Laboratorium Teorii Obwodów
Termin:
Ćwiczenie nr 8 Właściwości funkcji transmitancji

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zbadanie wpływu zmian położenia biegunów funkcji transmitancji układu na jego odpowiedź impulsową oraz na jego charakterystykę częstotliwościową.

W ćwiczeniu należy wyznaczyć odpowiedź impulsową układu realizującego:

• pojedynczy biegun na osi rzeczywistej w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s,

• parę biegunów na osi rzeczywistej w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s,

• parę biegunów zespolonych sprzężonych w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s.

Schemat układu pomiarowego:

Rys 1. Schemat układu pomiarowego.

Układ ten można opisać następującym równaniem:

1. Badanie odpowiedzi układu I rzędu

1. Układ pierwszego rzędu, pojedynczy biegun rzeczywisty: s₀=-0,4

Do badania odpowiedzi układu pierwszego rzędu przyjęto parametry:

A₂= 0,0 B₂= 1,0

A₁= 1,0 B₁= 0,9

A₀= 0,5 B₀= 0,2

Unormowana funkcja transmitancji ma postać:

.

Transmitancja H(s) jest wielkością znormalizowaną. Częstotliwość normalizująca wynosi:

f_N = 1 [kHz],

zatem stosując podstawienie:

,gdzie p- zdenormalizowany biegun transmitancji.

Rzeczywista funkcja transmitancji przyjmuje postać:

Rzeczywistą charakterystykę impulsową można uzyskać wykonując odwrotną transformację Laplace’a :

Odpowiedź impulsowa została porównana z przybliżoną odpowiedzią impulsową oscylogramu na wydruku „WYDRUK 1”.

Charakterystyka rzeczywista dla s=-0,4 utworzona programem Matlab.

2. Badanie odpowiedzi układu II rzędu

1. Podwójny znormalizowany biegun rzeczywisty s₁=s₂=s₀=-0,5

Do badania odpowiedzi układu drugiego rzędu przyjęto parametry:

A₂=0 B₂=1

A₁=0 B₁=1

A₀=0,5 B₀=0,25

Funkcja transmitancji ma postać:

Denormalizując funkcję transmitancji otrzymamy:

Rzeczywistą, czyli zdenormalizowana charakterystykę

impulsową można otrzymać wykonując odwrotną transformację Laplace’a:

Odpowiedź impulsowa została porównana z przybliżoną odpowiedzią impulsową oscylogramu na wydruku „WYDRUK 2”.

Charakterystyka rzeczywista dla s₁=s₂=s₀=-0,5 utworzona programem Matlab.

1. Dwa różne znormalizowane bieguny rzeczywiste

Do badania odpowiedzi układu drugiego rzędu przyjęto parametry:

A₂=0 B₂=0,4

A₁=0 B₁=0,8

A₀=0,5 B₀=0,3

Dla takich parametrów funkcja transmitancji przyjmuje postać:

Denormalizując funkcję transmitancji otrzymamy:

.

Rzeczywistą, czyli zdenormalizowaną charakterystykę

impulsową można otrzymać wykonując odwrotną transformację Laplace’a h_r(t)=L^-1{H_r(s)}

Odpowiedź impulsowa została porównana z przybliżoną odpowiedzią impulsową oscylogramu na wydruku „WYDRUK 3”.

Charakterystyka rzeczywista dla s₁=-0,5; s₂=-1,5 utworzona programem Matlab.

1. Dwa zespolone sprzężone bieguny transmitancji

Do badania odpowiedzi układu drugiego rzędu przyjęto parametry:

A₂=0 B₂=0,9

A₁=0 B₁=0,1

A₀=0,5 B₀=0,7

Dla takich parametrów funkcja transmitancji przyjmuje postać:

Znormalizowane pierwiastki funkcji transmitancji wynoszą:

,

Denormalizując funkcję transmitancji otrzymamy:

Zatem h_r(t)=L^-1{H_r(s)}będzie równe:

Odpowiedź impulsowa została porównana z przybliżoną odpowiedzią impulsową oscylogramu na wydruku „WYDRUK 4”.

Charakterystyka rzeczywista dla s₁=-0,0556+j0,88; s₂=-0,0556-j0,88 utworzona programem Matlab.

1. Pierwiastki zespolone sprzężone – zmiana części rzeczywistej

A₂=0 B₂=0,9

A₁=0 B₁=0,4

A₀=0,5 B₀=0,74

Dla takich parametrów funkcja transmitancji przyjmuje postać:

.

Znormalizowane pierwiastki funkcji transmitancji wynoszą:

; .

Normalizując funkcję transmitancji otrzymamy:

.

Funkcja transmitancji ma postać:

.

.

Odpowiedź impulsowa została porównana z przybliżoną odpowiedzią impulsową oscylogramu na wydruku „WYDRUK 5”.

Charakterystyka rzeczywista dla s₁=-0,222+j0,88; s₂=-0,222-j0,88 utworzona programem Matlab.

e) Pierwiastki zespolone sprzężone – zmiana części urojonej

Do badania odpowiedzi układu drugiego rzędu z pierwiastkami sprzężonymi przyjęto parametry:

A₂=0 B₂=0,9

A₁=0 B₁=0,1

A₀=0,5 B₀=0,5

Dla takich parametrów funkcja transmitancji przyjmuje postać:

.

Znormalizowane pierwiastki funkcji transmitancji wynoszą:

; .

Denormalizując funkcję transmitancji otrzymamy:

.

Odpowiedź impulsowa układu:

.

Odpowiedź impulsowa została porównana z przybliżoną odpowiedzią impulsową oscylogramu na wydruku „WYDRUK 6”.

Charakterystyka rzeczywista dla s₁=-0,0556+j0,7433; s₂=-0,0556-j0,7433 utworzona programem Matlab.

4. Charakterystyki amplitudowe:

a) Charakterystyka amplitudowa układu pierwszego rzędu (2a):

Dla parametrów z punktu 2a, teoretyczna charakterystyka amplitudowa ma postać :

.

Wyniki pomiarów dla danych z pkt. 2a:

f [Hz]	U [V]
200	1,82
300	1,61
400	1,38
500	1,17
600	0,96
650	0,89
700	0,8
750	0,74
800	0,68
850	0,62
900	0,57
950	0,52
1000	0,46
1100	0,4
1200	0,35
1300	0,31
1400	0,28
1500	0,24
1600	0,21
1700	0,18
1800	0,17

Wyniki pomiarów dla danych z pkt. 5:

f [Hz]	U [V]
200	1,015
300	1,105
400	1,27
500	1,57
600	2,13
650	2,62
700	3,29
750	3,75
800	3,54
850	2,74
900	2
950	1,65
1000	1,21
1100	0,84
1200	0,62
1300	0,47
1400	0,38
1500	0,3
1600	0,25
1700	0,22
1800	0,18

5. Wnioski:

Dla pojedynczego bieguna rzeczywistego odpowiedzią układu na pobudzenie impulsowe jest funkcja ekspotencjalnie malejąca. Szybkość tłumienia funkcji ekspotencjalnej zależy od położenia biegunów. Im biegun jest bardziej oddalony od osi OY w lewą stronę, tym sygnał jest bardziej tłumiony, czyli występuje większa szybkość opadania odpowiedzi.

Wyznaczając odpowiedź układu drugiego rzędu o podwójnym biegunie s0 = -0,5 możemy powiedzieć, iż jej charakter - początkowo narastający, a następnie powyżej opadający do zera - jest typową odpowiedzią dla układów o rzeczywistych biegunach podwójnych. W zależności od położenie tego bieguna w lewej półpłaszczyźnie odpowiedź może zmieniać swoje parametry, lecz nie zmieni się jej charakter.

Obserwacja odpowiedzi impulsowej dla układu drugiego rzędu o biegunach zespolonych pozwala nam stwierdzić, iż w przypadku biegunów położonych w lewej półpłaszczyźnie układu współrzędnych odpowiedzi mają charakter oscylacyjny gasnący. Możemy stwierdzić, że im większa wartość współczynnika - część rzeczywista bieguna - tym odpowiedź szybciej osiąga wartość zero. Z kolei im większa wartość - część urojona bieguna - tym mniejszy okres oscylacji.