Laminaty mikrofalowe

Typowe rodzaje linii:

- linia paskowa symetryczna, niesymetryczna

- falowód koplanarny

- linie szczelinowe

Podstawą wszystkich struktur planarnych jest podłoże dielektryczne, na które nanosi się metalizację ścieżek: pasków w technice PCB (printer curcuits board) lub na izolacyjnej warstwie półprzewodnika w technologii monolitycznych układów scalonych.

Typowa linia, najczęściej stosowana to NLP.

Schemat linii przedstawiono na poniższym rysunku.

Grubość metalizacji T podaje się w OZ tj uncje na stopę kwadratową:

1/2 OZ - 17,5 μm.

1 OZ - 35 μm.

2 OZ - 70 μm

W katalogach h podaje się w częściach cala:

np. 0,01^” 0,02^” 0,31^” 0,5^”

[mm] 0,254 0,508 0,78 1,27

Parametry:

ε_r - przenikalność dielektryczna - podawana jest w stosunku do ε₀ próżni i zawiera się w granicach od ε_r = 2 ÷ 80 , odpowiednio dla teflonu i specjalnych spieków z proszków ceramicznych.

- tangens kąta stratności - określa straty w dielektryku. Typowe wielkości to: 10^-3 ÷ 10^-4 i zależy od częstotliwości - rośnie wraz z f.

RGH (Roughness surface) nierównomierność położenia metalizacji w procesie technologicznym (elektrolitycznie - Electrodeposite lub walcowanie - rolled).

Warstwa kontaktu metalu metalu z dielektrykiem wpływa na straty.

RHO - rodzaj metalu - typowo miedź , rzadziej , złoto. Parametr ten podaje się jako stosunek konduktywności metalu i przewodności złota ( typowe wartość: RHO = 0,72).

Przykłady standardowych podłóż mikrofalowych

- firmy 3M - Cuclod, Epsilan 10

- Rogers - RT/Duroid

Firma Rogers

	5880	6006	6010	dla porównania laminat kiepski
εr	2,20 ± 0,015	6,15 ± 0,15	~ 10	~ 4,35
tg δ [10GHz]	9 ⋅ 10^-4	19 ⋅ 10^-4	23 ⋅ 10^-4	2 ⋅ 10^-2 [1GHz]
wsp. temp. [ppm/K] dla 0 - 100^o C	-129	-350	-390
rezystancja na cm	2 . 10^7	2 . 10^7	5 . 10^5
rezystancja na cm^2	3 . 10^8	7 . 10^7	5 . 10^6
rodzaj laminatu	PTFE + Glass (microfiber)	PTFE + proszek ceramiczny Al2O3	PTFE	epoksydowo- szklany

PTFE - politetrafluoroetylen - formie masy plastycznej

Inna metoda osiągnięcia małych ε_r to teflon. Czysty teflon ma najlepszą odporność na przebicie elektryczne.

Ceramika Al2O3 εr = 9,7 tg δ = 3 . 10^-4 [10GHz]

Kwarc SiO2 εr = 3,78 tg δ = 4 . 10^-4 [10GHz]

Rutile TiO2 εr = 85 tg δ = 2 . 10^-4 [10GHz] rezonatory dielektryczne

Półprzewodniki:

Si GaAs

ε_r = 11,7 ε_r = 13,4

tg δ = 5 . 10^-3 [10GHz] tg δ = 16 . 10^-4 [10GHz] - lepsza izolacja niż Si

Na poniższych trzech rysunkach przedstawiony został wpływ częstotliwości na stałą propagacji w niesymetrycznej linii paskowej.

Parametry laminatu: r=2.45, h=0.762, t=0.035; r=10, h=1.27 t=0.035 [mm]

W_l - określa szerokość linii 50Ω

Zależność impedancji od wymiarów linii dla dwóch wartości ε_r

Ograniczenie dopasowania impedancji (Fano - Youla)

Z = R + j X Y = G + j B G,L,C,R ≠ f(f)

Dla danej impedancji Z istnieje wymienność poziomu Γ i szerokości pasma.

Ograniczenia możliwości dopasowania impedancji dla układu A) podał Bode w 45r

A
B
C
D

Dopasowanie dwóch impedancji rzeczywistych

Dopasowanie impedancji za pomocą toru schodkowego

Schemat układu przedstawia rys.

gdzie: Z₀ < Z₁ < Z₂ < Z_N < Z_L lub odwrotnie

, ..............

Założenia:

1. Wszystkie ogniwa mają taką samą długość θ = βl

2. Rozważany transformator jest układem symetrycznym, tzn.: Γ₀ = Γ_N , Γ₁ = Γ_N-1 , Γ₂ = Γ_N-2 ......

3. Pomija się wielokrotne odbicia fal powracających po pierwszych odbiciach (tzn. poszczególne współczynniki odbicia są małe)

Wówczas z założeń (1) i (3) otrzymuje się wyrażenie na współczynnik odbicia na wejściu układu:

(1)

a korzystając z założenia (2) otrzymuje się:

(2) (3)

ostatni wyraz w wyrażeniu (3) jest równy:

jeżeli N jest nieparzyste lub jeżeli N jest parzyste

Impedancje Z_n dobiera się w ten sposób aby moduł współczynnika na wejściu układu Γ= F(ω) spełniał określone warunki, np. żeby w paśmie pracy charakterystyka była maksymalnie płaska lub równomiernie falista.

Transformator impedancji o charakterystyce maksymalnie płaskiej

Maksymalnie płaską charakterystykę przepuszczania można uzyskać jeżeli pierwszych (N - 1) pochodnych względem częstotliwości (lub θ) wyrażenia na Γ będzie równe zeru przy częstotliwości środkowej pasma f₀, przy której

Warunek ten będzie spełniony, jeżeli współczynnik odbicia będzie równy:

(4)

a jego moduł: (5)

Stałą A można wyznaczyć zakładając θ = 0 (fala nieskończenie długa). Wówczas współczynnik odbicia będzie uzależniony tylko od impedancji końcowych:

⇒ Z_L > Z₀

(6)

Podstawowe własności symbolu Newtona:

Porównując (1) i (6) otrzymuje się:

Jeżeli zrobi się założenie, że wartości Γ_n są małe oraz Γ_{θ = 0} również jest małe to można skorzystać z rozwinięcia funkcji ln x w szereg

np. dla x = 2

otrzymuje się:

Przykład 1

Dopasować za pomocą transformatora podwójnego impedancję 100Ω do impedancji 50Ω.

Pasmo pracy transformatora

Względną szerokość pasma pracy określamy jako zakres pracy transformatora, w którym moduł współczynnika odbicia nie przekracza zadanej wartości |Γ| ≤ |Γ_max| .

(7)

Przykład 2

Obliczyć szerokość pasma dla układu z poprzedniego przykładu, jeżeli maksymalny moduł współczynnika odbicia wynosi 0.05.

Pasmo wynosi 0.5

Transformator impedancji o charakterystyce równomiernie falistej (Czebyszewa)

Nazwa transformatora Czebyszewa pochodzi stąd, że moduł współczynnika odbicia w pasmie przepuszczania takiego transformatora zmienia się w/g wielomianu Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa

Wielomian stopnia n-tego zmiennej x

T_n(x) = 2 x T_n-1 (x) - T_n-2(x) (8)

T₀ (x) = 1

T₁ (x) = x

T₂ (x) = 2 x² - 1

T₃ (x) = 4 x³ - 3x

T₄ (x) = 8 x⁴ - 8 x² + 1

Dla |x| ≤ 1 , wartość wielomianu nie przekracza wartości ± 1 , natomiast gdy x → ∞ wartość wielomianu również dąży do nieskończoności

Jeżeli podstawi się x = cos θ, to okaże się, że T_n(cos θ) = cos (n θ). Wartość wielomianu T_n (cos θ) zmienia się w granicach ±1 gdy θ zmienia się od 0 do π.

Przy projektowaniu transformatora dąży się do utrzymania wielomianu w paśmie przepustowym w granicach 0 - 1 gdy θ zmienia się od θ₁ = θ_min do wartości θ₂ = θ_max.

Warunek ten będzie spełniony, gdy wykona się następujące podstawienie:

(9)

(10)

Gdy θ = 0 otrzymuje się (11)

Podstawiając A do wzoru (10) otrzymuje się:

(12)

Moduł współczynnika odbicia w paśmie pracy jest maksymalny dla T_N = 1(współczynnik A określa maksymalną wartość odbić).

(13)

dla cos θ = 1, po uwzględnieniu zależności (13) ze wzoru (9) otrzymuje się:

(14)

Z zależności (14) można wyznaczyć szerokość pasma transformatora przy zadanym maksymalnym współczynniku odbicia oraz zadanej wartości N:

(15)

lub N przy zadanym maksymalnym współczynniku odbicia oraz zadanej szerokości pasma:

(16)

Uwaga! Jeżeli cos > 1 należy do obliczeń wprowadzić kąty zespolone czyli cos zamienić na cosh.

Przykład 3

Dopasować impedancję 100Ω do impedancji 50Ω za pomocą podwójnego transformatora Czebyszewa.

Maksymalny moduł współczynnika odbicia w paśmie Γ_max = 0.05.

T₂(sec θ_min cosθ) = 2 (sec θ_min cosθ)² - 1

T₂ osiąga max dla T₂ = 1

z zależności (13) oraz danych otrzymuje się

sec θ_min = 1.96, a θ_min = 59.3^o

z zależności (10) otrzymuje się:

Γ= 2Γ₀cos 2θ + Γ₁ = Γ_max sec² θ_min cos 2θ + Γ_max (sec² θ_min -1)

Γ₀ = 0.5 sec² θ_min Γ_max = Γ₂ = 0.096

Γ₁ = Γ_max (sec² θ_min -1) = 0.142

Szerokość pasma dla tego układu wynosi 0.675

Uwaga! Należy pamiętać, że jeżeli N jest parzyste to ostatni wyraz w nawiasie kwadratowym jest równy

Przykład 4

Dopasować impedancję z poprzedniego przykładu w tym samym paśmie częstotliwości za pomocą trójsekcyjnego transformatora Czebyszewa.

Ponieważ pasmo jest takie samo jak w poprzednim przykładzie , więc sec θ_min = 1.96

T₃(sec θ_min cosθ) = sec θ_min cosθ(4 sec² θ_min cos²θ - 3)

T₃(secθ_min) = 24.24

ze wzoru (13) obliczamy Γ_max = 0.0138

Wielomian Czebyszewa możemy przedstawić :

T₃(sec θ_min cosθ) = sec³ θ_min cos3θ + 3 sec θ_min (sec² θ_min - 1)cosθ

z zależności (10) po podstawieniu danych ,otrzymujemy:

2 Γ₀ cos3θ + 2 Γ₁ cosθ = 0.104 cos 3θ +0.231 cosθ

Γ₀ = Γ₃ = 0.052 Γ₁ = Γ₂ = 0.115

Uwaga! Przydatny może być wzór:

Jeżeli n - parzyste ostatni wyraz jest równy

Jeżeli n - nieparzyste

Analiza dokładna transformatora Czebyszewa

Analiza dokładna transformatora polega na analizie np. funkcji tłumienia mocy, która jest zdefiniowana następująco ( wprowadza się ozn. ρ =Γ)

P_i - moc padająca

Funkcja tłumienia mocy (15)

|T|² = 1 - ρ² T - współczynnik transmisji

Chcemy, żeby współczynnik stratności mocy zmieniał się w/g zależności:

k² - współczynnik tolerancji

θ_m. - kąt przy którym mamy największe założone odbicia

max P_LR = 1 + k²

Analiza układu dla dowolnego N jest uciążliwa, dlatego poniżej przedstawiona zostanie analiza transformatora dla N = 2 oraz 3

N = 2

P_LR = 1 + k² [2 (sec θ_m. cos θ)² - 1]²

P_LR = 1 dla θ = θ_z ⇒

P_LR = 1 + k² [(sec θ_z. cos θ)² - 1]² (17)

Z zależności (16) i (17) po podstawieniu θ = 0 i uwzględnieniu otrzymujemy

oraz (18)

Impedancje Z₁ i Z₂ obliczamy transformując impedancję obciążenia Z_L przez dwa odcinki linii o długości elektrycznej θ i impedancjach kolejno Z₂, Z₁ oraz wiedząc, że

1. dla częstotliwości środkowej moduł współczynnika odbicia osiąga maksimum

2. Γ(θ_z) = 0

Z drugiego warunku stosunkowo prosto otrzymujemy związek pomiędzy impedancjami Z₁ i Z₂

(19)

Natomiast z warunku (1) wyznaczamy Z₁.

(20)

Podstawiając, do (20) zależność (19) otrzymujemy:

N = 3

P_LR = 1 + k² sec² θ_m. cos² θ[4 (sec θ_m. cos θ)² - 3]²

P_LR = 0 gdy θ = 0.5 π , czyli dla częstotliwości środkowej oraz jeżeli jest spełniony warunek:

4 (sec θ_m. cos θ)² - 3=0 ⇒

Z zależności (15) i (16) po podstawieniu θ = 0 i uwzględnieniu otrzymujemy

oraz

Korzystając z warunków, że dla częstotliwości środkowej oraz θ_z moduł współczynnika jest równy zero możemy obliczyć impedancje transformatora.

Przykład 5

Wyznaczyć w sposób dokładny parametry obwodów dopasowujących z przykładu 3 i 4 oraz porównać wyniki:

N=2

dokładne przybliżone

Z₁ = 60.97Ω Z₁ = 60.62Ω

Z₂ = 82.01Ω Z₂ = 80.52Ω

N = 3

Z₁ = 55.73Ω Z₁ = 55.49Ω

Z₂ = 70.71Ω Z₂ = 69.90Ω

Z₃ = 89.72Ω Z₃ = 88.07Ω

Literatura:

1. Litwin R., Suski M. - Technika mikrofalowa - WNT W-wa 1972, rozdz. 3

2. Collin R.E. - Fundations for microwave engineering - McGrow-Hill Book Company ..... 1966, rozdz.5

3. Katalogi firm 3M, Rogers

Technika mikrofalowa - Dopasowanie impedancji 8

Jolanta Zborowska

---