/

δδδδ

t) ds

L

∫ - kontur zamknięty

Zmienne pole magnetyczne wywołuje pole elektryczne.

→

→

3’.

s

∫ B dS = 0

→

→

→

→

4’.

L

∫ B dl =

µ

o

I +

µ

o

ε

o ∫ (

δ

E/

δ

t) dS

Zmienne pole elektryczne wywołuje pole magnetyczne.
Zmiana w czasie wektora pola elektrycznego E spowoduje powstanie wiru
pola magnetycznego lecz powstanie wiru pola magnetycznego stanowi
zmianę w czasie tego wektora więc zmiana wektora B spowoduje
powstanie wiru wektora E.




E Zmienny w czasie strumień elektryczny

•

B E = dE/dt


E
B

10

Wykład 5 -19 marca wykładowca dr Janicki

FALA ELEKTROMAGNETYCZNA

C =

λλλλνννν

prędkość rozchodzenia się wszystkich fal elektromagnetycznych

λ

- długość fali

ν

- częstość

E

x

B



E

x

B

WEKTOR POYNTINGA - sens fizyczny : moduł jest liczbowo równy energii
przenoszonej przez falę elektromagnetyczną w jednostce czasu przez jednostkę
powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali.

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

S = E

××××

H

→

→

B =

µ

o

µ

r

H

MODUŁ WEKTORA POYNTINGA- jest równy liczbowo energii
przenoszonej przez fale energii w jednostce czasu do jednostki powierzchni
prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.

Średnie natężenie fali S

sr

= E

o

H

o

/2

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE :
- promieniowanie kosmiczne
- promieniowanie

γ

- promieniowanie rendgenowskie

11

- ultrafiolet
- energia fotonów
- światło widzialne
- podczerwień
- mikrofale
- fale radiowe

Wykład 6 26 marzec 1996 wykładowca dr Janicki.
Siatka dyfrakcyjna:

d

λ

∆

d -stała siatki dyfrakcyjnej (odległość między szczelinami)

∆

- różnica dróg optycznych

ŚWIATŁO MONOCHROMATYCZNE -światło o wyznaczonej długości fali.
DYFRAKCJA - ugięcie światła , najogólniej mówiąc jeśli na drodze wiązki
świetlnej znajduje się przeszkoda , to dyfrakcja przejawia się uginaniem się
światła przy przejściu obok krawędzi przeszkody.
W wyniku dyfrakcji :

∆

/d = sin

α

∆

= n

λ

n

λλλλ

= d sin

αααα

równanie siatki dyfrakcyjnej

λ

f

= d sin

α

f

λ

c

= d sin

α

c

λ

c

>

λ

f

d sin

α

c

>

d sin

α

Kąty ugięcia promieni czerwonych są

bardziej ugięte niż promieni fioletowych.

Znając kąt

α

można określić długość fali.

Światło jest falą elektromagnetyczną.
Przykładem interferencji światła monochromatycznego są Pierścienie Newtona.
Przyrządem

do

badania

interferencji

fali

jest

INTERFEROMETR

MAICKELSONA.

Hologram to przykład interferencji fal , poprzez padanie dwóch promieni
świetlnych powstaje obraz trójwymiarowy.

12

PROMIENIOWANIE TERMICZNE CIAŁ- to emitowanie energii przez
ciała w postaci fal elektromagnetycznych , ma długości większe niż światło
widzialne , leży w zakresie podczerwieni.

ZDOLNOŚĆ EMISYJNA - to energia promieniowania wysyłanego w
jednostce czasu z jednostki powierzchni pozostającej w temperaturze T , w
postaci fal elektromagnetycznych o częstościach zawartych w przedziale (

ν

,

ν

+d

ν

).

e(

νννν

, T ) d

νννν

ν

- częstotliwość

e - zdolność emisyjna

ZDOLNOŚĆ

ABSORPCYJNA-

określa

jaka

część

energii

fali

elektromagnetycznej o częstościach zawartych w przedziale (

ν

,

ν

+d

ν

)

padających na jednostkę powierzchni ciała zostaje przez nie pochłonięta.

a(

νννν

, T )

a - zdolność absorpcyjna

CIAŁO DOSKONALE CZARNE- ciało pochłaniające całkowicie padające
nań promieniowanie świetlne , niezależnie od długości fali , stanowi doskonałe
źródło promieniowania , tzn. w danej temperaturze promieniuje największą
możliwą ilością energii , widmo promieniowania ciała doskonale czarnego jest
ciągłe , przy czym w miarą wzrostu temperatury ciała maksimum natężenia jego
promieniowania przesuwa się w kierunku fal krótkich.

e(

νννν

,T )/a(

νννν

,T ) =

εεεε

(

νννν

,T )

zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego
Wykład 7 wykładowca dr Janicki
PRAWO PROMIENIOWANIA KIRCHOFFA- prawo zrównoważonego
promieniowania temperaturowego głoszące , że stosunek zdolności emisyjnej
ciała do jego zdolności absorpcyjnej nie zależy od rodzaju ciała i jest równy
zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.

εεεε

(

νννν

,T ) = (2

Π

Π

Π

Πνννν

2

/C

2

) U(

νννν

,T )

U-uśredniona w czasie energia
U = kT

εεεε

(

νννν

,T ) = (2

Π

Π

Π

Πνννν

2

/C

2

) kT

13

zdolność emisyjna jest funkcją kwadratową częstotliwości

PRAWO WIENA- iloczyn częstotliwości maksymalnej razy pewna stała da
nam temperaturę.

νννν

max

const. = T

PRAWO BOLTZMANA STEFANA - prawo wyrażające zależność całkowitej
zdolności emisyjnej E ciała doskonale czarnego od jego temperatury
bezwzględnej.

E =

σσσσ

T

4

STAŁA BOLTZMANA

σσσσ

= 5,6 10

-8

W/m

2

K

4

Max Planck powiedział że energia może się zmieniać porcjami.
PRAWO PLANCKA - prawo rozkładu energii w widmie promieniowania ciała
doskonale czarnego

E

n

= nh

νννν

E = n

εεεε

o

energia najmniejszego kwantu

U(

ν

,T ) =

ε

o

/ (e

ε

o/kT

-1)

E (

νννν

,T ) = (2

Π

Π

Π

Πνννν

2

/C

2

)(h

νννν

/e

h

νννν

/kT

-1)

∞

E = ∫∫∫∫

εεεε

(

νννν

,T ) d

νννν

o

STAŁA PLANCKA

h = 6,62 10

-34

J/s

Dla każdego metalu istnieje graniczna częstotliwość gdzie zaczyna się zjawisko
fotoelektryczne.
Energia elektronu zależy od częstotliwości światła.
Ilość wybijanych elektronów ( prąd anodowy ) zależy od natężenia padającego
światła.
Każdy foton posiada energię którą możemy określić wzorem:

Ef = h

νννν

h

ν

= W + E

k

W - praca wyjścia
h

ν

o

= W

Ek = eU

n

14

PRACA WYJŚCIA
- to energia którą musimy dostarczyć aby elektron opuścił metal.

- to energia jaką musimy dostarczyć do elektronu aby przenieść go z
poziomu
Ferniego do nieskończoności.

POZIOM FERNIEGO -najwyżej położony poziom.
Każdy foton posiada pęd

p = mV

Fotony nie posiadają masy spoczynkowej więc energię fotonu wiążemy z masą:
E

f

= h

ν

E = mC

2

w ten sposób fotonowi przypisujemy masę
p

f

= mC

m. = E

f

/C

2

p = mC = ( E

f

/C

2

) C = h

ν

/C

p = h

ν

/C

ν

= C/

λ

p

f

= h/

λλλλ

pêd fotonu
Światło padające na powierzchnię wywiera odpowiednie ciśnienie , które jest
mierzalne.
ZJAWISKO COMPTONA - rozpraszanie promienia elektromagnetycznego
(głównie rendgenowskiego ) na swobodnych elektronach , polega na tym że w
wyniku zderzenia pojedynczego fotonu z elektronem , część energii fotonu
zostaje przekazana elektronowi , co powoduje zwiększenie się długości fali
rozproszonego promieniowania i odrzucenie elektronu. Zjawisko Comptona jest
jednym ze zjawisk świadczących o nieciągłej strukturze promieniowania.

Ek

λ

elektron

λ

h

ν

o

Wpadający foton ma energię h

ν

,a elektron posiada E

k

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

15

h

νννν

o

= h

νννν

’ + ( m - m

o

)C

2

( m - m

o

)C

2

- energia kinetyczna elektronu ( gdy prędkości są porównywalne z

prędkością światła

ZASADA ZACHOWANIA PĘDU

p

p

= p

f

+ p

e

p

p

- pęd początkowy

p

e

p

p

= h/

λ

o

p

f

= h/

λ

’

p

p

p

f

∆∆∆∆λλλλ

=

λλλλ

’ -

λλλλ

o

= h/m

o

C ( 1 - cos

θθθθ

)

DUALIZM FALOWO KORPUSKULARNY - właściwość materii polegająca
na tym , że w pewnych zjawiskach ujawnia się natura falowa (interferencja ,
dyfrakcja) , w innych korpuskularna (efekt Comptona).
ATOM WODORU -

STAŁA RYTBERGA R = 1,097 10

7

1/m

1/

λλλλ

= R( (1/K

2

)-(1/n

2

))

k,n - kolejne liczby naturalne
n

>

k

jeśli k = 1 Seria Lymana
jeśli k = 2 Seria
jeśli k = 3 Seria Paschena
MODEL BOHRA - elektrony mogą zmieniać się na określonych orbitach
stacjonarnych dla których model pędu elektronu jest wartością stałej Plancka
podzielonej przez 2

Π

.

PIERWSZY POSTULAT BOHRA - atom nie promieniuje energii , jeżeli atom
porusza się po orbicie , na której jego kręt jest całkowitą wielokrotnością h/2

Π

(są to tzw. orbity dozwolone , stacjonarne)

mVr = nh/2

Π

Π

Π

Π

ћ = h/2

Π

ћ - h kreślne

16

Wykład 8 23 kwietnia wykładowca dr Janicki.

DRUGI POSTULAT BOHRA - jeśli elektron przechodzi z niższej powłoki na
wyższą to foton otrzymuje energię.

E

n

- E

m

= h

νννν

E

n

>

E

m

emisja fotonu

E

n

<

E

m

pochłanianie fotonu

K L M
+
k(e

2

/r

n

2

) = mV

2

/r

n

r

n

k(e

2

/2r

n

) = mV

2

/2

E

k

= mV

2

/2

E = E

k

+ E

p

E

p

= -ke

2

/r

n

Ek = ke

2

/2r

n

E = ke

2

/2r

n

- ke

2

/r

n

E = -ke

2

/2r

n

Wykład 23 kwiecień , wykładowca dr Janicki.

Uzależnienie energii od numeru orbity.
mVr = nђ
V = nђ / mr
m/2 = n

2

ђ

2

/m

2

r

2

= ke

2

/2r

r = n

2

ђ

2

/mke

2

r

n

= ђ

2

/mke

2

· n

2

PROMIEŃ KOLEJNEJ ORBITY
n - numer kolejnej orbity
k = 1/ 4

Πε

o

r

o

= ђ

2

/mke

2

PROMIEŃ BOHRA ATOMU WODORU
dla n = 1 wynosi r = 5,28 · 10

-11

m

En = -k

2

e

4

m/2ђ

2

· 1/n

2

ENERGIA W ZALEŻNOŚCI OD NUMERU ORBITY n .

E

o

= 13,6 eV

energia stanu podstawowego w atomie wodoru.

17

E [eV]

0

n=

∞

-1,5

seria Paschena n=3

seria Balmera

-3,4

n=2

seria Lymana

-13,6

n=1

- Drugi Postulat Bohra graficznie


h

ν

= E

2

- E

1

= 10,2 eV przejście z drugiej orbity na pierwszą daje nam foton

o energii równej 10,2 eV
- natomiast przejście z nieskończoności na pierwszą orbitę daje foton o
energii 13,6 eV


Doświadczenie FRANCKA HERTZ’A



katoda siatka anoda Lampa wypełniona oparami
rtęci przy bardzo małym
ciśnieniu.




- do katody przyłożony był potencjał ujemny

I

o

18

Us

4,81 9,62

Spadek prądu anodowego zaobserwujemy przy 4,81 a następnie przy krotności
tej wartości.
Przyspieszone elektrony tylko przy odpowiednich energiach zderzają się
sprężyście z atomami rtęci i wtedy elektrony nie docierają do anody i wówczas
obserwujemy duży spadek napięcia.
WNIOSEK Z DOŚWIADCZENIA :
Tylko pewne wartości energii są dozwolone dla każdego atomu.

WIDMO ABSORPCYJNE - to widmo optyczne odpowiadające rozłożeniu
światła po przejściu przez daną substancję .

WSTĘP DO MECHANIKI KWANTOWEJ

HIPOTEZA de BROGLI’A - mówi ze dualizm falowo-korpuskularny wykryty
w związku z badaniem natury światła , jest właściwy także innym cząstkom
materii. Między pędem p cząstki i długością

λ

fal de Broglie zachodzi związek

λ

=h/p. Natężenie fal de Broglie w danym punkcie przestrzeni jest wprost

proporcjonalne do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w tym
punkcie.
Bezpośrednim potwierdzeniem hipotezy de Broglie’a byl wynik Davissona i
Germera , którzy zaobserwowali ugięcie wiązki elektronów przez monokryształ.
Od tego czasu przebadano szczegółowo własności różnych cząstek
elementarnych oraz atomów i nie znaleziono żadnych odstępstw od fal de
Broglie,a.

FUNKCJA FALOWA - nie ma żadnego sensu fizycznego.

- to opis matematyczny.

Ψ

(x,y,z,y)

KWADRAT AMPLITUDY FUNKCJI FALOWEJ

ΨΨ

* =

Ψ

(X,Y,Z,T)

2



określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w chwili t w punkcie (x,y,z)

SUPERPOZYCJA FUNKCJI FALOWEJ

Ψ

=

Ψ

1

+

Ψ

2

GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA d

ω

d

ω

=

Ψ

2

dV - określa nam że cząstka znajduje się w elemencie objętości dV

∫∫∫

Ψ

2

dV = 1

Wykład 9 30 kwietnia 1996 wykładowca dr Janicki.

19

Funkcja falowa nie może być falą płaską.

Ψ

= Ae

i(kx-

ω

t)

Ψ

= A sin (

ω

t-kx) + i B cos(

ω

t-kx)

PACZKĘ FAL - otrzymujemy poprzez nałożenie funkcji sinusoidalnej o
niewielkiej częstotliwości.

- „reprezentuje” cząstkę

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA - jeżeli cząstka jest
zlokalizowana w przestrzeni z odchyleniem standartowym

∆

x to nie ma

określonego pędu lecz pewien rozkład pędów.
-im dokładniej określamy położenie cząstki tym z mniejszą dokładnością
określamy pęd cząstki.
-z fizycznego punktu widzenia niemożliwe jest jednoczesne dokładne określenie
położenia i pędu cząstki.

∆

x

∆

p

x

≥

ђ

∆

y

∆

p

y

≥

ђ

∆

z

∆

p

z

≥

ђ

∆

x -nieoznaczoność położenia

∆

p

x

- nieoznaczoność pędu

∆∆∆∆

E

∆∆∆∆

t

≥≥≥≥

ђ

- nieoznaczoność energii w czasie

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

ђ/T

δδδδΨ

Ψ

Ψ

Ψ

/

δδδδ

T = -ђ

2

/2m.

∆∆∆∆Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

+ U(x,y,z,t)

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

∆

=

δ

2

/

δ

x

2

+

δ

2

/

δ

y

2

+

δ

2

/

δ

z

2

Równanie zależy od czasu i od współrzędnych

UPROSZCZONE RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

d

2

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

/dx

2

= -2m/ђ

2

[E - U(x)]

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Vg = d

ω

/dk

E = h

ν

= h2

Πν

/2

Π

= ђ

ω

ω

ω

ω

k = 2

Π

/

λ

p = h/

λ

= h2

Π

/2

Πλ

= ђk

E = p

2

/2m.

ђ

ω

= (ђ k)

2

/2m.

ђ d

ω

/dk =ђ

2

2k/2m.

d

ω

/dk = ђk/m.

ђk = p
Vg = d

ω

ω

ω

ω

/dk = p/m. = V

Prędkość grupowa paczki fal jest równa prędkości poruszającej się cząstki.

CZĄSTKA STUDNI POTENCJAŁÓW .

20

U U=

∞

o L

x

Na odcinku oL może się mieścić całkowita połówka długości fali.

D2y/dx2 = -ђ

2

E

Ψ

/2m.

Ψ

= A

ikx

+B

-ikx

Ψ

(o) =

Ψ

(L) = 0 -warunki brzegowe

Ψ

(x) =C sin kx

Ψ

(L) = C sin kL = 0

k L = n

Π

k

n

= n

Π

/L

więc funkcja falowa przyjmuje postać :

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

(x) = C sin (n

Π

Π

Π

Π

x/L)

Ψ

o L x

Amplituda zawsze taka sama.
L = n(

λ

/2)

p

n

= ђkn = ђn

Π

/L

p

n

= ђ

Π

n/L

E = p

2

/2m.

En = ђ

2

Π

Π

Π

Π

2

n

2

/L

2

2m

21

dla n = 1 En = ђ

2

Π

2

/L

2

2m

L = 10

-10

m. E

1

= 37,2 eV

dla n = 2 E

2

= 37,3

•

2

2

= 149,2 eV

dla n = 3 E

3

= 335,7 eV

Są to pewne dopuszczalne wartości energii.

E E E

3

E

2

E

1

p. p.

„

n

” - główna liczba kwantowa , określa dozwolone wartości energii.

RÓŻNICE MIĘDZY OSCYLATOREM KWANTOWO-MECHANICZNYM A
OSCYLATOREMREM KLASYCZNYM.
Oscylator klasyczny:
U(x) = kx

2

/2 = m

ω

kl

2

x

2

/2

E




x

E

n

= (n - 1/2)ђ

ω

oscylator kwantowo-mechaniczny

d

2

Ψ

/dx

2

= -2m/ђ

2

[E - U(x)]

Ψ

d

2

Ψ

/dx

2

= -2m/ђ

2

[E -

ω

kl

2

x

2

/2m.]

Ψ

Ψ

(x) = e

-ax2

d

Ψ

/dt = (-2ax)e

-ax2

d

2

Ψ

/dt

2

= -2a e

-ax2

+ (-2ax)(-2ax)e

-ax2

d

2

Ψ

/dt

2

= -2a e

-ax2

+ 4a

2

x

2

e

-ax2

-2a e

-ax2

+ 4a

2

x

2

e

-ax2

= -2m/ђ

2

[E -

ω

2

x

2

/2m.]

-2a + 4a

2

x

2

= [-2m.E/ђ

2

+ 2m

2

ω

2

x

2

/ђ

2

]

-2a +4a

2

x

2

= 2m. E/ђ

2

+ m

2

ω

2

x

2

/ђ

2

-2a =-2m E/ђ

2

ha

2

= m

2

ω

2

/ђ

2

22

Wykład 10 14 maja 1996 wykładowca dr Janicki.

4a

2

= m

2

ω

kl

2

/ђ

2

-2a = -2m. E/ђ

2

a = m

ω

kl

/2ђ

E = aђ

2

/m.

E

= m

ω

kl

ђ

2

/2ђm =

ω

ω

ω

ω

kl

ђ/2

E

n

= (n - 1/2) ђ

ω

Ψ

1

(x) =e

-ax2

E = ђ

ω

/2

Ψ

1

(x) = exp (-m

ω

n

x

2

/2h)

Ψ

2

= xe

-ax2

E

2

= 3ђ

ω

/2

E

n

= (n - 1/2)h

ω

E


3/2 ђ

ω

1/2 ђ

ω

Ψ

1

x

23

Ψ

2

x





ATOM WODORU W UJĘCIU KWANTOWO-MECHANICZNYM.

(x,y,z) współrzędne kartezjańskie zmienione są na współrzędne kuliste (

Γ

,

θ

,

ϕ

)

z



p
r

θ

y

ϕ

x p’

r sin

θ

x = r sin

θ

cos

ϕ

y = r sin

θ

sin

ϕ

z = r cos

θ

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

δδδδ

2

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

/d

δδδδ

2

+

δδδδ

2

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

/

δδδδ

y

2

+

δδδδ

2

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

/

δδδδ

z

2

= -2m.(E-U)

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

/ђ

2

1/r

2

⋅

δ

/

δ

r

⋅

(

δΨ

/

δ

r) + 1/r

2

sin

θ

δ

θ

⋅

(sin

θ

⋅δΨ

/

δθ

) + 1/r

2

sin

2

ϕ

⋅δ

2

Ψ

/

δϕ

2

=

= -2m/ ђ

2

⋅

(E-U)

Ψ

24

ograniczamy się tylko do rozwiązania zależności energi od odległości jednej
cząstki od drugiej
U = -ke

2

/r

Ψ

= e

r/a

1/r

2

⋅

δ

/

δ

r

⋅



r

2

⋅δ

/

δ

r

⋅

e

-r/a



= 1/r

2

⋅

δ

/

δ

r



r

2

e

-r/a

(-1/a)



=1/r

2

(-2r/a e

-r/a

+

+(-r

2

/a)e

-r/a

(-1/a) = 2r/ar

2

e-r/a + r2/ra

2

e

-r/a

= (-2/a 1/r +1/a

2

)e

-r/a

(-2/a 1/r +1/a

2

)e

-r/a

= (-2mE/ђ

2

- 2mke

2

/ђ

2

1/r)e

-r/a

warunki jakie muszą być spełnione :
-2/a + -2mke

2

/ђ

2

1/a

2

= -2mE/ђ

2

a = ђ

2

/mke

2

= 5,29 · 10

-11

m. E = ђ

2

/2ma

2

promień dla atomu wodoru
a podstawiamy do wzoru na E
E = -ђ

2

/2m.(ђ

4

/m

2

k

2

e

4

) = -mk

2

e

4

/2ђ

E = -mk

2

e

4

/2ђ

2

= -13,6 eV energia dla atomu wodoru

Ψ

1

= e

-r/a

Jest to fala stojąca najniższego rzędu i nie ma węzłów

Ψ

2

= (1 - r/2a)e

-r/2a

E

2

= -mk

2

e

4

/8ђ

2

Ψ

3

= (1 - 2r/3a - 2r

2

/27a

2

)e

-r/3a

E

3

= -mk

2

e

4

/18ђ

2

E

n

= -mk

2

e

4

/n2ђ

2

· 1/n

2

Ψ

1

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

(r,

θθθθ

,

ϕϕϕϕ

)

1 2 3

10

-10

m

Ψ

2

Ψ

3

25

→

→

→

L = r

×

p

L

z

= r

⋅

p

p. = ђ

⋅

k

L

z

= r

⋅

ђ

⋅

k

k

⋅

r całkowita liczba

L

z

= m

L

⋅

ђ

L

z

= 0

L

, +/- ђ , +/- 2ђ , +/- 3ђ ......



m

L

≤

l

Lz =

√√√√

l(l+1) ђ

całkowity moment pędu

„ l ” - orbitalna liczba kwantowa (może przyjmować wartości 0,1,2,3, ... , n-1
„ m

L

” - magnetyczna liczba kwantowa

Wykład 11 , 21 maja 1996 , wykładowca dr Janicki.

m

L

- rzut momentu pędu na wybrany kierunek , wymuszony najczęściej polem

magnetycznym
Lz = m

L

⋅

ђ

Z

2ђ m.=2

ђ m.=1

m

L

=0

- ђ

- 2ђ

Jeśli chcemy określić kąt

θ

to cos

θ

= L

z

/L = mL

⋅

ђ/

√

l(l+1)

m

L

= +/- l

„ m

s

” - spinowa liczba kwantowa , związana z ruchem obrotowym wokół osi

elektronu

L

s

= ђ

⋅⋅⋅⋅√√√√

s(s+1)

s - przyjmuje zawsze wartość 1/2
L

sz

= m

⋅

s

⋅

ђ

26

Z

ђ/2 Ls

m

s

= 1/2 m

s

= -1/2

- ђ/2

ZASADA PAULINIEGO - w atomie nie mogą istnieć 2 elektrony o
identycznych wszystkich liczbach kwantowych.
n = 2 s p d e
l = 0 , 1 L = 0 , 1 , 2 , 3
m

L

= -1 , 0 , 1

m

s

= -1/2 , 1/2

jeśli n = 1 to l = 0 i jest to stan 1s
jeśli n = 2 l = 0 i jest to stan 2s

2

2p

6

Ψ

n,l,ml

(r,

θ

,

ϕ

) = R

n,l

(r)

θ

l,ml

(

θ

)

ϕ

ml

(

ϕ

)

n = 1 , l = 0

ρ

( r )

r/r

o

1 2 3

gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu

n = 2 , l = 0 (2s)

ρ

(r)

r/r

o

27

n = 2 , l = 1 (2p.)

ρ

(r)

r/r

o

l = 0 , m

L

= 0

Z

Prawdopodobieństwo znalezienia

θ

elektronu jest wszędzie takie samo.

y




l = 1 , m

L

= 0

Z

θ

Lm



2

Są różne prawdopodobieństwa

znalezienia elektronu
y



l = 1 , m

L

= 1

Z



y

28

PROMIENIOTWÓRCZOŚĆ

A

X - jądro atomowe

Z

z - liczba atomowa , określa liczbę protonów w jądrze

A

- liczba masowa , określa całkowitą liczbę nukleonów w jądrze

( A - Z ) -ilość neutronów w jądrze
MASA ATOMOWA - podaje masę jądra w jednostkach atomowych masy
( Junitach ).

1 4 7 235

H , He , Li , U

1 2 3 92

1

p - proton

1

1

n - neutron

0

masy protonu i neutronu nie są identyczne
IZOTOPY - to odmiany jąder atomowych o tym samym ładunku ale o różnych
masach.

1 2 3 12 13 14

H , H , H C , C , C

1 1 1 6 6 6

wodór deuter tryt - izotop węgla C14 (czas
połowicznego zaniku 5700 lat) , za
pomocą tego izotopu określa się
wiek wykopalisk.

238 235

U , U - wykorzystywany w reaktorach atomowych

92 92

IZOBARY - jądra o takich samych masach , a o różnych ładunkach

- mają takie same liczby masowe , a różne liczby atomowe.

Przemiany jąder atomowych zależą od liczby masowej.
Ro = 1,2

⋅

10

-15

m promień atomu wodoru

Promień nie rośnie wprost proporcjonalnie tylko według wzoru :
R = Ro

⋅⋅⋅⋅

A

1/3

gdzie A to liczba masowa
MODEL JĄDRA KROPLOWY - porównuje jądro do kropli , w podobny jak z
kroplą sposób zmieniają się jądra podczas rozszczepienia.

29

MODEL JĄDRA POWŁOKOWY -który nawiązuje do budowy atomu ,
zajmuje się energetyką strony jądra atomowego.
Jeżeli jądro jest wzbudzone to zajmuje wyższy poziom energetyczny. Jądro
wzbudzone

emituje

energię

przez

jądro

atomowe

(kwant

energii

(promieniowanie

γ

)) i przechodzi w stan spoczynkowy.

Dlaczego jądro atomowe składające się z dodatnich protonów i obojętnych
neutronów jest jądrem trwałym ?
odp. Protony (dodatnie) odpychają się co wynika z tw Kulomba , więc powinno
się rozlecieć , ale widocznie istnieją inne siły które to trzymają razem.
Przyczyną trwałości jąder są siły jądrowe.
Siły jądrowe - to siły krótkiego zasięgu , które działają na odległość 10

-15

m.

Aby można było rozłożyć jądro na nukleony trzeba wykonać określoną pracę
(jest ona równa energii nukleonów)
ENERGIA NUKLEONÓW - to energia potrzebna na usunięcie nukleonu z jądra
bez nadania mu energii kinetycznej.
CAŁKOWITA ENERGIA WIĄZANIA JĄDRA ATOMOWEGO - praca
potrzebna na rozłożenie jądra atomowego na składowe nukleony bez nadania
energii kinetycznej.
Masa wolnych protonów i neutronów jest większa od masy jądra atomowego.
DEFEKT MASY (deficyt masy) to różnica między łączną masą protonów i
neutronów a łączną masą jądra atomowego.

∆

m. = (Z

⋅

m

p

) - (A - Z)

⋅

mn - mj

Z - całkowita masa protonów

Ew =

∆∆∆∆

m.

⋅⋅⋅⋅

C

2

całkowita energia wiązania
Jeśli podzielimy energię wewnętrzną przez ilość nukleonów to otrzymamy
energię wewnętrzną na jeden nukleon , jest ona różna dla różnych jąder.