Geometryczna niezmienność układu

Rozważania ograniczymy do układów płaskich, które najczęściej będą występowały
w zagadnieniach wytrzymałości materiałów.

Aby unieruchomić płaską tarczę należy połączyć ją z podłożem trzema prętami, nie przecinającymi się w jednym punkcie i nierównoległymi. Jeśli do takiego układu dołączymy następną tarczę połączoną również trzema prętami (tylko z poprzednią tarczą albo z tarczą i podłożem) nie przecinającymi się w jednym punkcie i nierównoległymi, to układ tarcz będzie geometrycznie niezmienny. W ten sposób układ tarcz możemy rozbudować.

Połączenie tarcz T-2 i T-3 za pomocą dwóch prętów nierównoległych można traktować jako przegub, natomiast połączenie tarcz T-1 i T-2 trzema prętami nierównoległymi i nie przecinającymi się w jednym punkcie jest połączeniem sztywnym.

Biorąc powyższe pod uwagę, można wyprowadzić prosty wzór określający geometryczną niezmienność układu konstrukcyjnego. Do unieruchomienia jednej tarczy potrzeba trzech prętów łączących ją z podłożem lub z podłożem i z inną tarczą. Zatem w układzie geometrycznie niezmiennym liczba prętów musi być równa trzykrotnej liczbie tarcz.
Jeżeli przez t oznaczymy liczbę tarcz, a przez p liczbę prętów to możemy napisać:

    

Spełnienie powyższego równania jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym geometrycznej niezmienności układu. Wystarczy bowiem w układzie na rysunku powyżej usunąć pręt łączący tarczę T-3 z podłożem i przyłożyć go do tarczy T-2. Liczba prętów i tarcz w układzie nie ulegnie zmianie, tak więc równanie powyższe będzie spełnione, chociaż układ będzie geometrycznie zmienny (chwiejny). Tarcza T-3 ma bowiem możliwość obrotu w przegubie.

Budując prętowe układy konstrukcyjne, postępować będziemy według powyższych zasad, traktując każdy pręt jak tarczę. Pamiętamy również o tym, że trzy pręty nierównoległe i nie przecinające się w jednym punkcie, podpierające belkę na jej końcu to utwierdzenie, podparcie belki dwoma przecinającymi się prętami to podpora przegubowa, a podparcie jednym prętem - podpora przegubowo przesuwna.

Przykład: Sprawdzić geometryczną niezmienność podanego układu prętowego.

Każdą część układu oddzieloną przegubami traktujemy jako tarczę. Liczba tarcz wynosi więc t = 11.Liczba prętów, którymi możemy zastąpić podpory wynosi 2 + 3 = 5. Każdy przegub w którym schodzą się dwie tarcze zastępujemy dwoma prętami, jeżeli w przegubie schodzi się więcej tarcz do dla każdej tarczy powyżej dwóch dodajemy dwa pręty. Tak więc w naszym układzie liczba prętów, którymi zastępujemy przeguby jest następująca:
2 + 4 + 6 + 4 + 2 + 6 + 4 = 28. Mamy więc: liczba prętów 5 + 28 = 33 co jest równe liczbie tarcz pomnożonej przez trzy.

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności jest więc spełniony.

Trzy pręty nie przecinające się w jednym punkcie i nierównoległe tworzą układ geometrycznie niezmienny. Jeżeli taki układ rozbudujemy, dołączając po dwa pręty, tak aby układ trójkątów był zachowany, to układ taki dalej będzie geometrycznie niezmienny. W ten sposób konstruuje się kratownice. Układ, będący kratownicą, można zatem traktować jako jedną tarczę. Biorąc to pod uwagę do analizy naszego przykładu można by wziąć trzy tarcze, jak na rysunku poniżej.

Przy takim podziale również spełniony jest warunek geometrycznej niezmienności:

2

---