Transformacja układu odniesienia

Jest konstrukcją, która może zastąpic wszystkie podstawowe konstrukcje. Polega ona na tym, że prostą lub płaszczyznę doprowadzamy do położenia szczególnego względem rzutni(prostopadłego lub równoległego) przez obrót układu odniesienia wokół osi y lub z. Punkty zbioru znajdują się wówczas w nowym układzie odniesienia, w którym jedna ze współrzędnych y lub z pozostaje zachowana, a druga zostaje zmieniona. Wartośc współrzędnej x nie ma w tej konstrukcji znaczenia.

Technika wykonywania transformacji układu odniesienia przedstawiona jest na poniższym rysunku:

Dla przejrzystości rysunku osie x₁, x₂,x₃,… nowych układów odniesienia odsuwamy od układów poprzednich. Wprowadzając nowy układ odniesienia zostawiamy jeden z rzutów pierwotnego układu i tworzymy nowy rzut, w którym zostaje zachowana ta współrzędna y lub z z poprzedniego układu, która nie występuje w pozostawionym rzucie. Punkty przecięc kolejnych par osi y_i i z_i z osiami x_i nie są początkami układu odniesienia. Symbolicznie zaznaczanie tych osi na rysunku służy jedynie do wskazania ich dodatnich zwrotów.

Konstrukcję transformacji układu odniesienia dokonuje się, aby doprowadzic:

- prostą do położenia równoległego do rzutni;

- prostą do położenia prostopadłego do rzutni;

- płaszczyznę do położenia prostopadłego do rzutni;

- płaszczyznę do położenia równoległego do rzutni.

Doprowadzenie prostej do położenia równoległego do rzutni

Prosta równoległa do rzutni(pozioma lub czołowa) ma jeden z rzutów równoległy do osi x. Aby prostą z położenia ogólnego doprowadzic do położenia równoległego do rzutni należy układ odniesienia zmienic jeden raz w taki sposób, aby oś x₁ nowego układu była równoległa do rzutu pierwszego lub drugiego danej prostej.( x₁ II a' lub x₁ II a'')

Doprowadzenie prostej do położenia prostopadłego do rzutni

Jednym z rzutów prostopadłej do rzutni (prostej rzutującej) jest punkt.

Aby prostą z położenia ogólnego doprowadzic do położenia prostopadłego do rzutni należy układ odniesienia zmienic dwukrotnie:

1.doprowadzając prostą do położenia równoległego do rzutni (x₁IIa' lub x₁IIa'')

2.wprowadzając oś x₂ nowego układu prostopadle do trzeciego rzutu danej prostej (x₂pros a''').

Doprowadzanie płaszczyzny do położenia prostopadłego do rzutni

Wychodzimy z warunku prostopadłości dwóch płaszczyzn. Zgodnie z nim dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, jeżeli na jednej z nich istnieje prosta prostopadła do drugiej płaszczyzny. Dana płaszczyzna alfa będzie prostopadła do rzutni pi, jeżeli dowolną prostą płaszczyzny alfa doprowadzimy do położenia prostopadłego do rzutni pi. Można to zrealizowac za pomocą dwukrotnej zmiany układu odniesienia. Jeżeli jednak na płaszczyźnie alfa obierzemy prostą równoległą do rzutni(poziomą lub czołową), wystarczy zmienic układ odniesienia jeden raz.

Aby płaszczynę dowolną doprowadzic do położenia prostopadłego do rzutni należy układ odniesienia zmienic jeden raz tak, aby prosta pozioma lub czołowa tej płaszczyzny była prostopadła do rzutni( x1 pros p' lub x1 pros c'').

Doprowadzenie płaszczyzny do położenia równoległego do rzutni

Płaszczyznę można doprowadzic do położenia równoległego do rzutni tylko z położenia prostopadłego do niej.

Aby płaszczyznę dowolną doprowadzic do położenia równoległego do rzutni należy układ odniesienia zmienic dwukrotnie:

1.doprowadzając płaszczyznę do położenia prostopadłego do rzutni(x1 pros p' lub x1 pros c'').

2.wprowadzając oś x2 nowego układu równolegle do trzeciego rzutu tej płaszczyzny.

AKSONOMETRIA

Rzut aksonometryczny

Rzut cechowany i rzuty Monge'a często sprawiają trudnośc w wyobrażaniu sobie rzutowanego przedmiotu. Istnieje więc potrzeba znalezienia takiego rzutu, który byłby obrazowy, a jednocześnie mieścił się w teorii rzutów. Warunek ten spełnia rzut aksonometryczny.

Rzutem aksonometrycznym nazywamy rzut równoległy(prostokątny lub ukośny) punktu lub zbioru punktów oraz związanego z tym punktem lub zbiorem punktów kartezjańskiego układu odniesienia ustawionego tak, aby żadna z osi układu nie była prostą rzutującą, ani żadna para osi nie leżała w płaszczyźnie rzutującej. Otrzymujemy wówczas interpretację geometryczną wszystkich trzech współrzędnych punktu w jednym rzucie.

Osie układu współrzędnych rzutują się jako trzy proste, przecinające się w jednym punkcie.

Aksonometrię dzielimy na:

- aksonometrię prostokątną,

- aksonometrię wojskową.

Aksonometria prostokątna

W aksonometrii prostokątnej prosta rzutująca jest prostopadła do rzutni.

Skrócenia aksonometryczne

Skróceniem aksonometrycznym dla danej osi układu współrzędnych nazywamy stosunek długości rzutu odcinka leżącego na tej osi (lub równoległego do niej) do długości tego odcinka.

s_x=

s_y=

s_z=

gdzie s_x, s_y, s_z - skrócenia aksonometryczne dla osi: x, y, z.

W aksonometrii prostokątnej istnieje równanie charakterystyczne, które ma postac:

lub

W zależności od kątów nachylenia osi układu kartezjańskiego do rzutni, czyli od skróceń, rozróżniamy trzy rodzaje aksonometrii prostokątnej:

- anizometrię, gdy wszystkie kąty są różne,

- dimetrię, gdy dwa kąty są jednakowe, a trzeci kąt jest inny,

- izometrię, gdy wszystkie kąty są jednakowe.

Aksonometria izometryczna

W tej aksonometrii rzuty x', y', z' osi układu współrzędnych przecinają się pod tymi samymi kątami wynoszącymi 120 stoprni.

Skrócenia dla każdej osi są jednakowe: s_x = s_y = s_z = s, a równanie charakterystyczne przybiera postac:

Oznacza to, że np. odcinek o długości 50 mm, równoległy do dowolnej osi układu kartezjańskiego, ma w rzucie izometrycznym długośc 41 mm. Na podstawie tych danych można zbudowac kąt proporcjonalności, wykorzystywany do wyznaczania skróceń s sposób graficzny. Często jednak przyjmuje się skrócenie s = 1, co znacznie upraszcza proces kreślenia obiektów przestrzennych w aksonometrii.

Aksonometria ukośna

Idea aksonometrii ukośnej polega na tym, że prosta rzutująca jest nachylona do rzutni pod kątem różnym od 90 stopni., ale związany z punktem lub zbiorem punktów kartezjański układ odniesienia ustawiony jest podobnie jak w rzucie cechowanym i w rzutach Monge'a tzn. dwie osie układu są równoległe do rzutni. Dzięki temu zachowane są związki miarowe w zbiorach leżących w płaszczyznach równoległych do płaszczyzny tych dwóch osi.(niezmiennik V).

Dwa najczęściej stosowane rodzaje aksonometrii ukośnej to:

- aksonometria kawalerska,

- aksonometria wojskowa.

Aksonometria kawalerska

W aksonometrii kawalerskiej równoległą do rzutni jest płaszczyzna osi xz lub osi yz.

Aksonometria wojskowa

W aksonometrii wojskowej równoległą do rzutni jest płaszczyzna osi xy. Osie te rzutują się do siebie prostopadle, a jedna z nich tworzy z pomocniczą prostą poziomą dowolny kąt alfa, wynoszący najczęściej 30, 45 lub 60 stopni. Zazwyczaj zakłada się, że skrócenia dla wszystkich osi są jednakowe i wynoszą 1/1. Ten rodzaj aksonometrii jest bardzo często stosowany w rysunku architektonicznym, gdyż pozwala na tworzenie aksonometrii projektowanego budynku na planie.

---