2012 r.

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki I po pierwszym semestrze

(kierunek: budownictwo)

1. Dana jest prosta na płaszczyźnie R²: 2x - 3y + 3 = 0. Napisać równania tej prostej w innych postaciach; naszkicować jej przebieg; wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do tej prostej i przechodzącej przez punkt (0,0).

2. Dane są punkty M=(1, 3, 0), P=(2, 4, 5), Q=(3, 5, 9), S=(0, 1, 2) w przestrzeni R³.

Wyznaczyć:

- cosinus kąta między wektorami
,

- objętość czworościanu o wierzchołkach M,P,Q,S,

- pole trójkąta MPQ i jego wysokość poprowadzoną z wierzchołka Q,

- równanie płaszczyzny zawierającej punkty M, P, Q oraz odległość punktu S od tej płaszczyzny,

- równania parametryczne prostej i prostopadłej do płaszczyzny MPQ i zawierającej punkt S oraz punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny MPQ,

- równania parametryczne prostej zawierającej punkty M i S oraz równania parametryczne odcinka MS,

3. Naszkicować wykres funkcji: a)
, b)
c)
,

d)
, e) y = 2
itp. Określić zbiór wartości tej funkcji.

4. Określić funkcje odwrotne do funkcji:

,
itp.

5. Uprościć wyrażenie:
itp.

6. Wyznaczyć dane granice ciągów i funkcji:
,
,

,
,
,
itp.

7. a) Jakie asymptoty ma funkcja
?

b) Podać przykład funkcji, która ma asymptotę poziomą y = 3 i asymptotę pionową x = 2.

8. Wyznaczanie pochodnych różnych funkcji, np. pochodne funkcji a)
, b)
, c)
, d)
, e)
.

9. Napisać równanie stycznej i normalnej do danej krzywej w punkcie P, np:

y = x³ + x - 3, P=(1, -1).

10. Za pomocą twierdzenia. de l'Hospitala wyznaczyć np.

11. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a)
, b)
itp.

J. Szymczak