Egzamin z algebry I
25 stycznia 2000
Imię i Nazwisko.................................................................................Nr indeksu...........
1. Podać interpretację geometryczną zbioru
.
2. Wyznaczyć w ciele liczb zespolonych wszystkie rozwiązania równania
.
3. Dane jest przekształcenie liniowe , gdzie oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia ≤ k, określone wzorem
a) Wyznaczyć macierz przekształcenia w bazach , .
b) Wyznaczyć macierz przekształcenia w bazach , .
c) Wyznaczyć bazę i dim ker f.
4. Wyznaczyć wartości własne i wektor własny odpowiadający jednej z niezerowych wartości własnych przekształcenia liniowego określonego wzorem
.
5. Wykazać, że jeśli macierze kwadratowe A i B spełniają warunek , gdzie P jest macierzą nieosobliwą, to macierze A i B mają jednakowe wielomiany charakterystyczne.
Egzamin z algebry I
25 stycznia 2000
Imię i Nazwisko.................................................................................Nr indeksu...........
1. Podać interpretację geometryczną zbioru
.
2. Wyznaczyć w ciele liczb zespolonych wszystkie rozwiązania równania
.
3. Dane jest przekształcenie liniowe , gdzie oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia ≤ k, określone wzorem
a) Wyznaczyć macierz przekształcenia w bazach , .
b) Wyznaczyć macierz przekształcenia w bazach , .
c) Wyznaczyć bazę i dim ker f.
4. Wyznaczyć wartości własne i wektor własny odpowiadający jednej z niezerowych wartości własnych przekształcenia liniowego określonego wzorem
.
5. Wykazać, że jeśli macierze kwadratowe A i B spełniają warunek , gdzie P jest macierzą nieosobliwą, to macierze A i B mają jednakowe wielomiany charakterystyczne.
Egzamin z algebry I
16 czerwca 1999
Imię i Nazwisko..........................................................................Nr indeksu..............
1. W zbiorze wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych określamy działanie dwuargumentowe ∗ wzorem
.
Sprawdzić, czy działanie ∗:
a) jest przemienne,
b) jest łączne,
c) ma element neutralny.
2. Podać interpretację geometryczną zbioru .
3.Niech będzie przekształceniem liniowym określonym wzorem:
.
a) Wyznaczyć macierz f w bazie kanonicznej przestrzeni .
b) Wyznaczyć macierz f w bazie uporządkowanej .
4. Wyznaczyć wszystkie wartości własne macierzy . Podać krotności algebraiczne i geometryczne wartości własnych. Wyznaczyć wektor własny odpowiadający jednej z niezerowych wartości własnych.
5. Niech λ ≠ 0 będzie wartością własną przekształcenia liniowego f : V → V. Wykazać, że zbiór jest:
a) podprzesrzenią liniową przestrzeni V,
b) podprzestrzenią niezmienniczą przekształcenia f.
ALGEBRA I
EGZAMIN POPRAWKOWY 18. 09.1997
Imię i Nazwisko................................................................................................
1. Podać geometryczną interpretację zbioru .
2. Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie
2i.
3. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego f:R3→R3
określonego wzorem
.
4. Dane jest przekształcenie liniowe f:W2→W4, gdzie Wk oznacza przestrzeń wielomianów stopnia ≤k, określone wzorem .
a) Wyznaczyć macierz przekształcenia f w bazach kanonicznych: odpowiednio przestrzeni W2 oraz przestrzeni W4.
b)Sprawdzić, czy f jest iniekcją, suriekcją, bijekcją.
5. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Udowodnić, że jeśli dla każdego wektora x∈Rn, x ≠ 0, macierz A spełnia warunek , to każda wartość własna macierz y A jest różna od zera.
EGZAMIN. ALGEBRA I. 16.06.1997 Gr.1
Zadanie 1.
Podać geometryczną interpretację następującego zbioru
.
Zadanie 2.
Przekształcenie ma w bazach jednostkowych macierz
.
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tego przekształcenia.
Podać macierz przekształcenia f w bazie złożonej z wektorów własnych.
Zadanie 3.
Niech oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia mniejszego niż .
Przekształcenie liniowe zdefiniowane jest w następujący sposób: .
Wyznaczyć macierz przekształcenia f w bazach
kanonicznych: odpowiednio przestrzeni oraz przestrzeni ,
przestrzeni oraz przestrzeni .
Sprawdzić czy f jest
suriekcją,
iniekcją.
Zadanie 4.
Rozwiązać poniższe równanie w ciele liczb zespolonych
.
Zadanie 5.
Udowodnić, że jeśli λ jest wartością własną przekształcenia oraz jest dowolnym wielomianem stopnia n, to jest wartością własną przekształcenia .
EGZAMIN. ALGEBRA I. 16.06.1997 Gr.2
Zadanie 1.
Podać geometryczną interpretację następującego zbioru
Zadanie 2.
Przekształcenie ma w bazach jednostkowych macierz
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tego przekształcenia.
Podać macierz przekształcenia f w bazie złożonej z wektorów własnych.
Zadanie 3.
Niech oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia mniejszego niż .
Przekształcenie liniowe zdefiniowane jest w następujący sposób:
.
Wyznaczyć macierz przekształcenia f w bazach
kanonicznych: odpowiednio przestrzeni oraz przestrzeni ,
przestrzeni oraz przestrzeni .
Sprawdzić czy f jest
suriekcją,
iniekcją.
Zadanie 4.
Rozwiązać poniższe równanie w ciele liczb zespolonych
.
Zadanie 5.
Udowodnić, że jeśli λ jest wartością własną przekształcenia oraz jest dowolnym wielomianem stopnia n, to jest wartością własną przekształcenia .
EGZAMIN. ALGEBRA I. 16.06.1997 Gr.1
Imię i Nazwisko................................................................................................
Zadanie 1.
Podać geometryczną interpretację zbioru .
Zadanie 2.
Przekształcenie ma w bazach jednostkowych macierz
.
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tego przekształcenia.
Podać macierz przekształcenia f w bazie złożonej z wektorów własnych.
Zadanie 3.
Niech oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia mniejszego niż .
Przekształcenie liniowe zdefiniowane jest w następujący sposób: .
Wyznaczyć macierz przekształcenia f w bazach
kanonicznych: odpowiednio przestrzeni oraz przestrzeni ,
przestrzeni oraz przestrzeni .
Sprawdzić czy f jest
suriekcją,
iniekcją.
Zadanie 4.
Rozwiązać poniższe równanie w ciele liczb zespolonych
.
Zadanie 5.
Udowodnić, że jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to jest wartością własną macierzy , gdzie .
EGZAMIN. ALGEBRA I. 16.06.1997 Gr.2
Imię i Nazwisko.....................................................................................gr............
Zadanie 1.
Podać geometryczną interpretację zbioru .
Zadanie 2.
Przekształcenie ma w bazach jednostkowych macierz
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tego przekształcenia.
Podać macierz przekształcenia f w bazie złożonej z wektorów własnych.
Zadanie 3.
Niech oznacza zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia mniejszego niż .
Przekształcenie liniowe zdefiniowane jest w następujący sposób:
.
Wyznaczyć macierz przekształcenia f w bazach
kanonicznych: odpowiednio przestrzeni oraz przestrzeni ,
przestrzeni oraz przestrzeni .
Sprawdzić czy f jest
suriekcją,
iniekcją.
Zadanie 4.
Rozwiązać poniższe równanie w ciele liczb zespolonych
.
Zadanie 5.
Udowodnić, że jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to jest wartością własną macierzy , gdzie .
EGZAMIN Z ALGEBRY I
Imię i Nazwisko...........................................................................................
1. Podać ilustrację graficzną zbioru
2. Wyznaczyć w zależności od wartości parametru rząd macierzy
3. Wykazać, że odwzorowanie , gdzie Z oznacza zbiór liczb zespolonych, określone wzorem
jest przekształceniem liniowym. Wyznaczyć bazę i wymiar jądra tego przekształcenia.
4. Przekształcenie liniowe ma w bazach kanonicznych przestrzeni macierz
.
Wyznacz macierz tego przekształcenia w bazach:
5. Udowodnić, że jeśli macierz kwadratowa A jest niesobliwa, to:
a) każda wartość własna macierzy A jest różna od zera;
b) jeśli jest wartością własną macierzy A,
to 1 jest wartością własną macierzy A-1.