1. Macierzą, o wymiarach (m•n), nazywamy funkcję, która uporządkowanej parze wskaźników (i,j) (gdzie i=1,2,…,n ; j=1,2,…,m) przyporządkowuje liczbę a_ij.

2. Macierz diagonalna (przekątniowa) - poza przekątną są zera.

3. Macierz trójkątna:

• górna - dla wszystkich i > j zachodzi a_ij=0

• dolna - dla wszystkich i < j zachodzi a_ij=0

4. Wyznacznik macierzy:

Funkcję, która każdej macierzy kwadratowej A_(n•_n) przyporządkowywuje liczbę, obliczoną następująco:

gdzie Np. - oznacza liczbę inwersji w permutacji ciągu wskaźników (i₁, i₂,…,i_n) liczb naturalnych (1, 2,…, n) nazywamy wyznacznikiem macierzy A_(n*n) i oznaczamy det A.

5. Twierdzenie Laplace'a:

Wyznacznik macierzy A_(n•_n) równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny), odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego.

6. Rzędem macierzy niezerowej A(r(A)) nazywamy stopień maksymalnego podwyznacznika macierzy A, otrzymanego przez ewentualne skreślenie pewnej liczby wierszy lub kolumn w macierzy A, kiedy jest różny od zera.

7. 
   Operacją elementarną na układzie równań nazywamy każde przekształcenie układu w układ równoważny.

8. Macierz ortogononalna to macierz kwadratowa n-tego stopnia, taka, że A^-1=A^T

Iloczyn macierzy ortogonalnych i macierzy odwrotnych do ortogonalnych są macierzami ortogonalnymi.

Macierz ortogonalna tego samego stopnia z mnożeniem tworzą grupę <M, •>

-
(A•B) •C = A• (B•C)

-

A•A^-1=I

-
A•I=I•A=A

9. Macierzą idempotentną nazywamy macierz kwadratową, taką, że: A²=A

10. Macierz sprzężona - odwracamy znaki przed wartością i

11. Macierz hermitowska - macierz zespolona postaci:
    

12. Macierz unitarna - macierz zespolona postaci:
    

13. Nierówność macierzowa -
    

np.

14. Modułem macierzy o elementach rzeczywistych nazywamy macierz, której elementami są moduły elementów macierzy wyjściowej.

|A| = [|a_ij|]

|A+B| ≤ |A|+|B|

|A•B| ≤ |A|•|B|

15. Normą macierzy A nazywamy pewną liczbę rzeczywistą ||A||, która jest przyporządkowana macierzy A w taki sposób, że spełnione są następujące aksjomaty:

||A|| ≥ 0 ||A|| = 0 A=[0]

||A•B|| ≤ ||A||•||B||

Normę nazywamy kanoniczną jeśli dodatkowo spełnia warunek: |a_ij| ≤ ||A||

Jeśli dla macierzy A i B zachodzi związek |A| < |B| to ||A|| < ||B||

16. Jeżeli ciąg macierzowy posiada granicę, to nazywamy go zbieżnym.

17. Wyrażenie
    nazywamy szeregiem macierzowym.

18. Bazą przestrzeni liniowej <V,K,+, •> nazywamy maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych takich, że każdy inny wektor tej przestrzeni da się przedstawić w sposób jednoznaczny jako kombinacja tych wektorów.

19. Wymiarem przestrzeni liniowej <V,K,+,• > jest ilość wektorów dowolnej bazy. {dimV => np. dimR²=2}

20. Struktura algebraiczna <L,K,+, •> spełnia aksjomaty addytywnej grupy abelowej oraz aksjomaty przestrzeni liniowej. Niech <V,K,+, •> i <L,K,+, •> to 2 przestrzenie liniowe nad tym ciałem.

• Odwzorowanie φ V→L przestrzeni V na przestrzeń L nazywamy izomorfizmem jeżeli:

- φ - jest różnowartościowe i „na” (biekcja)

- φ(a+b) = φ(a) + φ(b)

φ(αa) = α φ(a)

Zasadnicze tw. o izomorfizmie:

• Każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa L nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią n-elementowych ciągów Kⁿ

21. Formą kwadratową n-zmiennych nazywamy funkcję”

22. Rzędem formy F nazywamy rząd macierzy A, natomiast wyznacznik macierzy A - wyróżnikiem formy F.

23. Formę kwadratową F(x,x) nazywamy dodatnio [ujemnie] określoną jeżeli dla każdego wektora x≠0 zachodzi nierówność: F(x,x)>0 [F(x,x)<0]

24. Formę kwadratową F(x,x) nazywamy nieokreśloną jeżeli przyjmuje wartości dodatnie i ujemne dla wektorów x≠0.

25. Formę F(x,x) nazywamy półokreśloną dodatnio, jeżeli dla x≠0 F(x,x)≥0 półokreśloną ujemnie, gdy F(x,x)≤0, dla x≠0.

26. WKW na to, aby forma kwadratowa F(x,x)=x^T∙A∙x, gdzie A-rzeczywistą macierzą symetryczną, była dodatnio półokreślona, jest to, aby detA=0 i Mi≥0 (i=1,2,…,n-1), czyli

M₁≥0, M₂≥0, M₃≥0, … , Mn∙detAn=0

[ półokreślona ujemnie, gdy M₁≤0, M₂≤0, M₃≤0, … , Mn∙detAn=0 ]

---