Przykład 1

Obliczyć transformatę Laplace'a następujących dwóch sygnałów:

Rozwiązanie:

Transformata Laplace'a sygnału x₁(t):

Granica występująca po prawej stronie powyższego wzoru istnieje i jest równa zero dla takich wartości zmiennej s, które spełniają warunek Re(s)>-1.Dla pozostałych wartości zmiennej s całka definiująca transformatę jest rozbieżna. Ostatecznie dziedziną D₁ transformaty £[x₁(t)]=1/(1+s) jest otwarta półpłaszczyzna:

Transformata Laplace'a sygnału x₂(t):

Granica występująca po prawej stronie powyższego wzoru istnieje i jest równa zero dla takich wartości zmiennej s, które spełniają warunek Re(s)<-1. W rezultacie dziedziną D₂ transformaty £[x₂(t)]=1/(1+s) jest otwarta półpłaszczyzna:

Biegun funkcji leży dokładnie na wspólnym brzegu obszarów określoności transformat obu sygnałów. Przykład ten pokazuje, że dla każdego sygnału przyczynowego istnieje sygnał nieprzyczynowy taki, że transformata Laplace'a obu sygnałów wyraża się tym samym wzorem. Transformaty obu sygnałów różnią się tylko dziedziną, w której są określone.

Przykład 2

Obliczyć transformatę Laplace'a tzw. jedynki Heaviside'a:

Rozwiązanie:

Całka definiująca:

Występująca po prawej stronie granica jest zbieżna dla Re(s)>0. Stąd:

Dziedziną obrazu jedynki Heaviside'a stanowi półpłaszczyzna otwarta{s: Re(s)>0}.

---