PRAWO ZACHOWANIA MASY - masa w danej objętości nie ulega zmianie.

ZAŁOŻENIA DO RÓWNANIA BERNOULLIEGO: równanie to jest pewną szczególną całką równania Eulera przy pewnych założeniach lub równaniem Naviera - Stokesa przy pewnych założeniach:

1) płyn jest nielepki (μ=0)

2) przepływ jest stacjonarny
, ustalony

3) pole sił masowych ma potencjał π (f=-gradπ)

4) płyn jest barotropowy [ρ=ρ(p)], funkcja cieczy jest jednorodna

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA RÓWNANIA BERNOULLIEGO:

I postać algebraiczna:
każdy element ma wymiar kwadratu prędkości

II postać wysokościowa:

z - zmienna pionowa, B/g - wymiar pionowy

III postać energetyczna: B-g=E=ρu²/2g+p+ρgz - każdy składnik ma wymiar energii na jednostkę objętości, bo została odrzucona lepkość.

PRAWO ZACHOWANIA ENERGII - zmiana w czasie całkowitej energii kinetycznej w objętości płynnej τ(s) jest równa sumie mocy sił masowych mocy sił powierzchniowych oraz strumieniowi energii doprowadzonej do objętości płynnej. Prawo to zapisujemy w postaci równania zachowania energii:

e - energia wewnętrzna, u²/2 - energia kinetyczna ruchu makroskopowego, n - wektor normalny zorientowany na zew. pow. płynnej S, j - wektor określony naturalnym strumieniem ciepła (molekularnym strumieniem energii), p - tensor naprężeń, f - gęstość rozkładu sił masowych.

Postać różniczkowa równania zachowania energii:
.

WYPÓR HYDROSTATYCZNY - dla ciała zanurzonego w płynie, wypór hydrostatyczny określony jest wzorem N=-∫pndS, ale z tą różnicą, że powierzchnia S(τ) jest powierzchnią zamkniętą, zamykającą objętość τ(S). Całkę
można przekształcić na całkę objętościową

Po uwzględnieniu równania równowagi ρf-gradp=0 wyrażenie to można zapisać jako:

jest objętością ciała zanurzonego w płynie, stąd siła wyporu wynosi:
z prawa Archimedesa. Siła wyporu jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez zanurzone ciało i skierowana przeciwnie do zwrotu siły ciężkości.

HYDROSTATYCZNY ROZKŁAD CIŚNIENIA - termin ten oznacza liniowy rozkład ciśnienia względem pionu, panujący w cieczy o stałej gęstości w polu grawitacyjnym. Jest stała na danym poziomie, wzrasta wraz z głębokością. Ciśnienie rośnie pionowo w dół i jest stałe na każdym poziomie. p=p₀+ρgh, p - ciśnienie wewnętrzne, p₀ - ciśnienie zewnętrzne cieczy, ρgh - ciśnienie hydrostatyczne.

METACENTRUM - jest to punkt przecięcia się linii działania siły wyporu w stanie równowagi i linii działania siły wyporu w stanie zakłóconej równowagi. Jeżeli metacentrum jest powyżej środka ciężkości, to równowaga jest stała, jeżeli poniżej - równowaga chwiejna. Jeżeli oba punkty pokrywają się, równowaga jest obojętna.

NAPÓR HYDROSTATYCZNY - napór hydrostatyczny na ściankę o powierzchni S określamy

n - wektor normalny, N - parcie cieczy. Znak minus jest dlatego, że wektor normalny n skierowany jest przeciwnie niż parcie cieczy wypełniającej naczynie nad ściankę o powierzchni S. Dla płaskiej płytki napór oblicza się łatwo, gdyż wektor n nie jest funkcją współrzędnych ściany o powierzchni S.

Napór hydrostatyczny nie zależy od kształtu naczynia, tylko od wielkości powierzchni S i położenia jej środka geometrycznego.

TWIERDZENIE BUCKINGHAMA (TW. π) - każdy ciąg zmiennych pierwotnych (a₁,a₂,...,a_n), które są powiązane z pewną funkcją f(a₁,a₂,...,a_n)=0 można zastąpić równoważnym ciągiem (n-k) zmiennych bezwymiarowych, które będą powiązane pewną funkcją φ(π₁,π₂,...,π_n)=0

1) każdą funkcję n parametrów wymiarowych, z których k parametrów ma wymiary podstawowe, da się sprowadzić do funkcji n-k parametrów bezwymiarowych

2) jeżeli parametry bezwymiarowe będą identyczne dla dwóch różnych substancji, to zjawisko będzie przebiegało identycznie, mimo różniących się parametrów typu a. Można więc owe bezwymiarowe parametry nazwać parametrami podobieństwa kryterium π.

WARSTWA PRZYŚCIENNA - jest to niewielki obszar w pobliżu ciała umieszczonego w płynie rzeczywistym, gdzie przejawia się wpływ lepkości. W pobliżu powierzchni ciał opływanych płynem rzeczywistym obserwuje się duże zmiany prędkości, od zera na powierzchni ciała opływanego do wartości prędkości odpowiadającej przepływowi płynu. Przyjmuje się umownie, że grubość warstwy przyściennej jest określana tą odległością od powierzchni ciała, gdzie prędkość wynosi 0,99 wartości prędkości w nieskończoności.

PLYNNOSC - proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcania (płynięciem) a siła odkształcająca, jeżeli: t(czas działania siły) / τo(czas drgania molekuł przed następnym przeskokiem Zycie osiadłe) >> 1 to cieczy przypisujemy cechę płynności a jeżeli < 1 jest to sytuacja podobna do tej w ciele stałym. CIAGLOSC - może być określana względem wymiaru liniowego lo (średnia droga przeskoku), chodzi o możliwość traktowania materii jako ośrodka wypełniającego przestrzeń w sposób ciągły, zachodzi gdy wymiary liniowe Lcial opływanych przez ciecz lub gaz sa znacznie większe od lo, jeżeli; L / lo >> 1 to cieczy można przypisać cechę ciągłości a jeżeli < 1 to założenie ciągłości nie jest dobrym modelem fizycznym

PLYWALNOSC - podstawowym warunkiem pływania ciała jest to aby suma sil wyporu N i ciężaru T była równa zeru (N+T=0), modułu sil wyporu i ciężaru ciała sa równe.

CISNIENIE - jest to naprężenie normalne skierowane _|_ do powierzchni na która oddzialywuje, jest to suma 3 naprężeń normalnych pxx, pyy, pzz, które otrzymujemy z tensora naprężeń i ozn symbolem hydrodynamicznym p, które w zależności od od warunków lub modeli możemy wykorzystywać do obliczeń parametrów działających na powierzchnie ciała.

LEPKOSC - w świetle kinematycznej budowy materii mianem lepkości określamy właściwość substancji przejawiająca się w powstawaniu sil oporu przeciw przemieszczeniom wew. zachodzących pod działaniem si zew, w sposób równoważny określa się tez lepkość płynu jako zdolność do przenoszenia naprężeń stycznych. Jeżeli pole prędkości wzdłuż kierunku l jest nierównomierne to występuje poprzeczny transport ilości ruchu, który jest spowodowanym ruchem molekularnym c. Poprzeczny transport masy jest przyczyna naprężeń ścinających τ miedzy warstwami występują siły kohezji i athezji. τ = n·m·(u+Δu)·c-mnc=nmcΔu[kg / m·s²] c- prędkość, mnΔu - różnica ilości ruchu miedzy warstwami odległymi o lo, υ = c·lo ŚCIŚLIWOŚĆ - jest to właściwość substancji (plynu), która obrazuje zmiany gęstości pod wpływem zmian temp i ciśnienia.

RUCH LAMINARNY - przepływ regularny, charakter uporządkowany, występuje przy małych prędkościach, ściśle przy małych liczbach Re, tzn. tam gdzie siły bezwładności nie przeważają nad silami lepkości, cząsteczki cieczy poruszają się po torach II do osi przewodu, straty ciśnienia sa wprpst proporcjonalne do prędkości, cząstki cieczy nie mieszają się w sposób makroskopowy (widoczny) .

RUCH TURBULENTNY - (turbulencja - układ drgań zamowzburzowych, objaw utraty stabilności) podstawowa cecha to fluktuacja (zaburzenia) prędkości, ruch chaotyczny nieuporządkowany, cząsteczki cieczy i wektor prędkości chwilowej cząstek są # do osi przewodu (wykonują dodatkowo ruch poprzeczny) ruch nieregularny, oscyluje, tor cząstek jest różny.

ROWNANIE REYNOLDSA ( dla uśrednionej prędkości ruchu turbulentnego) postać: 1) div u = 0 2) ρ(Әu / Әt + u ·gradu ) = ρf + divP - div(ρuu), jak powstają: Ad 1) po uśrednieniu row zach masy div u = 0 daje nam div u = 0, Ad2) z row zach ilosci ruchu po wykonaniu przekształceń, uśrednieniu i zastosowaniu specyficznej postaci filtru F(x) = 1 / T otrzymujemy row zach ilosci ruchu dla prędkości średniej ruchu turbulentnego. Uklad ten jest nie zamknięty za względu na tensor nap turbulentnych -pu'u' = [...]. Zachowana prędkość średnia formułujemy w celu pominięcia prędkości chwilowej. Prędkość średnia wyznaczamy jako rozwiązanie odpowiedniego układu równań. Row Re zawiera dodatkowe pochodne naprężeń turbulentnych które nie występują w row N.S.

METODA EULERA - polega na określeniu parametrów płynu w każdym pkt. Przestrzeni zajmowanej przez plyn. Parametry te mogą się zmieniac się zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Istota metody Eulera jest wyznaczenie toru prędkości: wybieramy ukl. wsp. odniesienia, obszar zajmowany przez plyn opisany jest promieniem wodzącym r(xyz) = xi +yj + zk. Parametry opisujące stan plynu będą funkcja promienia wektora r i czasu t. Każde położenie elementu plynu w chwili t określają współrzędne xyz a w chwili to poprzedzającej t xo yo zo => xo = xo (xyzt). Zapis wektora prędkości u(rt) można zapisać jako u = uxi + uyj + uzk. Funkcje wsp przestrzeni i czasu: składowe wektora prędkości u(rt), ciśnienie p = p(xyzt), gęstość ρ = ρ(xyzt), temp t = t(xyzt). Przy opisywaniu parametru plynu w tej metodzie dla dowolnego miejsca w ulk wsp i dowolnego czasu zawsze powinny być określone powyższe funkcje 4 zmiennych xyzt.

METODA LAGRANGEA - polega na wyodrębnieniu element plynu i pozornym śledzeniu jego zachowanie w czasie. Znamy wtedy wszystkie parametry dowolnych elementów plynu, mamy wówczas opisany stan plynu w calym zajmowanym obszarze. Oznaczamy wybrany element plynu a chwili to i o wsp xo yo zo. Z czasem bedze s8ie zmienialo jego polozenie i inne parametry: x = x(xo yo zo t) y = y(xo yo zo t) z = z(xo yo zo t) - plozenie, p = p(xo yo zo t) ρ = ρ(xo yo zo t) T = T(xo yo zo t) - parametry. Predkosc otrzymujemy przez rozniczkowanie wsp polozenia elementu plynu względem czasu. Ux = dx / dt, Uy=dy/dt Uz=dz/dt Wektorowo u=dr/dt=dx/dti +dy/dtj +dz/dtk przyspieszenie dux/dt=d²x/dt² , (analogicznie y i z)

TENSOR PREDKOSCI DEFORMACJI - Tensor obiekt wektorowy którego szczególnym przykładem jest skalar można zapisać macierzowo, składowe prędkości elementu płynu wynikające z prędkości deformacji zostały określone przez tensora prędkości deformacji D i odległości od bieguna Әr Składowe tensora D określają dwojakiego rodzaju prędkość deformacji a :liniowo i kątowo (wtedy kiedy oba ramiona się przesuwają) D:=

Deformacja = def kątów +def odcinków DEFORMACJA - odkształcenie spowodowane zmiana układu molekuł w przestrzeni dzięki działaniu siły odkształcającej. Czas musi buc bardzo długi w porównaniu z τo.. Składa się z wydłużeń odcinków , zmian kątów. Deformacja zależy od różnic prędkości a nie od sumy prędkości. Jeżeli siła jest mała ale długotrwała to w ciecz następuje duża deformacja a w ciele stałym mała.

PREDKOSC DEFORMACJI - prędkość odkształcania. Jest to prędkość molekuł uciekających przed działająca na nie siła deformacji.

PERWSZE TW HELMOHOLTZA - prędkość dowolnego pkt. elementu płynu składa się z 3 prędkości: 1) pr. postępowej punktu odranego za biegun Uo 2) predkosci obrotowej dookoła osi przechodzącej przez biegun z prędkość kątowa ωo = 1 / 2(rot U)o, której wektor wyznacza os obrotu, 3) predkosc deformacji elementu płynu Do Әr, U = Uo + 1 / 2 (rot u )o x Әr + DoӘr

STAN STACJONARNY - (ustalony) parametry opisujące stan płynu nie zależą od czasu Ә / Әt = 0

STAN NIESTACJONARNY - (nieustalony) parametry opisujące stan płynu zależą od czasu

DEFINICJA FUNKCJI PRADU - równanie Әux / Әx + Әuy / Әy = 0 dopuszcza istnienie funkcji ψ(xy) zwanej funkcja prądu, która spełnia to równanie . Jeżeli Ux = Әψ / Әy Uy = Әψ / Әx i te zależności podstawimy do wzoru otrzymamy wzór Laplatza. Linia prądu jest stała wartością f-cj dψ = Әψ / Әx · dx ₊ Әψ / Әy · dy = - Uydx + Uxdy = 0 wokół linii ψ = const. Uxdy =Uydx / : UyUx otrzymamy dx / Ux = dy / Uy równanie linii.

HIPOTEZA NEWTONA - jeżeli mamy substancje i działamy na nią siła odkształcająca i jeżeli działa ona długo to na skutek ruchów cząsteczek siła ta może wywoływać duże odkształcenia. Istota tej hipotezy jest liniowa relacja miedzy tensorem naprężeń a tensorem prędkości deformacji. Ma ona postac P = aE + bD gdzie ab - skalary , E tensor naprężeń, D - tensor pr def. Jeżeli naprężenie jest funkcja tensora def to mamy do czynienia z ciałem stałym.

PODZIAŁ PRZEPLYWOW - z pkt. widzenia kinematycznego rozróżniamy przepływy: a) jednowymiarowe - w których mamy tylko jedna składowa wektora prędkości Ux # 0, Uy = 0, Uz = 0 (x) b) dwuwymiarowe Ux # 0, Uy # 0, Uz = 0 (xy) c) trójwymiarowe Ux # 0, Uy # 0, Uz # 0 (xyz). Skladowe wektora prędkości mogą być funkcja dowolnej kombinacji zmiennych niezależnych xyzt. Np. możemy mieć przepływ; jednorodny niestacjonarny w którym Ux = Ux(xt) lub przepływ dwuwymiarowy stacjonarny Ux = Ux(xy), Uy = Uy(xy)

NAPRĘŻENIE W ŚWIETLE KINEMATYCZNEJ BUDOWY MATERII:
jest gęstością rozkładu sił powierzchniowych, zależy od czasu, położenia i zorientowania powierzchni wektorem normalnym n. p_n - nazywamy wektorem naprężenia, oznaczamy też jako p_n=p_xn_x+p_yn_y+p_zn_z wynikają z tego trzy równania skalarne:

naprężenie w każdym ośrodku ciągłym, P - tensor stanu naprężenia. Pierwszy wskaźnik indeksu dotyczy usytuowania elementu powierzchni, drugi wskaźnik kierunek, wzdłuż którego działa siła powierzchniowa.

LINIA PRĄDU - jest to linia styczna w każdym momencie czasu do wektora prędkości (dla przepływu niestacjonarnego obraz linii prądu będzie się zmieniał, będzie inny dla każdej chwili t). Jeżeli symbolem ∂S=∂xi+∂yj+∂zk oznaczymy element łuku linii prądu, to warunek styczności do wektora u zapiszemy w postaci iloczynu wektorowego: ∂S×u=0. Jeżeli wektor prędkości nie ulegnie zmianie to linia prądu pokrywa się z trajektorią. Obie linie pokrywają się jedynie w ruchu stacjonarnym lub w ruchu po torach równoległych.

TRAJEKTORIA A LINIA PRĄDU. Trajektoria - tor cząstki, linia po której porusza się cząstka materii. Warunkiem jest znajomość prędkości. dr/dt=u→r(t) - kształt linii, po której porusza się cząstka. Jeżeli wektor prędkości nie ulegnie zmianie to linia prądu pokrywa się z trajektorią. Tor elementu płynu w ogólnym przypadku nie jest identyczny z linią prądu. Obie linie pokrywają się jedynie w ruchu stacjonarnym lub r ruchu niestacjonarnym po torach równoległych. ∂s=∂xi+∂yj+∂zk ∂s||u →∂s×u=0.

LINIE WIROWE - linie styczne w każdym punkcie do wektora rotacji. Wektor rotacji to wektor, którego kierunek określony jest przez oś obrotu w szczególności; wektor rotacji może być równy zero. Nie może by tak, że u=0 i istnieje wektor rotacji.

LICZBY:

Reynoldsa: Re=u_D/υ, u-prędkość, D-wymiar liniowy, υ-kin.wsp.lepkości; lub:
, ρ-gęstość, l-droga, μ-dyn.wsp.lepkości. Jest to stosunek sił bezwładności do sił lepkości.

Frouda:
l-droga, gęstość rozkładu sił masowych. Jest to stosunek sił bezwładności do sił masowych.

Euler: Eu=Δp/ρu², p-ciśnienie, u-prędkość, ρ-gęstości

CZYM RÓŻNI SIĘ RÓWNANIE EULERA OD RÓWNANIA NAVIERA-STOKESA? Równanie Naviera - Stokesa to równanie zachowania pędu dla cieczy newtonowskiej o znanej gęstości ρ i stałej lepkości, nie zależą od temperatury: ρ(du/dt)=ρf-grad(p-⅓μnablau)+μΔu, μ-dyn.wsp.lepkości, f-wektor sił masowych.
gdy μ=0 czyli ciecz jest nielepka, to równania N-S przechodzą w równanie Eulera: ρ(du/dt)=ρf-gradp. W przypadku równowagi statycznej równanie N-S, równanie Eulera redukuje się do postaci u=ρf-gradp. Równanie Eulera jest to postać równanie zachowania pędu dla modelu płynu nielepkiego, tzn. gdy istnieje jedynie ciśnienie, naprężenie normalne, a brak jest naprężeń stycznych, gdy tensor naprężeń ma postać
to otrzymamy model płynu nielepkiego.

---