TEMAT 7:

TRANSFORMACJA UKŁADU

ODNIESIENIA

http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html
http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=CAD_w_grafice_in%C5%BCynierskiej

W rzutach Monge’a stosuje się 3 rodzaje transformacji:



transformację położenia, tzn. zmianę pierwotnego
położenia figur w przyjętym układzie odniesienia x(

1

,

2

), np.

poprzez obrót figury lub kład figury.



transformację odwzorowania, tzn. zmianę sposobu
pierwotnego odwzorowania figur w przyjętym układzie
odniesienia x(

1

,

2

) poprzez wprowadzenie nowego kierunku

rzutowania (zwykle określonego prostą czołową lub poziomą)



transformację układu odniesienia, tzn. zmianę
pierwotnego układu odniesienia x(

1

,

2

) na nowy układ

odniesienia x

1

(

1

,

3

) lub x

1

(

2

,

3

)

RODZAJE TRANSFORMACJI

Transformacje stosuje się po to aby, np.:



znaleźć wielkość rzeczywistą figury (nie jest podana przecież
wprost), np. długość odcinka;



znaleźć kąt rzeczywisty pomiędzy np. dwiema prostymi;



odległość pomiędzy dwoma elementami, np. punktem i
płaszczyzną.

ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI

Dany jest układ odniesienia x(

1

,

2

) i punkt A(A’,A’’).

Wprowadźmy do tego układu dodatkową płaszczyznę poziomo-
rzutującą 

3

(czyli 

3

 

1

) , która przecina rzutnię 

1

wzdłuż prostej

x

1,3

.

Płaszczyznę 

3

nazywamy trzecią rzutnią, a prostą x

1,3

– osią

rzutów nowego układu odniesienia.
Wyznaczmy trzeci rzut prostokątny punktu A na trzecią rzutnię
(wysokość nie zmienia się!).
Rzutnię 

1

przyjmijmy za płaszczyznę rysunku i rzutnię 

3

sprowadźmy

do płaszczyzny rysunku.
Otrzymaliśmy punkt A(A’,A’’’) w nowym płaskim układzie odniesienia
x(

1

,

3

):

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Analogicznie, jeśli wprowadzimy jako trzecią rzutnię płaszczyznę
pionowo-rzutującą, to sytuacja będzie wyglądała następująco:

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

x

1,2

A’

A’’

A’’’

w

g1

g

w

g1

x

1,3

x

3,4

A

IV

w1

x

1,2

A’

A’’

A’’’

w

w1

g

g

w1

x

2,3

x

3,4

A

IV

g1

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 1
Rzeczywista wielkość figury płaskiej leżącej na płaszczyźnie rzutującej

(poziomo).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 1
Rzeczywista wielkość figury płaskiej leżącej na płaszczyźnie rzutującej

(poziomo).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 1
Rzeczywista wielkość figury płaskiej leżącej na płaszczyźnie rzutującej

(poziomo).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 2
Odległość punktu od płaszczyzny danej śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 2
Odległość punktu od płaszczyzny danej śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 2
Odległość punktu od płaszczyzny danej śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 3
Odległość punktu od płaszczyzny danej trójkątem ABC (trzema

punktami).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 3
Odległość punktu od płaszczyzny danej trójkątem ABC (trzema

punktami).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 3
Odległość punktu od płaszczyzny danej trójkątem ABC (trzema

punktami).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 4
Długość odcinka w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 4
Długość odcinka w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 4
Długość odcinka w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 5
Odległość między płaszczyznami równoległymi danymi śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 5
Odległość między płaszczyznami równoległymi danymi śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 5
Odległość między płaszczyznami równoległymi danymi śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Przykład

Przykład 10
Dane są rzuty dwóch prostych równoległych a i b.

Wyznaczyć odległość między prostymi oraz rzuty A(A’,A’’) dowolnego
punktu równoodalonego od obydwu prostych.

x

1,2

m’’

m’

n’’

n’

RZUTNIA BOCZNA

jako szczególny przypadek transformacji

Dwa rzuty jednoznacznie określają położenie figury w
przestrzeni, jeśli oznaczone są rzuty poszczególnych punktów
tej figury.
Na rysunkach technicznych nie oznacza się rzutów
poszczególnych punktów i wówczas może być problem z
jednoznacznym odtworzeniem figury.
Wówczas należy podać trzeci rzut na tzw. rzutnię boczną.

x

m’=m’’

?

x

m’=m’’

z

y

y

m’’’

RZUTNIA BOCZNA

jako szczególny przypadek transformacji

Rzutnia boczna, jest szczególnym przypadkiem transformacji układu
odniesienia, w którym nowowprowadzona rzutnia 

3

jest pionowo-

rzutująca i 

1

.

Często rzutnię boczną wprowadza się też aby uprościć sposób
rozwiązania zadania.

x

1,2

A’

A’’

x

2,3

A’’’

w

g

g

DZIĘKUJĘ...