Zmienny prąd elektryczny

Według definicji, prądem zmiennym nazywa się prąd zmieniający w czasie swoją wartość lub kierunek. W technice oraz w zastosowaniach życia codziennego najczęściej mamy do czynienia z prądem będącym sinusoidalną funkcją czasu. Taki prąd nazywa się przemiennym, ale powszechnie utarło się nazywanie go prądem zmiennym i nie mam zamiaru zmieniać tego zwyczaju, aby nie wprowadzać dodatkowego zamętu związanego ze słownictwem. Dla porządku proszę jednak pamiętać, że tam gdzie używam pojęcia prąd zmienny, tak naprawdę mówimy o prądzie przemiennym. Opisuje go równanie:

gdzie:

I_m - amplituda (wartość maksymalna prądu)

T - okres prądu

- faza prądu

- faza początkowa prądu (faza w początkowej chwili czasu t=0)

Wielkość odwrotna do okresu nazywa się częstotliwością f = 1/T , natomiast wielkość

stanowi miarę szybkości zmiany fazy i nazywa się częstotliwością kątową (pulsacją).

Jeżeli w dwóch prądach sinusoidalnych, o takiej samej częstotliwości, fazy początkowe nie są równe, to są to prądy przesunięte fazowo względem siebie. Na rysunku poniżej

Graficzne przedstawienie prądów sinusoidalnych przesuniętych w fazie

prąd i₁ wyprzedza w fazie prąd i₂ o kąt φ = ψ₁ - ψ₂ >0

Wprowadzę teraz istotne pojęcie wartości skutecznej prądu zmiennego. Ponieważ ilość ciepła wydzielonego przez prąd jest proporcjonalna do kwadratu jego wartości, to przyjęto charakteryzować wartość prądu okresowego I za pomocą wzoru:

 

Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego jest równa takiej wartości prądu stałego, który przepływając przez rezystor jednostkowy wydzieli taką samą ilość ciepła w tym samym czasie. Wartość skuteczna I jest związana z amplitudą I_m zależnością:

Zaznaczam, że podane podstawowe definicje są słuszne nie tylko dla prądów sinusoidalnych, ale również innych wielkości fizycznych, zmieniających się sinusoidalnie w czasie (siły elektromotoryczne, napięcia, natężenia pól itd.)

Napomknę jeszcze, że wielkości fizyczne sinusoidalnie zmienne w czasie można opisywać tzw. metodą symboliczną, opartą o liczby zespolone. Metoda ta ma jedną podstawowa zaletę: zamienia działania na wektorach na działania algebraiczne. Ale szczegóły, tym razem, sobie darujemy. Jako ciekawostkę podam jedynie, że posługuje się ona, między innymi, tworem, którego poprawna definicja brzmi: j² = -1. To nie błąd! „Coś" do kwadratu równa się minus 1! Proszę zwrócić uwagę, że pozornie identyczne wyrażenie:

jest błędne, ponieważ przed pierwiastkiem równie dobrze można postawić plus, jak i minus! Dlatego też nie chcę nadużywać wytrzymałości Czytelników i zmuszać ich do zgłębiania kolejnych porcji abrakadabry, która nie jest niezbędna do zrozumienia pozostałych pojęć. Niestety, skutkiem tego ułatwienia będą problemy przy wyjaśnianiu praw Kirchhoffa dla prądu zmiennego.

Obwód elektryczny prądu zmiennego

Prąd zmienny w porównaniu z prądem stałym, jest o wiele bardziej skomplikowanym zjawiskiem, a jego matematyczny opis jest o wiele trudniejszy. W obwodach prądu zmiennego oprócz zewnętrznych sił elektromotorycznych występują siły elektromotoryczne indukcji własnej i indukcji wzajemnej, wywołane zmiennymi polami magnetycznymi, które otaczają przewodniki obwodu. Energia prądu elektrycznego przechodzi w przewodnikach i przestrzeni otaczającej przewodniki w energię cieplną, mechaniczną, a także energię promieniowania. Obszary strat energii i obszary, w których występują pola magnetyczne i elektryczne, z reguły wzajemnie się nakładają. W tych przypadkach parametry obwodu prądu zmiennego rozłożone są wzdłuż długości przewodników (oporność, indukcyjność, pojemność) równomiernie lub nierównomiernie. Obwód taki nazywa się obwodem o stałych rozłożonych.

Jednakże w wielu przypadkach, a z reguły przy stosunkowo małych częstotliwościach prądu zmiennego, można bez szkody dla praktyki zaniechać rozpatrywania tak złożonego obrazu i uważać, że pola elektryczne, pola magnetyczne i obszary strat energii są zlokalizowane we właściwych elementach obwodu: kondensatorach, cewkach indukcyjnych i opornikach, a te elementy są połączone ze sobą przewodami o zerowej oporności, wokół których nie powstają pola elektryczne i magnetyczne. Taki wyidealizowany obwód nazywa się obwodem o stałych skupionych. Jeżeli przy tym parametry elementów obwodu nie zależą od prądu i napięcia, to taki obwód nazywa się liniowy (linearny).

Własności elementów obwodów elektrycznych prądu przemiennego określa się za pomocą równań wiążących prąd płynący przez element z napięciem na jego zaciskach. Jeżeli wybierzemy dodatnie kierunki prądów i napięć (sił elektromotorycznych) jako zgodne,

Dodatnie kierunki prądów, sił elektromotorycznych i napięć na elementach obwodu elektrycznego prądu zmiennego

 

to równania mają postać:

- dla opornika:

- dla indukcyjności:

- dla kondensatora:

Rozpatrzymy obwód elektryczny składający się z szeregowo połączonej pojemności C, indukcyjności L i oporności R, przez który przepływa prąd i = I_msin(ωt + Ψ).

Obwód elektryczny prądu zmiennego

 

Napięcia na elementach obwodu wynoszą:

Napięcie na oporności jest więc w fazie z prądem, napięcie na indukcyjności wyprzedza prąd o kąt
, a napięcie na pojemności jest opóźnione względem prądu o kąt
. W dowolnej chwili suma napięć na elementach obwodu jest równa doprowadzonej sile elektromotorycznej: e = u_R + u_L + u_C. Wynika z tego prawo Ohma dla obwodu prądu zmiennego:

Iloraz skutecznego napięcia U (siły elektromotorycznej E) i skutecznego prądu I nazywa się impedancją Z.

 

której modułem |Z|, jest iloraz:

Jeżeli obliczymy różnicę faz napięcia i prądu φ = ψ_u - ψ_i , to rezystancję R wyraża zależność: R = |Z|*cosφ, natomiast zależność

X = |Z|*sinφ , wyraża reaktancję.

Zachodzą przy tym zależności:
oraz

Dla rozpatrywanego wcześniej obwodu elektrycznego prądu zmiennego reaktancja wypadkowa:

może mieć dowolny znak, podczas gdy reaktancja indukcyjna:

oraz pojemnościowa:

są zawsze wielkościami dodatnimi.

Własności obwodów przy wielkich częstotliwościach

Ten sam obwód elektryczny może być przedstawiony za pomocą różnych schematów w zależności od metody analizy sieci i od zakresu częstotliwości pracy. Przy małych częstotliwościach cewki i kondensatory mogą być przedstawione na schemacie tylko jako indukcyjności L i pojemności C. Natomiast przy wielkich częstotliwościach niekiedy nie można pominąć przewodności dielektryka kondensatora, rezystancji przewodów cewki, pojemności uzwojenia cewki itd. Podstawą dla takiego skomplikowania schematu jest stopień zgodności wyników teoretycznego i praktycznego badania obwodu.

Ważną właściwością przewodników w obwodach prądu zmiennego, występującą przy pracy na wielkich częstotliwościach, jest pojawienie się zjawiska naskórkowości, które polega na wzroście rezystancji przewodnika z powodu wyparcia prądu na jego powierzchnię. Na rysunku poniżej widać

Zjawisko naskórkowości

wydzieloną „nitkę" prądu. Im bliżej środka przewodu znajduje się „nitka", tym związana ona jest z większą liczbą linii sił pola magnetycznego. Większa jest wobec tego samoindukcja przez nią przenikająca i przeciwdziałająca zmianom prądu.

W wyniku tego gęstość prądu jest nierównomierna wzdłuż przekroju poprzecznego. Jest ona większa bliżej powierzchni i mniejsza, im bliżej osi przewodnika. Nierównomierność gęstości prądu wzrasta ze wzrostem częstotliwości, średnicy przewodu, przenikalności i przewodności elektrycznej materiału przewodnika. W przewodnikach o dużej przewodności, przy wielkich częstotliwościach, cały prąd koncentruje się w cienkiej warstwie na powierzchni przewodnika, przekrój poprzeczny przewodnika jest słabo wykorzystany i wzrastają straty cieplne. Dlatego rezystancja przewodnika dla prądu stałego jest mniejsza od rezystancji dla prądu zmiennego. Zjawisko naskórkowości zaczyna wywierać niewielki, ale już zauważalny wpływ na przepływ prądu przy częstotliwościach rzędu kilku kHz. Wzory umożliwiające obliczenie oporności przewodnika pracującego w obwodzie prądu zmiennego, będącej funkcją jego średnicy, rezystywności i częstotliwości oczywiście istnieją, ale bez wielkiej szkody dla Czytelników daruję sobie ich publikowanie. Zwrócę jedynie uwagę na praktyczny aspekt zjawiska - cewki w odbiornikach i nadajnikach wielkiej częstotliwości nawijane są srebrzonym drutem miedzianym, ponieważ srebro ma najmniejszą rezystywność ze wszystkich przewodników.

Straty w dielektryku kondensatorów występujące na wielkich częstotliwościach powodują pojawienie się składowej prądu I_a, która jest zgodna w fazie z napięciem U_C doprowadzonym do kondensatora.

Przesunięcie w fazie prądu i napięcia na kondensatorze ze stratami w dielektryku

 

Kondensator ze stratami w dielektryku przyjęto charakteryzować pojemnością C i kątem stratności δ. Znając te parametry, kondensator ze stratami można przedstawić za pomocą jednego ze schematów zastępczych z poniższego rysunku.

Schematy zastępcze kondensatora ze stratami

 

 

Pojemności ma schematach są praktycznie jednakowe, czyli C_a = C_b = C, a rezystancje wynoszą:

i

Stosunek

nazywa się współczynnikiem strat kondensatora, natomiast wielkość odwrotna

nazywa się dobrocią kondensatora.

Straty cieplne w przewodach i rdzeniu cewki indukcyjnej uwzględniamy za pomocą rezystancji R włączonej na schemacie zastępczym szeregowo z cewką. Rezystancja ta rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości. Na skutek istnienia zależności rezystancji cewki od częstotliwości dobroć cewki

nie jest proporcjonalna do częstotliwości i w pewnym zakresie częstotliwości może być stała. Podobnie jak przy zjawisku naskórkowości nie publikuję wzorów umożliwiające stosowne obliczenia.

Zwrócę natomiast uwagę, że przy wielkich częstotliwościach występują pojemności miedzyzwojowe cewek indukcyjnych. Pojawiają się wtedy miedzyzwojowe prądy pojemnościowe i prądy w zwojach cewki stają się niejednakowe. Przy bardzo wielkich częstotliwościach, na skutek wpływu pojemności międzyzwojowych zastępcza reaktancja cewki może nawet stać się pojemnościowa.

Prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu zmiennego

Konsekwencją pominięcia wytłumaczenia pojęcia symbolicznego sposobu opisu wielkości sinusoidalnie zmiennych jest problem z przedstawieniem Czytelnikom praw Kirchhoffa dla prądu zmiennego. Miałem do wyboru: wykład (dla zupełnie nieprzygotowanego na to Czytelnika) z wyższej matematyki i wprowadzenie kolejnych niełatwych abstrakcji jak liczby urojone, liczby zespolone, liczby sprzężone, wskazy, wykresy wskazowe itd., lub złożenie oświadczenia, że prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego również obowiązują ;-). Co niniejszym czynię! Wyjaśnię jedynie, że zaletą metody symbolicznej (niezależnie od tego na czym ona polega) jest praktyczna możliwość zamiany wszelkich działań geometrycznych na wektorach (metoda graficzna) na działania algebraiczne i dzięki temu sprowadzenia wszystkich zależności i praw dla prądu zmiennego do zależności i praw prądu stałego. Można to oczywiście robić jedynie dla stanu ustalonego i dla obwodu liniowego o sinusoidalnych siłach elektromotorycznych tej samej częstotliwości. Dla takiego obwodu suma algebraiczna wartości chwilowych prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zeru, a suma algebraiczna wartości chwilowych napięć na wszystkich opornościach (łącznie z opornościami wewnętrznymi źródeł) dowolnego zamkniętego obwodu jest równa sumie algebraicznej wartości chwilowych sił elektromotorycznych wszystkich źródeł prądu istniejących w tym oczku. I właśnie tutaj zaczyna się problem, bo prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego przedstawiane są metodą symboliczną. Po zamianie sumowania wartości chwilowych wielkości sinusoidalnych sumowaniem odwzorowujących je amplitud zespolonych (cokolwiek to znaczy, ale jest nierozerwalnie związane z metodą symboliczną), prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego można przedstawić następująco:

I. Suma amplitud zespolonych prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zero:

II. Suma amplitud zespolonych sił elektromotorycznych źródeł prądu w dowolnym zamkniętym oczku obwodu jest równa sumie amplitud zespolonych napięć na wszystkich impedancjach tego oczka:

Czujących się na siłach zrozumieć, lub chcących sobie przypomnieć metodę symboliczną opisu wielkości sinusoidalnie zmiennych, odsyłam do literatury lub Wikipedii. Mówiąc szczerze nigdzie nie spotkałem wyjaśnienia praw Kirchhoffa dla prądu zmiennego zapisanych w innej postaci. Oczywiście nie byłem w stanie przeglądnąć całej dostępnej literatury. Jeżeli ktoś znajdzie takie wyjaśnienie - jego szczęście. Proszę się nim podzielić z Czytelnikami w komentarzu do artykułu!

Moc prądu zmiennego

Przy rozpatrywaniu procesów energetycznych w obwodach prądu zmiennego wygodne jest posługiwanie się różnymi rodzajami mocy. Moc chwilowa jest równa iloczynowi chwilowych wartości prądu i napięcia na części obwodu:

gdzie: U i I są skutecznymi wartościami napięcia i prądu, natomiast φ i ω odpowiednio różnicą faz pomiędzy prądem i napięciem oraz częstotliwością kątową (pulsacją).

Moc czynna charakteryzuje straty energii prądu w czasie 1 s w elementach czynnych obwodu (na ogrzewanie, promieniowanie lub wykonanie pracy mechanicznej). Jest ona mierzona w watach i określa się ją wartością średnią mocy chwilowej za okres:

Moc bierna jest związana z reaktancjami, które okresowo gromadzą energię, a potem oddają ją do źródła, ale same nie pochłaniają energii. Jednostką mocy biernej jest war (woltoamper mocy reaktancyjnej - biernej). Moc bierną można określić ze wzoru:

Moc bierna jest dodatnia przy prądzie opóźnionym względem napięcia (φ>0), a ujemna przy prądzie wyprzedzającym napięcie (φ<0).

Jeżeli przez indukcyjność L płynie prąd o wartości skutecznej I, to:

Q = ω*L*I²

 

Jeżeli do kondensatora C doprowadzono napięcie o wartości skutecznej U, to:

Q = - ω*C*U²

 

Moc pozorna jest określona iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu w odcinku przewodu:

S = I*U

Jednostka mocy pozornej nazywa się VA (woltamper). Stosunek mocy czynnej do mocy pozornej P/S = cosφ nazywa się współczynnikiem mocy.

 

Moce czynna, bierna i pozorna są związane ze sobą następującymi zależnościami:

oraz

Konsekwentnie darujemy sobie określenia powyższych mocy metodą symboliczną.

Zadanie 6. Oblicz kąt przesunięcia fazowego obwodu, w którym moc czynna wynosi 1 kW, a moc bierna 0,2kVar.

Tak oto dotarliśmy do końca drugiej, chyba najtrudniejszej do zrozumienia części przewodnika po Elektrotechnice. Nie wiem jak zostanie ona przyjęta przez Czytelników. Pisząc ją miałem do rozstrzygnięcia poważny dylemat: tak naprawdę niczego nie wyjaśniająca prostota i spłycenie zagadnień, czy solidne potraktowanie tematu. Problem w tym, że to drugie jest możliwe wyłącznie w oparciu o pojęcia z wyższej matematyki, o której prawdopodobnie większość czytających nie ma bladego pojęcia. Musiałem jednak być konsekwentny. W pierwszej części używałem elementów wyższej matematyki, więc musiałem to zrobić również w drugiej, chociaż i tak „odpuściłem" metodę symboliczną opisu wielkości sinusoidalnie zmiennych. Mam jednak nadzieję, że interesujący się elektrotechniką przynajmniej coś słyszeli o całkach, różniczkach i pochodnych funkcji. Jak pisałem we wstępie: nauczyć się elektrotechniki można wyłącznie samemu! Wymaga to solidnych podstaw matematycznych, chęci i ciężkiej pracy. Natomiast, że nie jest to łatwe zadanie, to już zupełnie inne zagadnienie.

W trzeciej (i ostatniej) części przewodnika zajmiemy się drganiami elektrycznymi, stanami nieustalonymi, polem elektromagnetycznym, falami elektromagnetycznymi oraz równaniami Maxwella.

1

---