96. Pochodna kierunkowa.

f(x,y) funkcja klasy C¹ w pewnym otoczeniu punktu P₀=(x₀,y₀). Niech P₀S półoś o początku w punkcie P₀ i kierunku S, P dowolny punkt P≠P₀. Granicę skończoną
nazywamy pochodną kierunkową funkcji w kierunku półosi P₀Sw punkcie P₀ i oznaczamy f'_s(P₀).
f'_s(P₀)=f'_x(P₀)cosα+ f'_y(P₀)cosβ, gdzie cosα i cosβ to współrzędne wersora

97. Gradient. Twierdzenie o przyrostach.

Niech f(x₁,x₂...x_n) będzie funkcją n zmiennych klasy C¹ i niech będzie określona w pewnym otoczeniu punktu P_o w przestrzeni R. Wektor f 'x₁, f 'x_2, ..., f 'x_n nazywamy gradientem funkcji f w punkcie P_o.

Jeżeli funkcja n zmiennych f(P) jest klasy C¹ w pewnym otoczeniu O punktu

P_o=( x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾...x_n⁽⁰⁾) oraz punktu P=(x₁⁽⁰⁾+h₁,x₂⁽⁰⁾+h₂...x_n⁽⁰⁾+h_n)O to  taka liczba θ∈ [0,1], że przyrost tzn f(P)-f(P_o) będzie równy <grad f(P),P_oP>, gdzie P wektor

P=( x₁⁽⁰⁾+ θh₁,x₂⁽⁰⁾+ θh₂...x_n⁽⁰⁾+ θh_n).

98. Twierdzenie Taylora dla funkcji n zmiennych.

Jeżeli funkcja f(P) klasy C² w pewnym otoczeniu O punktu P_o=( x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾...x_n⁽⁰⁾) oraz punktu P=( x₁⁽⁰⁾+h₁,x₂⁽⁰⁾+h₂...x_n⁽⁰⁾+h_n)O to  taka liczba θ∈ [0,1], że f(P)-f(P_o)=df(P_o)+
d²f(P), gdzie P wektor P=( x₁⁽⁰⁾+ θh₁,x₂⁽⁰⁾+ θh₂...x_n⁽⁰⁾+ θh_n).


99. Ekstremum funkcji n zmiennych:

Niech f(P) funkcją n zmiennych określona w pewnym otoczeniu O punktu P_o ∈Rⁿ. Mówimy że funkcja f(P) na w punkcie P_o maksimum( minimum )lokalne jeśli  takie sąsiedztwo S punktu P_o, że P∈S jest spełniona odpowiednia nierówność f(P)≤f(P_o) ( f(P)≥f(P_o) ).Max i Min nazywamy ekstremami funkcji. Jeżeli zamiast nierówności słabych stoją nierówności mocne f(P)<f(P_o) ( f(P)>f(P_o)) to ekstremum nazywamy właściwym. Ekstremum lokalne w punkcie P_o jest pojęciem odnoszącym się do dostatecznie małego otoczenia punktu P_o .Nie należy mylić go z ekstremum absolutnym.

100. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji 2 zmiennych.

Jeżeli funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe I rzędu w punkcie P_o o współrzędnych (x_o,y_o) i ma w tym punkcie ekstremum to pochodne cząstkowe f_x'(P_o)=f'_y(P_o)=0.

101. Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji 2 zmiennych.

Jeżeli funkcja F(x,y) jest klasy C² w pewnym otoczeniu punktu P_o=(x_o,y_o) a ponad to :

1) f_x'(P_o)=f'_y(P_o)=0
2)W(P_o)=f ^''_x2(P_o) - f ^''_y2(P_o)-[f ^'_xy(P_o)]²>0 to funkcja f ma w punkcie P_o max właściwe gdy f ^''_x2(P_o) <0, min gdy f ^''_x2(P_o)>0.

102. Definicja całki oznaczonej funkcji 1 zmiennej.

Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a,b] całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na tym przedziale [a,b] definiowana jest wzorem:

O ile granica(1) nie zależy od sposobów wyboru przedziału P ani od sposobu wyboru punktu x^*_k. Ponadto przyjmujemy, że
oraz przyjmujemy, że

103. Interpretacj całki oznaczonej.

1)pole trapezu krzywoliniowego.
Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony z góry wykresem ciągłej i nieujemnej funkcji f prostymi x=a, x=b oraz osią X. Pole |D| trapezu jest granica sumy pól prostokątów aproksymujących ten trapez, gdy średnica przedziału P dąży do 0.

2)objętość bryły obrotowej

Niech V bryła ograniczona powierzchnią powstającą z obrotu wykresu funkcji nieujemnej y=f(x) gdzie a≤x≤b wokół osi X. Objętość |V|tej bryły jest granicą sumy objętości walca
aproksymujących tę bryłę gdy

3)droga przebyta w ruchu zmiennym

Niech S droga przebyta w przedziale czasowym [a ,b ]przez punkt poruszający się ze zmienną szybkością V(t) a ≤t≤b . Droga S jest granicą sumy dróg D S_k przebytych przez punkt w czasie D t _k, z szybkością stałą V(t_k^*), t_k^*∈ [t_k-1,t_k] gdy średnica podziału
:


104.Warunek wystarczający istnienia całki oznaczonej.

Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma w tym przedziale skończoną ilość punktów nieciągłości pierwszego rodzaju to jest ona na nim całkowalna. Punkt nieciągłości I rodzaju:

,

105.Twierdzenie Newtona - Leibnitza. Liniowość całki oznaczonej.

Gdzie F funkcja pierwotna.

Liniowość całki.

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a,b] to:

,

106.Twierdzenie o całkowaniu przez części i całkowaniu przezpodstawianie dla całki oznaczonej.

Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a,b] to:

Podstawianie:

Jeżeli

1)funkcja φ z przedziału [a,b]→[α,β] ma ciągłą pochodną

2) φ (a)=α i φ (b)=β

3)funkcja f jest ciągła w przedziale [a,b] to:

107.Addytywność całki względem przedziałów całkowania.

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i c∈ (a,b) to funkcja ta jest całkowalna na przedziałach [a,c] i [c,b] i ponadto:

108.Zachowanie nierówności i modułu całki oznaczonej.

Jeżeli f i g są całkowalne na przedziale [a,b] i f(x)≤g(x) i dla każdego x∈ [a,b] to całka:

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] to:

109.Wartość średnia. Interpretacja geometryczna i fizyczna.

Nich f będzie całkowalna na przedziale [a,b] jej wartością średnią na tym przedziale nazywamy taką liczbę:

Interpretacja geometryczna: Wartość średnia jest wysokością prostokąta o podstawie ab pole którego jest równe polu trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji f osią OX i prostymi x=a i x=b.

Interpretacja fizyczna jest szybkością średnią punktu poruszającego się w przedziale czasu t.

110.Całka funkcji nieparzystej parzystej i okresowej.

1) Jeżeli f jest całkowalna i nieparzysta na przedziale [-a,a]to:

2) Jeżeli f jest całkowalna i parzysta na przedziale [-a,a]to:

3) Jeżeli f ma okres T i jest całkowalna na przedziale [0,T]to dla każdego a jest całkowalna na przedziale [a,a+t]:

111. Twierdzenie o ciągłości funkcji górnej granicy całkowania.

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i c∈ [a,b] to funkcja
będzie ciągła na przedziale [a,b].

112. II główne twierdzenie rachunku całkowego.

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i ciągła w punkcie x₀჎[a,b] to funkcja

, c჎ [a,b] ma pochodną w punkcie x₀ oraz F'(x₀)=f(x₀)

113. Długość krzywej.

Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wtedy długość krzywej Γ wykresu tej funkcji wyraża się wzorem: