Przestrzeń metryczna – zbiór z określonym pojęciem odległości (nazywanej metryką) między jego elementami.

Odległość – wartość metryki. Potocznie rozumie się pod tą nazwą metrykę euklidesową, daną równaniem:

Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie.

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą O lub cyfrą 0.

• zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:

  • X (pierwsza oś, zwana osią odciętych),

  • Y (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni

Przejście od systemu polarnego do systemu kartezjańskiego [edytuj]

Dla danego wektora wodzącego i amplitudy punktu P, jego współrzędne kartezjańskie określa:

Jakobian przejścia wynosi

Przejście od systemu kartezjańskiego do systemu polarnego [edytuj]

Rozważmy punkt którego współrzędne kartezjańskie są (x,y). Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

.

Jeśli , to amplituda tego punktu jest dana przez:

gdzie oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów ( − π,π) można ten zapis uprościć do

gdzie oznacza funkcję signum.\

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

Każdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe jak następuje^[1]:

• promień wodzący punktu P to jego odległość |OP| od bieguna

• amplituda punktu P to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą OS a wektorem

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe (0,0). O amplitudzie możemy zakładać, że

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Każdy punkt P przestrzeni zapisuje się w postaci trójki współrzędnych , gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco:

• — odległość od osi OZ rzutu punktu na płaszczyznę OXY,

• — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,

• — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Wektor wodzący układu walcowego łączy źródło pola z punktem P :

Sferyczny układ współrzędnych – układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi.

Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Formalnie:

Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie postaci gdzie są wyrazami liczbowego ciągu nieskończonego.

Rachunek różniczkowy i całkowy to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcie granicy. W szczególności własności funkcji bada się za pomocą ich pochodnych i całek.

Rachunek różniczkowy jest jednym z podstawowych narzędzi matematycznych fizyki i techniki.

Relacja równoważności kartezjańskiej Jest to dowolny podzbiór tego iloczynu.
Jeżeli zbiór A ma m elementów, b - n elementów, to iloczyn ma elementów.. Rożnych relacji jest tyle ile jest różnych podzbiorów zbioru , czyli , tutaj .

Surjekcja, odwzorowanie zbioru A na zbiór B - takie, że każdy element zbioru B przyporządkowany jest co najmniej jednemu elementowi zbioru A.

Iniekcja, w matematyce relacja jednojednoznaczna (wzajemnie jednoznaczna), tj. relacja przyporządkowująca jednemu elementowi zbioru A jeden i tylko jeden element zbioru B. Inaczej: relacja zanurzenia zbioru w zbiorze, lub odwzorowanie zbioru w zbiór.

Twierdzenie Cramera

Jeżeli wyznacznik macierzy A jest różny od zera, to rozważany układ równań (1) ma jednoznaczne rozwiązanie. Ponadto, rozwiązanie to wyraża się wzorami (tzw. wzory Cramera):

gdzie oznacza macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy A i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań, tzn.

Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy zeru:

• układ ten jest układem równań nieoznaczonym, gdy wyznaczniki macierzy są równe 0.

• układ ten jest sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy wyznacznik którejś z macierzy jest niezerowy.

Lim sinc(x) -> 0

Solution:

wierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie analizy matematycznej opisujące zachowanie ciągów zbieżnych. Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji, wówczas znane jest ono jako twierdzenie o trzech funkcjach. Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss.

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe sformułowanie tego twierdzenia jako „twierdzenia o milicjantach” (w czasie stanu wojennego w Polsce, nazwa ta funkcjonuje także w Rosji): jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam trafisz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenia o żandarmach”.

Twierdzenie [edytuj]

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych a_n,b_n oraz c_n. Jeśli prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich n, większych od pewnego wskaźnika N, zachodzi

przy czym

to wtedy także

Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi 2,7182818 (ciąg A001113 w OEIS), oznacza się ją literą e.

Liczba e jest zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu [edytuj]

Jako granica ciągu, e jest określana przez

• e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite).

• e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1

• e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.

• pochodna funkcji

• całka funkcji , gdzie C jest dowolną stałą całkowania.

• z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego:

• Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też "najpiękniejszym wzorem matematyki"), wiążącej e z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem:

Pochodna – narzędzie analizy matematycznej służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji przy zmianie jej argumentów. Proces odnajdywania pochodnej nazywa się różniczkowaniem, a dział matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.

nterpretacja geometryczna [edytuj]

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność w punkcie oznacza istnienie stycznej do wykresu w punkcie nierównoległej do osi , zaś wartość jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi ).

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna – stromy wykres, niewielka pochodna – wykres łagodnie wznoszący się, ujemna pochodna – wykres opadający itp.).

Przykład interpretacji fizycznej [edytuj]

Niech ciało porusza się wzdłuż prostej. Wtedy współrzędna tego ciała jest funkcją czasu. Iloraz różnicowy wynosi . Przedstawia on prędkość średnią tego ruchu między chwilą i chwilą .

Granicę właściwą tego ilorazu, gdy , nazywamy pochodną w punkcie , i jest ona prędkością chwilową tego ciała w chwili :

Oczywiście, tu prędkość trzeba rozumieć tak, że może ona być też ujemna; znak zależy od kierunku ruchu.

Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji – jedno z podstawowych twierdzeń z dziedziny aproksymacji diofantycznej. Stwierdza ono, że dla dowolnej liczby niewymiernej α i dowolnej liczby naturalnej Q istnieją liczby całkowite p i takie, że spełniona jest nierówność:

Jeżeli przepisać tę nierówność w postaci:

natychmiast można stąd wywnioskować, że nierówność

spełniona jest dla nieskończenie wielu par liczb względnie pierwszych p i q.

Zasada szufladkowa Dirichleta – twierdzenie mówiące, że jeżeli m przedmiotów włożymy do n różnych szufladek, przy czym m > n, to co najmniej w jednej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmioty.