Trzy główne przyczyny wpływają na zmianę wartości g na powierzchni Ziemi:

1. przyśpieszenie odśrodkowe,

2. spłaszczenie Ziemi (odległość od środka masy M),

3. rozkład gęstości mas w skorupie ziemskiej.

Inne przyczyny to czynniki zmienne (przyciąganie Słońca, Księżyca, planet i skład grawimetryczny planet).

- potencjał siły przyciągania

Potencjał siły odśrodkowej:

Praca wykonana w płaszczyźnie równoleżnika przez siłę odśrodkową f wynosi:

- potencjał siły odśrodkowej

Potencjał siły ciężkości nazywamy funkcją W

( porównaj z równaniem *)

Powierzchnie ekwipotencjalne (jednakowego potencjału):

-

GEOIDA, zawiera w sobie powierzchnię mórz i oceanów, przebieg powierzchni ekwipotencjalnych bliska Ziemi jest podobny do elipsoid obrotowych, dwie takie powierzchnie nie stykają się i nie przecinają, przez jeden punkt przechodzi tylko jedna powierzchnia ekwipotencjalna.

przebieg powierzchni ekwipotencjalnych

linie sił ciężkości = linie pionowe

Własność powierzchni ekwipotencjalnej:

• są to powierzchnie obrotowe, gdzie osią obrotu jest oś Ziemi;

• w pobliżu Ziemi są to powierzchnie zamknięte, ciągłe zbliżone do elipsoid obrotowych lub dalej od Ziemi rozciągające się do ∞ powierzchnie walcowe;

• przyspieszenie g jest na powierzchni ekwipotencjalnej najmniejsze na równiku, największe na biegunie;

• gdy g≠0 istnieje tylko jedna normalna linia pionowa do powierzchni ekwipotencjalnej;

• są powierzchniami nierównoległymi, odstępy są większe w pobliżu równika;

• 
  w odległości
  zachodzi g'= -c czyli g=0.

Przyśpieszenie siły ciężkości - wzory, pomiary, redukcje.

Wzór Clairaulta.

lub

Wyznaczenie g_a i β: w n punktach o znanym ϕ wyznaczamy g:

g - wynik pomiaru przyśpieszenia siły ciężkości

γ - oznaczenie przyśpieszenia normalnego, teoretyczne, obliczone ze wzorów typu Clairaulta dla ziemi zregularyzowanej (przyjmując pewien rozkład mas i pewną figurę Ziemi)

np.

- wzór Helmerta (1909r.)

- wzór Cassinis (1936r.)

* wynik pomiaru (g) nie musi zgadzać się z modelem teoretycznym (γ)

Pomiary przyśpieszenia siły ciężkości:

Pomiary przyśpieszenia siły ciężkości:

Dzielą się na:

• Bezwzględne - wykonywane wahadłami

• 
  
  
  
  
  
  swobodnego spadku ciała pod wpływem tylko siły ciężkości w próżni s = ½ gt² gdzie droga przebyta przez ciało spadające pomiędzy dwoma wybranymi poziomami s₁=½g(t₂-t₁)²+v(t₂-t₁) a po przejściu do s₁+s₂=½g(t₃-t₁)²+v(t₃-t₁) po przekształceniach otrzymamy wzór na g- siłę ciężkości

• balistycznego ruchu ciała w aparacie pomiarowym;

• 
  metoda z wykorzystaniem wahadła fizycznego (ciała które wychylone z położenia równowagi waha się względem tego położenia po wpływem siły ciężkości dookoła osi poziomej prostopadłej do płaszczyzny wahań
  

gdzie g- przyspieszenie siły ciężkości

α- amplituda wahań

d₀ - moment bezwładności wahadła względem osi obrotu

1. Odległośc srodka ciężkości wahadła od osi obrotu

M- masa wahadła

Wahadło rewersyjne - wyeliminowano w nim czynniki zakłócające: opór powietrz, porywanie powietrza, wpływ temperatury,…

• Względne - pomiary w celu wyznaczenia przyspieszenia g w jednym punkcie - wymagaja znajomości przyspieszenia g₀ w innym pkcie.

REDUKCJA WODNOPOWIETRZNA (REDUKCJA FAYE'A)

„+” - tzn. przyspieszenie dla punktów nad geoidą jest za małe

2. REDUKCJA BOUGUARA (BUGIE) - UWZGLĘDNIA MASY

`-` - wpływ masy nad geoidą, jest więc za duże przyspieszenie

- gęstość Ziemi pod punktem P

- gęstość średnia Ziemi

3. REDUKCJA TOPOGRAFICZNA - uwzględnia zarówno wzniesienie mas ponad poziom punktu P jak i ich ubytek (zasięg 30 - 40 km)

„t” topografia powoduje, że przyspieszenie jest za małe.

ANOMALIE
PRZYSPIESZENIA SIŁY CIĘŻKOŚCI I II TWIERDZENIE STOKES'A

g - wynik pomiaru i redukcji (na geoidę)

- przyspieszenie normalne (teoretyczne) siły ciężkości

- anomalie przyspieszenia siły ciężkości.

wzory wiernokątnego

odwzorowania

płaskiego

transformacja Helmerta ( dla małych obszarów) - wystarczą 2 punkty wspólne -> 4 niewiadome (g_o, h_o, g₁, h₁)

Współrzędne bieguna:
.

Δx, Δy - duże to transformacja Helmerta jest za mało dokładna, dlatego na większych obszarach trzeba mieć więcej niż dwa punkty dostosowania.

4. Transformacja z pasa na pas w odwzorowaniu Gaussa - Kr*gera.

h₂=... g₃, h₃ - odpowiednie wzory

x₀, y₀ można obliczyć dla danej elipsy.

Tablice Tarczy - Hornocha i Hristowa - są w nich przeliczenia między pasami. Wszystkie tablice zabezpieczają dokładności centymetrowe.

GEODEZJA FIZYCZNA ELEMENTÓW

Elementy geodezji dynamicznej.

Prawo Newtona (o wzajemnym przyciąganiu):

Przyspieszenie siły przyciągania, siły ciężkości i odśrodkowej:

- siła przyciągania:

- przyspieszenie siły przyciągania;

- siła odśrodkowa:

F - siła przyciągania ziemskiego

f - siła odśrodkowa

P - siła ciężkości
ρ - promień równoleżnika

υ - prędkość liniowa

ω - prędkość kątowa Ziemi

c - przyspieszenie odśrodkowe.

- siła ciężkości (ciężar)

(*)

Mapy anomalii

II twierdzenie Stokes'a (1849 r.)

(całka po całej Ziemi (0;Π) gdzie: a - promień równika, G - średnia wartość ze wszystkich pomierzonych i zredukowanych wartości
,
- odległość sferyczna między punktem o znanej anomalii
a punktem gdzie wyznaczamy odstęp elipsoidy od geoidy (N), N - odstęp geoidy od elipsoidy,
- anomalie przyspieszenia siły ciężkości,
- funkcja Stokes'a

	0°	10°	30°	60°	90°	120°	180°
	+1,00	+1,21	0,47	-0,90	-1,08	+0,08	0,00

Odchylenie pionu.

- kąt między kierunkiem linii pionu i kierunkiem normalnej do elipsoidy.

z_g - zenit geodezyjny

z_a - zenit astronomiczny

B - biegun geoidy

θ - odchylenie pionu

- składowa południkowa odchylenia pionu

η - składowa w I wertykale odchylenia pionu

ma znak „+” gdy linia pionu odchyla się na północ od normalnej do elipsoidy

ma znak „+” gdy z_a odchyla się na wschód od z_g.

Dla małych rozmiarów trójkąta z_a, z_g, z'

- równanie Laplace'a

Wzory Vehig - Meinesza

Znając anomalie
otrzymamy odchylenia pionu (ich składowe)

NIWELACJA ASTRONOMICZNA

Pozwala wyznaczyć odstępy geoidy od elipsoidy gdy znane są względne odchylenia pionu. W tym celu obserwuje się
na punktach, gdzie B i L znane są z pomiarów geodezyjnych. Mając parami współrzędne na tych samych punktach (astronomiczne i geodezyjne) można obliczyć składowe odchyleń pionów.

- dla skończonych wartości s; na równinach s_i=10 - 20km, w górach s_i=1 - 3km.

Można wykreślić też mapę ξ i mapę η.

Można również wykreślić mapę odstępów n

REDUKCJE NA GEOIDĘ POMIARÓW ASTRONOMICZNO - GEODEZYJNYCH.

1. Redukcje bazy na geoidę.

Pomiary geodezyjne na fizycznej powierzchni Ziemi, gdzie są różne wzniesienia nad geoidą, a obliczeni są na elipsoidzie odniesienia, stąd redukcje w dwóch etapach:

I. na geoidę po liniach pionowych;

II. na elipsoidę po normalnych dla elipsoidy odniesienia.

2. Redukcja szerokości astronomicznych na geoidę.

Przez punkt P na wysokości H nad geoidą poprowadzona jest linia siły ciężkości (wklęsła ku biegunowy) i przecina ona geoidę w punkcie G. Kierunek prostej pionowej w pkt. P różni się od kierunku prostej pionowej w pkt. G. Zatem kąty jakie tworzą te proste z płaszczyzną równika, czyli szerokości ϕ_P , ϕ_G są różne. Wyprowadza się wzór:

dla R=6371km, β=0,0053

Redukcja równa się 0 dla ϕ=90° i ϕ=0° (biegun i równik), ponieważ linie sił są tam proste. Dla ϕ=45° redukcja jest największa, dla H=5830m redukcja wyniosła by 1”.

1” - 30m 0,1” - 3m

3. Redukcje azymutu astronomicznego.

3.1 Redukcja azymutu ze względu na wzniesienie celu ponad geoidę.

S - stanowisko instrumentu (na geoidzie elipsoidy)

P - cel na wysokości H nad geoidą

P' - rzut normalny pkt. P na geoidę

BS, BP' - łuki południków punktów P i S

N_s,N_P - przecięcia normalnych z S i P z osią figury,

normalne s i p są wichrowate.

Prowadząc przez N_s i P płaszczyznę normalną otrzymamy przekrój normalny SP”, którego azymut A'=BSP” jest azymutem zmierzonym. Wyprowadza się :

np. dla H=1km max redukcji wynosi 0,11”.

Ponieważ azymut obarczony jest większymi błędami obserwacyjnymi, to jeśli cel nie był bardzo wysoko często redukcję można zaniedbać.

3.2 Redukcja azymutu ze względu na wzniesienie stanowiska.

P - stanowisko na wysokości H nad geoidą;

P' - rzut punktu P po linii pionu;

P” - rzut punktu P po stycznej do linii pionu;

α - azymut zredukowany;

α' - azymut zmierzony punktu B (kąt pionowy z P)

wtedy:

.

Przeważnie h w sieciach poziomych jest małe i redukcję można zaniedbać. Dodatkowo jeśli celowa znajduje się w płaszczyźnie południka to redukcja równa się 0.

NIWELACJA PRECYZYJNA

Systemy wysokościowe precyzyjnej niwelacji geometrycznej.

BRaK RYS

Zmiana potencjału W o dW wiąże się ze zmianą wysokości H o dh.

czyli

gdzie: W - potencjał siły ciężkości

h - kierunek pionowy zwrócony do zenitu

g - przyspieszenie siły ciężkości

Ciąg niwelacji od punktu O (stacja mareograficzna) do punktu B:

(1)

dla zaobserwowanych dh i g możemy obliczyć całkę (1) tzn. różnicę potencjałów dla zaobserwowanych ciągów

1) WYSOKOŚĆ DYNAMICZNA I POPRAWKA DYNAMICZNA ZAOBSERWOWANEGO WZNIESIENIA:

„Wysokością dynamiczną punktu B nazywamy ujemną różnicę potencjału siły ciężkości w rozważanym punkcie i w poziomie morza, podzielona przez normalną wartość przyspieszenia siły ciężkości w poziomie morza dla

-

(2)

dla wzniesienia dynam. Z punktu B nad punktem A otrzymujemy

przechodząc od różniczki dh do przyrostów skończonych otrzymamy:

Jak widać niezbędne są oprócz pomiarów wysokości pomiary g.

Własności wysokości dynamicznych:

1. Wysokości dynamiczne nie zależą od drogi niwelowania.

2. Wysokości dynamiczne punktów tej samej powierzchni poziomej są jednakowe.

2) WYSOKOŚĆ ORTOMETRYCZNA I POPRAWKA ORTOMETRYCZNA ZAOBSERWOWANEGO WZNIESIENIA.

„Wysokością ortometryczną punktu nazywamy jego odległość od geoidy (poziomu morza) mierzona po linii pionowej.”

(4)

- zmienna wartość przyśpieszenia siły ciężkości we wnętrzu Ziemi na odcinku linii pionowej B₀ B

- przeciętna wartość tego przyspieszenia na tej samej linii B₀ B

Różnicę potencjału na geoidzie i punktu B możemy przedstawić jako całkę po linii pionowej od punktu B₀ do B.

(4)=(1)

takie przyjęcie
uniemożliwia dokładne wyznaczenie wysokości ponieważ trzeba znać wartość
w każdym punkcie pionu B₀ B.

Własności wysokości ortometrycznych:

1. Wysokość ortometryczna nie zależy od drogi niwelacji do punktu B i będzie różna dla

różnych punktów tej samej powierzchni ekwipotencjalnej przechodzącej przez punkt B.

nie są równe (W_A i W_B - nie są to dwie równoległe powierzchnie)

Wzniesienie ortometryczne punktu B nad punktem A:

Wzniesienie ortometryczne punktu A nad punktem B:

Ponieważ powierzchnie nie są równoległe
ciąg od A do B

- suma wzniesień ortometrycznych w zamkniętej pętli niwelacyjnej
0

- „rozwartość ciągu”

teoretyczny błąd zamknięcia ortometrycznego pętli niwelacyjnej związany z pojęciem błędu zamknięcia wynikający z niedokładności pomiarów niwelacyjnych

i=1, 2, ... n - poszczególne stanowiska w ciągu niwelacyjnym między punktami A i B

Poprawka ortometryczna:

• wzniesienia:
  

poprawka ortometryczna wzniesienia zależy od średniej wysokości ciągu, od średniej szerokości ciągu oraz od ukierunkowania (ϕ_B - ϕ_A)

• wysokość punktu B:
  

3) WYSOKOŚĆ NORMALNA (GEOPOTENCJALNA) I POPRAWKA NORMALNA ZAOBSERWOWANEGO WZNIESIENIA

Wprowadził ją Rosjanin M. S. Mołodieński w latach 40-tych.

Biorąc pod uwagę trudności określenia poprawnych wysokości ortometrycznych i ścisłego wyznaczenia geoidy wynikające z nieznajomości rozkładu mas zakłócających w skorupie ziemskiej M. S. Mołodieński opracował metodę wyznaczenia figury fizycznej powierzchni Ziemi na podstawie obserwowanych tylko na powierzchni Ziemi „wartości potencjału siły ciężkości i jego gradientu „g”.

W metodzie tej rezygnuje się z wyznaczenia geoidy, otrzymuje się natomiast ściśle określona powierzchnię, bliską geoidy tzw. quasigeoidę, od której liczone odległości fizycznej powierzchni Ziemi nazywamy wysokościami normalnymi lub potencjalnymi.

Wysokość normalna w stosunku do wysokości ortometrycznej:

gdzie:
- przeciętna wartość przyśpieszenia normalnego na odcinku B₀'B i może być obliczona ze wzoru:

Wysokości normalne punktów położonych w jednakowych szerokościach geograficznych są równe, ponieważ obliczone
jest funkcją ϕ.
to stałe. Quasigeoida niewiele odbiega od geoidy (maksymalnie w górach 1-2 m), obie powierzchnie pokrywają się na obszarach oceanów i mórz oraz wszędzie tam gdzie
. Na równinach różnice wynoszą kilka centrymetrów.

JAK WYZNACZYĆ GEOIDĘ?

dh - przewyższenie zaobserwowane na łatach

gdzie:
- są zredukowane wolnopowietrznie na quasigeoide

- jest anomalią wolnopowietrzną na quasigeoidzie

- wysokość punktu bieżącego linii całkowania (ciągu niwelacyjnego)

Wpływ krzywizny powierzchni ekwipotencjalnej na wyniki niwelacji

- w przypadku niwelowania ze środka wpływ ten jest zaniedbywalny, ale w geodezji nie zawsze niweluje się ze środka.

dla

Refrakcja w niwelacji precyzyjnej (Lallemand)

wg Guy Rusacka

- współczynnik rozszerzalności gazu

- temperatura w ^oC

- gęstość powietrza wyjściowa

- ciśnienie

logarytmuje a następnie różniczkuje ⇒

największy wpływ na zmianę gęstości powietrza ma temperatura

zmiana gęstości

I prawo Lallemanda

„Warstwy powietrza o jednakowej gęstości są równoległe nie do powierzchni ekwipotencjalnej, ale do terenu.”

II prawo Lallemanda

gdzie: a, b, c - stałe

t - temperatura

w - wysokość od Ziemi

„Jeżeli wysokość nad Ziemią zmienia się w postępie geometrycznym to temperatura zmienia się w postępie arytmetycznym.”

- łączy wpływ refrakcji na stanowisku

E_p - wpływ refrakcji na łacie w przód

E_t - wpływ refrakcji na łacie wstecz

gdzie:

s - spadek terenu

t_t - temperatura na łacie wstecz

t_p - temperatura na łacie w przód

Niwelowanie jednego i tego samego odcinka w kierunku przeciwnych nie usunie z wyniku refrakcji.

Wpływ refrakcji wg T. J. Kukkamäki

gdzie: a, b, c - stałe

t - temperatura ^oC

z - wysokość od Ziemi

R - refrakcja

gdzie:

(t₂-t₁) - różnica temperatur w ^oC między wysokościami 0,5m a 2,5m na Lacie 3 metrowej

d - długość celowej w m

h - różnica wysokości wyrażona w pół centymetrach (pomierzona)

γ - stała zależna od stałej c, skomplikowany wzór

Refrakcja ma czasem charakter systematyczny, aby zmniejszyć jej wpływ trzeba skracać długość celowych. W nocy refrakcja jest przeciwnego znaku, ale wartości tylko połowy dziennej. Najkorzystniejsze dla pomiaru są okresy: ranny (1 - 1,5 godziny po wschodzie Słońca) i wieczorny (1 godzina przed zachodem Słońca), wtedy refrakcja ma najmniejszy wpływ.

1. Omów istotę wyznaczenia wysokości ortometrycznej i normalnej.

W niwelacji technicznej przez wysokość pktu rozumiemy wzniesienie ponad poziom morza, czyli ponad geoide, czyli wszystkie pkty tej samej powierzchni mają tą samą wysokość, różnica wysokości dwu pktów jest różnicą wysokości powierzchni poziomych. W rzeczywistości poziom morski (geoida) nie jest sferą a powierzchnie ekwipotencjalne nie są do siebie równoległe a odstępy między nimi maleją od równika do bieguna i stąd wniosek, że punkty tej samej powierzchni poziomej mają różne wysokości ponad geoidę, czyli H_B>H_A.

Pomiędzy pktem A i B przeprowadzamy niwelację wykonując odczyty na łącie wstecz i w przód.

Δh_i- różnica odczytów wstecz i w przód na poszczególnych stanowiskach S_i. (i=1,2,3,…n n-liczba stanowisk ciągu). Bezpośredni wynik niwelacji.

Δh_i - oznacz również odstęp między dwoma powierzchniami ekwipotencjalnymi na stanowisku S_i.

Δh'_i - odstęp między tymi samymi powierzchniami na linii siły ciężkości przechodzącej przez pkt B.

B' - oznacza rzut pktu B po linii pionowej na powierzchnię poziomą pktu A.

BB' - przewyższenie pktu B nad pktem A i oznaczamy

Powierzchnie ekwipotencjalne nie są poziome i dlatego suma przewyższeń wzdłuż profilu AB jest różna od przewyższeń uzyskanych na drodze AB'B czyli ΣΔh_i - ΣΔh_i' ≠ 0 lub ΣΔh_i -
≠ 0

WYSOKOŚĆ ORTOMETRYCZNA
punktu A jest to odległość punktu od geoidy, mierzona wzdłuż linii siły ciężkości

W₀ - potencjał na geoidzie W_A - potencjał w pkcie A

średnia wartość przyspieszenia na odcinku

Wysokość ortometryczna pktu B mamy

Gdzie
oznacza wysokość ortometryczną pktu B'

Wzniesie ortometryczne pktu B nad pktem A

W zamkniętym ciągu niwelacyjnym suma przewyższeń jest różna od 0. Aby uzyskać wzniesienie ortometryczne
pktu B nad pktem A dodajemy POPRAWKĘ ORTOMETRYCZNĄ.

ΔW_i - różnica potencjałów na stanowisku S_i między powierzchniami ekwipotencjalnymi odległymi o wartość hi_. Z zależności dW = -g dh możemy zapisać ΔW_i = - g_iΔh_i oraz ΔW_i=- g'_iΔh'_i

Otrzymujemy

POPRAWKA ORTOMETRYCZNA

Aby obliczyć P₀ musimy znać wartość przyspieszenia g_i na każdym stanowisku S_i.

WYSOKOŚĆ NORMALNA - wprowadził Mołodieński - liczymy wzdłuż linii pionowej od quasi geoidy do danego punktu.W Polsce obowiązuje ten układ odniesiony do mareografu w Kronsztad.

Wysokość normalna pktu A

przyśpieszenie normalne w środkowym pkcie na linii pionowej między quasi geoida a pktem A

Jeżeli za g podstawimy

To

Gdzie
- normalne przyśpieszenie siły ciężkości w bieżącym pkcie o wysokości h.

Różnica przyśpieszenia normalnego w bieżącym pkcie terenu o wysokości h mniej przyśpieszenie normalne w pionie punktu A, jest równa różnicy przyśpieszenia normalnego na geoidzie w pkcie bieżącym mniej przyśpieszenie normalne w pionie pktu A

Bezpośredni wynik niwelacji (wzdłuż profilu AB)

Dla punktu B

Gdzie P_n to poprawka normalna

Przyśpieszenie normalne γ_sr czyli średnie średnie z pktu A i Pktu B

Gdzie

jest wysokością H dla szerokości średniej B_sr=½(B_A+B_B)

2(g₀-Ɣ₀)_Sr=(g₀-Ɣ₀)+(g₀-Ɣ₀)_B Ɣ₀ są wartościami normalnymi siły ciężkości dla rzutów z pktu A i B wyznaczonymi z wzoru

Helmerta γ_o = 978,030 (1+0,005302 sin²B - 0,000007 sin²B)

WYSOKOŚĆ DYNAMICZNA - jeżeli we wzorze na wysokość normalną
w miejsce
przyjmiemy wartość
przyspieszenia normalnego na elipsoidzie dla B=45⁰ to otrzymamy

Wysokośc dynamiczna nie zależy od drogi niwelacji ponieważ W₀-W_A= const i γ₄₅=const oraz ze wysokości dynamiczne punktów tej samej powierzchni poziomej są jednakowe.

2. Porównać system wysokości ortometrycznych i normalnych. Dlaczego idąc ciągiem niwelacji precyzyjnej o długości 80 km, należy wprowadzać poprawki.

3. Omówić istotne różnice systemu wysokości. Definicja odchylenia od pionu, w czym jest wykorzystywana.

4. Wyjaśnij pojęcia: linia pionu, geoida, anomalie pola ciężkości.

5. Geoida i quasigeoida - definicje i ich związek z systemem wysokości.

6. Podaj definicję: Geoida, quasigeoida, anomalie pola ciężkości, linia pionu, wysokość ortometryczna i normalna i sposoby ich wyznaczania.

7. Do czego jest potrzebna znajomość odchylenia linii pionu oraz odstępu od geoidy.

8. Podać systemy wysokości ortometrycznych i normalnych. Jest dany ciąg niwelacyjny o długości 80 km na kierunek północ - południe. Oblicz wszystkie znane ci poprawki występujące w geodezji wyższej.

9. Definicja geoidy i quasigeoidy oraz ich związek z poszczególnymi systemami wysokości. Odchylenie linii od pionu i jej znaczenie w geodezji.

10. Zewnętrzne pole grawitacyjne Ziemi, właściwości powierzchni ekwipotencjalnych.

11. Odchylenie pionu i jego znaczenie w pracach inżynierskich

12. Omów system wysokości obowiązujący w Polsce i podaj zalety jego stosowania. Podaj ogólne zasady wyznaczania modelu Ziemi na danym obszarze np. w Polsce.

13. Wyjaśnij pojęcia: zewnętrzne i normalne pole grawitacyjne Ziemi, odchylenie pionu

DEFINICJE

LINIA PIONU - inaczej linie siły ciężkości i są to krzywa o tej własności, że proste styczne w

każdym ich punkcie mają kierunki wektora siły ciężkości g. Są to krzywe, po których

poruszałby się punkt w spadku swobodnym, bez udziału siły ciężkości g. Linie siły

ciężkości nazywamy liniami pionowymi i są w każdym punkcie prostopadłe do

powierzchni ekwipotencjalnych.

GEOIDA - powierzchnia ekwipotencjalna, która zawiera w sobie swobodną powierzchnię mórz i

oceanów. Przedstawia prawdziwy kształt Ziemi. Wg. Mołodieńskiego jest niewyznaczalna,

jeżeli nie jest znany rozkład gęstości położenia mas leżących na zewnątrz geoidy.

QUASI GEOIDA - wg. Mołodieńskiego nie jest powierzchnią ekwipotencjalną lecz można ją

jednoznacznie wyznaczyć.Na obszarze oceanów pokrywa się z geoidą a pod lądami

odstępy tych powierzchni nie przekraczają 2m.

ODCHYLENIE LINII OD PIONU.

- kąt między kierunkiem linii pionu i kierunkiem normalnej do elipsoidy.

Obserwacje astronomiczne i geodezyjne (azymut α, szerokość φ, długość λ, kąt zenitalny z, kat poziomy,…) wykonujemy na punktach fizycznych Ziemi, czyli w układzie topocentrycznym, zorientowanym w rzeczywistym ciężkościowym polu grawitacyjnym.

Obliczenia natomiast wykonujemy w normalnym polu grawitacyjnym a wiec w przestrzeni B, L, H albo na elipsoidzie potencjału normalnego U₀=const i w związku z tym obserwacje astronomiczne i geodezyjne musimy zamienić na wielkości w normalnym polu grawitacyjnym Ziemi tzn. przeprowadzić redukcje na elipsoidę. Związek miedzy normalnym polem grawitacyjnym Ziemi a rzeczywistym T = W- U

W- potencjał siły ciężkości inaczej potencjał Grawitacyjny, w którego skład wchodzi potencjał siły przyciągania i potencjał siły odśrodkowej

Składowe odchylenia linii pionu:

• η i ξ - anomalie wysokości

• Δg - anomalie grawimetryczne

Odchylenie pionu w dowolnym punkcie P zewnętrznego pola grawitacyjnego będzie zależało od przyjętej elipsoidy U₀= const potencjału normalnego U.

z_g - zenit geodezyjny

z_a - zenit astronomiczny

B - biegun geoidy

θ - odchylenie pionu

- składowa południkowa odchylenia pionu

η - składowa w I wertykale odchylenia pionu

ma znak „+” gdy linia pionu odchyla się na północ od normalnej do elipsoidy

ma znak „+” gdy z_a odchyla się na wschód od z_g.

Dla małych rozmiarów trójkąta z_a, z_g, z'

Składowe linii pionu czyli róznica miedzy wertykałem rzeczywistym a normalnym

-

równanie Laplace'a

Odchylenie pionu w dowolnym pkcie P zewnętrznego pola grawitacyjnego ziemi nazywamy katem v miedzy wektorem przyspieszenia rzeczywistego g i normalnego γ.

Wartości składowe odchylenia pionu sa niezbędne do niwelacji geodezyjno-astronomicznej oraz pozwalaja na określenie odstępu elipsoidy od geoidy.

Met. wyznaczenia składowych odchylenia linii pionu:

ZEWNĘTRZNE POLE GRAWITACYJNE ZIEMI - nazywamy przestrzeń otaczającą Ziemię wraz z jej powierzchnią w której na każdy punkt P działa siła ciężkości g (siła ciężkości g jest to siła wypadkowa, siły przyciągania ziemi F oraz siły odśrodkowej Q tzn. g = F +Q). Pole to nie jest stacjonarne tzn. że siła ciężkości g w danym punkcie pola ulega zmianom wraz z upływem czasu. Wyznaczenie pola grawitacyjnego Ziemi pozwala wyznaczyć kształt ziemi.

WŁASNOŚCI POWIERZCHNI EKWIPOTENCJALNYCH:

POTENCJAŁ SIŁY CIĘŻKOŚCI - INACZEJ POTENCJAŁ GRAWITACYJNY - opisuje pole grawitacyjne Ziemi i zamiast trzech funkcji skalarnych przedstawiających składowe siły ciężkości na osiach współrzędnych, wprowadzono jedną funkcję skalarną zwana potencjałem siły ciężkości.

Potencjał siły przyciągania

Potencjał siły odśrodkowej

Potencjał grawitacyjny

I równanie to spełnia warunek potencjalności pola grawitacyjnego Ziemi Grad (W) = (g_x, g_y,g_z) = g

Gradient siły ciężkości - przyśpieszenie g, podobnie jak potencjał W jest funkcją połóżenia punktu P(x,y,z). Przyrost przyśpieszenia g między pktem P i punktem nieskończenie bliskim P+dP przedstawia się w postaci różniczki zupełnej

Gdzie wektor przemieszczenia dP=(dx, dy, dz)

Wektor

Wskazuje o ile zmienia się przyśpieszenie siły ciężkości przy przejściu z pktu P do pktu P+dP i nazywamy gradientem siły ciężkości. Jeżeli x, y i h oznaczają współrzędne w układzie naturalnym to składowe wektora grad g przedstawiają zmiany przyśpieszenia g w kierunkach wschodnim, pólnocnym i pionowym. W tym przypadku
to składowe poziome gradientu g a składowa pionowa to

RÓWNANIE LAPLACE'a I POISSONA:

I pochodne potencjału grawitacyjnego są równe składowym wektora przyśpieszenia g = F+Q to

Różniczkując te pochodne otrzymujemy II pochodne potencjału:

RÓWNANIE LAPLACE'a - słuszne dla punktów w zewnętrznym polu grawitacyjnym Ziemi

Równanie Poissona - dla punktów wewnątrz Ziemi

NORMALNE POLE GRAWITACYJNE ZIEMI

Potencjałem normalnym U nazywamy potencjał dostatecznie dokładnie aproksymujący potencjał grawitacyjny Ziemi W, musimy wybrać taki potencjał, U aby w zewnętrznym polu grawitacyjnym potencjał zakłócający T= W-U był wielkością małą rzędu drugiego. Zerowa powierzchnia ekwipotencjalna U₀=const powinna z tą samą dokładnością aproksymować geoide a jednocześnie być powierzchnią o nieskomplikowanym równaniu, aby można było ją uznać za powierzchnię odniesienia.

Normalne pole grawitacyjne Ziemi to przestrzeń, w której na każdy punkt materialny działa normalna siła ciężkości Ɣ, równa sumie przyciągania elipsoidy obrotowej ( o masie równej masie Ziemi, aproksymującej z przyjętą dokładnością geoidę) i siły odśrodkowej.

Wyjściowa powierzchnia ekwipotencjalna U₀=const jest elipsoida obrotowa, zewnętrzne zaś powierzchnie ekwipotencjalne U=const nie są elipsami, ale sferoidami (powierzchnie obrotowe, symetryczne względem płaszczyzny równika). Obliczjąc pochodną otrzymanego potencjału U w kierunku normalnym n do powierzchni ekwipotencjalnej U=const Pizzetti otrzymał wzór ścisły na przyśpieszenie normalne

n- normalna na zewnątrz.

Wzór ten dla punktów na elipsoidzie odniesienia U₀=const przedstawił Somiglian

Gdzie γ_a i γ_b to przyspieszenie normalne na równiku i biegunie elipsoidy, a i b - półosie elipsoidy a B - szerokość geodezyjna pktu na elipsoidzie w którym obliczmy .

ANOMALIE POLA CIĘŻKOŚCI

r

m

dr

∞

M

100m

ΔH_biegun

ΔH_równik

45^o

Ziemia

P

prosta pionowa (pion)

P

linia pionowa

prosta pionowa jest tylko styczną

do zakrzywionej linii pionowej

g=0

R

przyśpieszenie

na Ziemi

w punkcie

pod szerokością

geograficzną

przyśpieszenie

siły

ciężkości

na równiku

spłaszczenie grawimetryczne

na biegunie

n równań dla 2 niewiadomych (g_a i β)

pow. Ziemi

R

geoida

g

g₀

H

P

H

P'

y₀

x₀

x₀'

P₀ (x₀', y₀')

γ₀'

γ₀

m

M

R

Ziemia

F

f

P

ρ

oś obrotu

N

ν₂

ν₃

θ

A

S

N

90°-B

z'

η

z_o

A

θ

90°-ϕ

z_a

λ-L

B

ξ

Θ'

geoida

elipsoida

N₁

N₂

normalna do elipsoidy

normalna do geoidy

ds

-10km

P

b'

K

H

H_P

H_K

Powierzchnia fizyczna

geoida - kula

elipsoida obrotowa

N

P₀

pion

K₀

K

P

b

b'

pion

P'

K'

Θ₁

Θ₂

redukcja ze względu na odchylenie pionu

redukcja bazy z geoidy na elipsoidę

redukcja bazy na geoidę

geoida

ϕ_G

ϕ_P

G

H

P

linia pionowa lekko zakrzywiona

styczna do zakrzywionej linii pionu

P

A

A'

N_s

N_P

P'

P”

H

S

B””

normalna w pkt. P

P

P”

P'

B

α

α'

H

pow. ekwipotencjalna

geoida

prosta styczna

linia pionu

(zakrzywiona)

A

z_o

η

z'

90°-B

N

S

A

θ

zaobserwowane przewyższenie

poprawka dynamiczna

do wielkości pomierzonych

B

A'

W=W_i

W=W_B

g

dh

W=W_i+dW

W=W_A

A

H_B^ortom

B'

B₀

geoida

A₀

W=W_A

W=W₀

0

quasigeoida

W=W_B

B

A

B'

B'₀

geoida

A'

B''₀

C

D

B

E

A

H_A^norm

H_B^norm

H_C^norm

H_D^norm

H_E^norm

normalne

quasigeoida

geoida

poprawka normalna

d

warstwy gęstości pow.

równoległe do terenu

pow.

ekwipotencjalna

₂

₁

łata wstecz

łata w przód

E_t

E_p

1.Powierzchnie ekwipotencjalne nie są powierzchniami równoległymi i w związku ze spłaszczeniem Ziemi w róznych punktach na jej powierzchni wartość przyśpieszenia będzie różna (W = const , W+ dW = canst dW = - g dh).

dW = (gradW)dP=g*dP

Przyspieszenie będzie wzrastać w miare zbliżania się od równika do bieguna, ponieważ przyspieszenie siły przyciągania będzie wzrastać a siła odśrodkowa maleć.

2.Powierzchnie ekwipotencjalne nie przecinają się.

3.Powierzchnie ekwipotencjalne w pobliżu Ziemi są powierzchniami zamkniętymi. Pizzetti podał granice słuszności tego wniosku - obszar do r< 5,89 R R- średni promień Ziemi.

4.Powierzchnie ekwipotencjalne nie są do siebie równoległe a linie pionu są liniami krzywymi do powierzchni ekwipotencjalnych, zwróconymi wklęsłością do osi obrotu Ziemi.

θ

90°-ϕ

z_a

λ-L

B

ξ

αα

l

---