Sprawozdanie z Laboratorium Teorii Obwodów
Ćwiczenie przeprowadzili:	Nr grupy:	Termin:	Data wykonania:
Ćwiczenie nr 8 WŁASNOŚCI FUNKCJI TRANSMITANCJI			Ocena:

1. CEL ĆWICZENIA :

Celem ćwiczenia jest zbadanie wpływu zmian położenia biegunów funkcji transmitancji układu na jego odpowiedź impulsową oraz na jego charakterystykę częstotliwościową.

W ćwiczeniu należy wyznaczyć odpowiedź impulsową układu realizującego:

• pojedynczy biegun na osi rzeczywistej w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s,

• parę biegunów na osi rzeczywistej w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s,

• parę biegunów zespolonych sprzężonych w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s.

II. POMIARY:

1. Układ pierwszego rzędu.

Biegun funkcji transmitancji:

(1)

Aby otrzymać powyższą funkcję, przyjęto następujące współczynniki:

A₂= 0 B₂= 2/3 = 0,667

A₁= 1 B₁= 1

A₀= 3/4 = 0,75 B₀= 3/8 = 0,375

Charakterystyka impulsowa układu jest odwrotną transformatą Laplace'a funkcji transmitancji H(s):

(2)

Transmitancję rzeczywistego układu można uzyskać, podstawiając do zależności (1):

(3)

f_N=1 kHz

Rzeczywistą, czyli zdenormalizowaną charakterystykę impulsową można otrzymać wykorzystując właściwości transformacji Laplace'a (zmiana skali czasu):

(4)

można zapisać:

(5)

Dla naszego układu:

W celu porównania odpowiedzi układu otrzymanej na oscyloskopie
ze zdenormalizowaną charakterystyką impulsową
należy
pomnożyć przez stałą
, gdzie A - jest amplitudą impulsu pobudzenia [V], a
- szerokością impulsu [s].

Charakterystyka impulsowa opisana jest zależnością

Do sprawozdania została dołączona rzeczywista charakterystyka impulsowa (Oscylogram I ), z której odczytano:

A = 1,56 V - stała amplituda,

- biegun (znormalizowany)

Wyznaczanie wykładnika funkcji ekspotencjalnej:

Z oscylogramu wybrano trzy punkty:

U₁= 0,72 V t₁=1

U₂ = 0,3V t₂=3

U₃ = 0,14V t₂=5

Wniosek:

Wyliczone graficznie z oscylogramu I s₀ i A wartościami są bardzo zbliżone ,lecz różnią się
o pewien rząd wielkości. Prawdopodobnie nastąpił jakiś błąd w obliczeniach, niestety nie ustaliliśmy jaki.

2. Układ drugiego rzędu o dwóch rożnych biegunach.

Bieguny funkcji transmitancji :

Aby otrzymać powyższą funkcję, przyjęto następujące współczynniki:

A₂= 0 B₂= 0,488

A₁= 0 B₁= 1

A₀= 1 B₀= 0,488

Charakterystyka impulsowa układu dla
,
,
przyjmuje postać:

(6)

Po zdenormalizacji:

Po pomnożeniu przez stałą c:

Do sprawozdania została dołączona rzeczywista charakterystyka impulsowa (Oscylogram II ).

3. Układ drugiego rzędu o biegunach podwójnej krotności.

Bieguny funkcji transmitancji :

Aby otrzymać powyższe bieguny funkcji ( wstawiając do wzoru nr 1), przyjęto następujące współczynniki:

A₂= 0 B₂= 0,6

A₁= 0 B₁= 1

A₀= 1 B₀= 0,417

Charakterystyka impulsowa układu dla
przyjmuje postać:

(7)

Charakterystyka impulsowa ma postać:

Po pomnożeniu przez stałą c:

Do sprawozdania została dołączona rzeczywista charakterystyka impulsowa (Oscylogram III )

z której odczytano:

A = 206 mV - stała amplituda,

- biegun (znormalizowany)

Wyznaczanie wykładnika funkcji ekspotencjalnej:

Z oscylogramu wybrano trzy punkty:

U₁= 182 mV t₁=280

U₂ = 108 mV t₂=480

U₃ = 50 mV t₂=680

Wykres 1. Odpowiedź impulsowa dla punktu 2 i 3.

4. Układ drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych

4 a) układ podstawowy

Bieguny funkcji transmitancji:

Aby otrzymać powyższe bieguny funkcji ( wstawiając do wzoru nr 1), przyjęto następujące współczynniki:

A₂= 0 B₂= 0,333

A₁= 0 B₁= 0,4

A₀= 1 B₀= 0,453

Charakterystyka impulsowa układu dla
przyjmuje postać:

(8)

Po zdenormalizacji:

Po pomnożeniu przez stałą c:

Na podstawie powyższych danych sporządzono wykres charakterystyki impulsowej układu drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych:

Wykres 2. Odpowiedź impulsowa dla punktu 4a.

Do sprawozdania została dołączona rzeczywista charakterystyka impulsowa (Oscylogram IV)

4 b) układ ze zmienioną częścią rzeczywistą.

Bieguny funkcji transmitancji:

Aby otrzymać powyższe bieguny funkcji ( wstawiając do wzoru nr 1), przyjęto następujące współczynniki:

A₂= 0 B₂= 0,333

A₁= 0 B₁= 0,1

A₀= 1 B₀= 0,363

Charakterystyka impulsowa układu dla
przyjmuje postać:

(8)

Po zdenormalizacji:

Po pomnożeniu przez stałą c:

Na podstawie powyższych danych sporządzono wykres charakterystyki impulsowej układu drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych.:

Wykres 3. Odpowiedź impulsowa dla punktu 4b.

Do sprawozdania została dołączona rzeczywista charakterystyka impulsowa (Oscylogram V)

4 c) układ ze zmniejszoną częścią urojoną

Bieguny funkcji transmitancji:

Aby otrzymać powyższe bieguny funkcji ( wstawiając do wzoru nr 1), przyjęto następujące współczynniki:

A₂= 0 B₂= 1

A₁= 0 B₁= 0,6

A₀= 1 B₀= 0,34

Charakterystyka impulsowa układu dla
przyjmuje postać:

(8)

Po zdenormalizacji:

Po pomnożeniu przez stałą c:

Na podstawie powyższych danych sporządzono wykres charakterystyki impulsowej układu drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych.:

Wykres 4. Odpowiedź impulsowa dla punktu 4c.

Do sprawozdania została dołączona rzeczywista charakterystyka impulsowa (Oscylogram VI)

4 d) układ ze zwiększoną częścią urojoną

Bieguny funkcji transmitancji:

Aby otrzymać powyższe bieguny funkcji ( wstawiając do wzoru nr 1), przyjęto następujące współczynniki:

A₂= 0 B₂= 0,166 (0,172 to była najmniejsza wartość jaką można było uzyskać)

A₁= 0 B₁= 0,1

A₀= 1 B₀= 0,682

Charakterystyka impulsowa układu dla
przyjmuje postać:

(8)

Po zdenormalizacji:

Po pomnożeniu przez stałą c:

Na podstawie powyższych danych sporządzono wykres charakterystyki impulsowej układu drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych.:

Wykres 5. Odpowiedź impulsowa dla punktu 4d.

Do sprawozdania została dołączona rzeczywista charakterystyka impulsowa(OscylogramVII )

5. Amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa.

s) Układ drugiego rzędu o biegunach podwójnej krotności (punkt 3).

Wyniki pomiarów zostały przedstawione w tabeli 5.2:

Lp.	f[Hz]	Uwy [V]		Lp.	f[Hz]	Uwy [V]
1	20	2,05		17	1500	0,515
2	50	2,09		18	1600	0,463
3	100	2,07		19	1700	0,416
4	200	1,99		20	1800	0,375
5	300	1,9		21	1900	0,337
6	400	1,752		22	2000	0,306
7	500	1,601		23	2200	0,254
8	600	1,461		24	2400	0,211
9	700	1,307		25	2600	0,179
10	800	1,153		26	2800	0,127
11	900	1,03		27	3500	0,085
12	1000	0,907		28	4000	0,056
13	1100	0,819		29	5000	0,023
14	1200	0,725
15	1300	0,644
16	1400	0,576

Tabela 1 Pomiary dla układu nr 3

Na podstawie powyższych danych sporządzono wykres charakterystyki amplitudowej układu drugiego rzędu o biegunach podwójnej krotności.:

Wykres 6. Charakterystyka częstotliwościowa modułu transmitancji układu 3.

b) Układ drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych o zmienionej części rzeczywistej

Wyniki pomiarów zostały przedstawione w tabeli 5.1:

Lp.	f[Hz]	Uwy[V]		Lp.	f[Hz]	Uwy[V]
1	20	1,343		17	200	2,85
2	50	1,34		18	2100	2,58
3	100	1,343		19	2200	2,22
4	200	1,35		20	2300	1,94
5	400	1,388		21	2400	1,64
6	600	1,453		22	2500	1,39
7	800	1,555		23	2600	1,22
8	1000	1,7		24	2700	1,03
9	1100	1,802		25	2800	0,91
10	1200	1,923		26	2900	0,81
11	1300	2,05		27	3000	0,71
12	1400	2,25		28	3300	0,51
13	1500	2,43		29	3700	0,33
14	1600	2,64		30	4000	0,25
15	1700	2,84		31	5000	0,09
16	1800	3

Na podstawie powyższych danych sporządzono wykres charakterystyki amplitudowej układu drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych.:

Wykres 7. Charakterystyka częstotliwościowa modułu transmitancji układu 4d.

Wnioski:

W ćwiczeniu badaliśmy wpływ zmian położenia biegunów funkcji transmitancji układu na jego odpowiedź impulsową oraz na jego ch-kę częstotliwościową.

Charakterystyka impulsowa układu jest reakcją układu na pobudzenie deltą Diraca. Badany układ nie mógł być pobudzany deltą Diraca, gdyż nie można wygenerować impulsu, którego czas trwania jest równy zero, dlatego w ćwiczeniu użyliśmy generator impulsów prostokątnych , na którym ustawiliśmy bardzo krótki czas trwania impulsu
(oscylogram Impuls wejściowy)

W punkcie 1 badaliśmy układ pierwszego rzędu. Można zauważyć, że przebieg na oscylogramie I rośnie przez czas trwania impulsu a później maleje eksponencjalnie.
Na przebiegu 2a można zauważyć zniekształcenie wynikające ze skończonej amplitudy
i niezerowego czasu trwania impulsu wejściowego.

W 2 i 3 punkcie badaliśmy układ drugiego rzędu. Jak można zauważyć dla małych czasów (
) charakterystyka rośnie, by następnie maleć eksponencjalnie.

Wyznaczone teoretycznie odpowiedzi impulsowe pokrywają się z oscylogramami wydrukowanymi podczas ćwiczenia.

W punkcie 4 badaliśmy układ drugiego rzędu o biegunach zespolonych sprzężonych. Można zauważyć, że odpowiedź impulsowa ma charakter sinusoidy, o gasnącej amplitudzie. Układem podstawowym był układ badany w punkcie 4a. W punkcie 4b zmniejszyliśmy część rzeczywistą. Z oscylogramów można wywnioskować, że zmiana ma wpływa na amplitudę impulsu wyjściowego - im mniejsza wartość części rzeczywistej tym większa amplituda jak również zwiększa się czas zaniku oscylacji. W punkcie 4d zmniejszyliśmy część urojoną. Zauważyliśmy, że ma to również wpływ na amplitudę i okres drgań impulsu. W obliczonej odpowiedzi impulsowej przy zmniejszeniu części urojonej amplituda rośnie co można również wysnioskowac z wzoru nr 8, lecz w zmierzonych odpowiedziach impulsowych jest odwrotnie. W punkcie 4d zwiększyliśmy część urojoną co spowodowało znacznie zwiększenie częstotliwości drgań impulsu i zmniejszenie się czasu zaniku oscylacji.

W ostatnim punkcie wykreśliliśmy charakterystyki amplitudowe układów z pkt 3 i 4d. Dla układu z biegunami zespolonymi sprzężonymi (pkt 4d) dobroć układu Q>0,5 występuje charakterystyczne podbicie(wzmocnienie) dla częstotliwości około 2 kHz, ponieważ dla dużych Q maksymalna wartość podbicia występuje prawie przy pulsacji bieguna, która wynosi
(
). Wyskoki charakterystyki amplitudowej są tym większe, im większa jest dobroć filtru. Natomiast układ z punktu 3 ma podwójny biegun rzeczywisty i jego dobroć Q<0,5 i nie występuje w nim podbicie. Niestety nie zapisaliśmy wartości napięcia wejściowego lecz z charakterystyk można wywnioskować że wynosiło około 1V, ponieważ
w przedziale 10-300Hz występuje niewielkie lecz stałe wzmocnienie napięciowe >1 (dla filtru idealnego powinno wynosić 1 do fg). Obydwa układy mogą być zastosowane jako proste filtry dolnoprzepustowe, gdyż po przekroczeniu 3dB-owej częstotliwości granicznej powodują tłumienie i opóźnienie fazy przy f_syg większych od fg.

13

---