MECHANIKA TEORETYCZNA

Temat nr 4

Analiza geometrycznej niezmienności płaskich

układów tarcz sztywnych

Magdalena Łasecka-Plura

Tarcza sztywna – podstawowe pojęcie stosowane w analizie
geometrycznej.

1. Nieskończenie cienki plaster wycięty z bryły sztywnej

2. Odległość dwóch punktów tarczy nie zmienia się
niezależnie od działających na to ciało obciążeń.

A

B

L

3. Tarcza sztywna i obciążenia na nią działające leżą w jednej
płaszczyźnie.

4. Przy większej liczbie tarcz sztywnych układ taki nazywany
jest płaskim układem tarcz sztywnych.

A

B

L

P

2

P

3

P

4

P

1

Stopień swobody – niezależny parametr, za pomocą którego
opisywane jest położenie ciała na płaszczyźnie.

Ich liczba określa liczbę stopni swobody tarczy sztywnej.
Położenie tarczy sztywnej określa położenie dowolnego
odcinka AB:

- dwie współrzędne punktu A (x

a

i y

a

),

- kąt

a

, który jest kątem nachylenia odcinka AB.

A

B

a

x

A

y

A

Y

X

Tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie 3 stopnie swobody –

może wykonywać trzy rodzaje ruchu:

- ruch po kierunku osi X,

- ruch po kierunku osi Y,

- obrót na płaszczyźnie XY.

Konstrukcja budowlana musi mieć odebrane wszystkie
stopnie swobody, aby nie była mechanizmem i nie zmieniała
położenia pod wpływem obciążenia.

Stopnie swobody odebrane są za pomocą więzów, które
przymocowują tarczę sztywną do nieruchomej tarczy
podporowej.

Tarczę podporową stanowić może podłoże gruntowe lub inna
konstrukcja.

RODZAJE WIĘZÓW

Pręt podporowy

Pręt podporowy odbiera tarczy 1 stopień swobody.

s = 2

p = 1

TP

A

B

B’

Przegub rzeczywisty (przegub)

Pozwala tarczy sztywnej tylko na obrót wokół niego.

Przegub rzeczywisty odbiera tarczy 2 stopnie swobody.

s = 1

p = 2

TP

A

Przegub fikcyjny

Przegub utworzony z dwóch nierównoległych prętów, który
będzie znajdował się w punkcie przecięcia tych prętów.

Przegub fikcyjny odbiera tarczy 2 stopnie swobody.

s = 1

p = 2

TP

1

2

O

Przegub niewłaściwy

Przegub utworzony z dwóch równoległych prętów, który
znajduje się w nieskończoności, na prostej równoległej do
kierunku tych prętów.

Przegub niewłaściwy odbiera tarczy 2 stopnie swobody.

TP

1

2



Przegub wielokrotny

Przegub łączący więcej niż dwie tarcze sztywne.

Jeżeli przegub wielokrotny łączy t tarcz sztywnych to

odpowiada on 2(t-1) prętom podporowym.

A

I

II

III

Klasyfikacja układów tarcz sztywnych pod względem

kinematycznym

1. Geometrycznie zmienny

(układ nie jest pozbawiony wszystkich stopni swobody)

TP

1

2

O

2. Geometrycznie niezmienny

(układ jest pozbawiony wszystkich stopni swobody)

TP

3. Geometrycznie niezmienny przesztywniony

TP

WARUNKI GEOMETRYCZNEJ NIEZMIENNOŚCI

Warunek konieczny

3t = p

t – liczba tarcz

p – liczba więzów

3t > p – układ geometrycznie zmienny

3t = p – układ geometrycznie niezmienny (statycznie
wyznaczalny)

3t < p – układ geometrycznie niezmienny (statycznie
niewyznaczalny)

Warunek dostateczny pojedynczej tarczy

Warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
pojedynczej tarczy sztywnej połączonej z tarczą podporową
lub inną tarczą sztywną trzema więzami jest spełniony, jeżeli
ich kierunki nie przecinają się w jednym punkcie.

TP

Warunek dostateczny
nie jest spełniony

TP

1

TP

2

TP

3

1

2

3

TP

O



Warunek dostateczny
nie jest spełniony

Warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
pojedynczej tarczy sztywnej połączonej z tarczą podporową
lub inną tarczą sztywną jednym prętem podporowym i
przegubem jest spełniony, jeżeli przegub nie leży na kierunku
pręta.

TP

TP

A

B

Warunek dostateczny
nie jest spełniony

Układ trójprzegubowy

Układ trójprzegubowy to układ dwóch tarcz połączonych ze
sobą dowolnym przegubem, z których każda jest połączona z
tarczą podporową dowolnym przegubem.

TP

I

II

II

C



TP

B

I

A

Warunek dostateczny układu trójprzegubowego

Warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
układu trójprzegubowego jest spełniony, jeżeli trzy
przeguby nie leżą na jednej prostej.

TP

TP

A

B

C

TP

II

C



A

B

I

1

2

Warunek dostateczny
nie jest spełniony

Zadanie: Sprawdzić geometryczną niezmienność układu tarcz

Sposób postępowania:

1. Sprawdzić czy występuje w układzie tarcza zastępcza (dwie

tarcze połączone trzema prętami).

2. Sprawdzić czy występuje układ trójprzegubowy.

3. Sprawdzić czy występuje tarcza podparta trzema prętami

lub przegubem i prętem.

Przykład 1:

warunek dostateczny:

układ trójprzegubowy



TP

TP

(1,2)

3

4

(5,6)

A

B

C

I

II

warunek konieczny:

t = 2

p = 6

3t = p

Przykład 2:

TP

TP

1

2

3

4

5

6

I

II

warunek dostateczny:

1. tarcza zastępcza

2. tarcza podparta trzema

prętami

warunek konieczny:

t = 2

p = 6

3t = p

I+II

TP

TP

1

2

6

Przykład 3:

1

2

3

(4,5)

6

I

II

TP

TP

A

warunek dostateczny:

1. tarcza zastępcza

2. tarcza podparta trzema

prętami

warunek konieczny:

t = 2

p = 6

3t = p

I+II

1

2

6

TP

TP



(2,3)

1

8

(4,5)

A

B

C

TP

TP

TP

(6,7)

9

I

II

III

D

Przykład 4:

warunek dostateczny:

1. tarcza podparta trzema

prętami

2. układ trójprzegubowy

warunek konieczny:

t = 3

p = 9

3t = p

Przykład 5:



B

(8,9)

1

2

A

C

I

II

III

TP

TP

TP

3

4

5

6

7

warunek dostateczny:

1. tarcza zastępcza (I+II)

2. układ trójprzegubowy

(A,B,C)

warunek konieczny:

t = 3

p = 9

3t = p

Przykład 6:

I

II

III

IV

V

VI

(1,2)

3

4

5

6

11

10

9

(7,8)

12

13

14

15

16

17

18

B

A

C

D

TP

warunek konieczny:

t = 6

p = 18

3t = p

Więzy w płaskich układach prętowych

Rodzaje podpór:

1. podpora przegubowo-przesuwna

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1

2. Podpora przegubowo-nieprzesuwna

3. podpora teleskopowa

R

2

R

1

R

2

R

1

R

1

R

2

4. podpora ślizgowa

5. utwierdzenie

R

1

R

2

R

1

R

2

R

1

R

3

R

2