1/IV Cząstka wykonuje drgania harmoniczne. W odległości x₁ i x₂ od położenia równowagi jej prędkości wynoszą v₁ i v₂ (x₂>x₁ i v₁>v₂). Znaleźć amplitudę i częstość kołową drgań.

Wychylenie i prędkość w ruchu harmonicznym wyrażają wzory:

związek między x i v

2/IV obliczyć okres małych drgań wahadła matematycznego o długości l=20cm. Kulka wahadła zanurzona jest w idealnej cieczy o gęstości 3 razy mniejszej od gęstości kulki.

3/IV jaki jest stosunek energii kinetycznej punktu drgającego harmonicznie do jego energii potencjalnej w chwilach czasu
(T-okres drgań). Faza początkowa drgania równa się zero.

4/IV na gładkiej powierzchni znajduje się ciało o masie M. zamocowane do poziomo ustawionej sprężyny o masie m. i współczynniku sprężystości k. Sprężyna drugim końcem przymocowana jest do pionowej ściany. Obliczyć okres małych drgań.

Faza (ωt+φ) jest równa dla wszystkich punktów sprężyny i klocka. Różna jest natomiast amplituda A.

obliczamy energie ruchu harmonicznego dla elementu dx

5/IV znaleźć okres drgań półkuli o promieniu R względem osi leżącej w środku płaskiej części i prostopadłej do promienia kuli.

Podzielimy półkulę na bardzo cienkie warstewki będące walcami o promieniu x i wysokości dy. Oś y układu współrzędnych przechodzi przez środki tych walców.

Masa pojedynczej warstewki wynosi:

środek masy rozpatrywanej bryły można wyznaczyć z:

S(x₀,y₀,z₀)

moment bezwładności kuli

po scałkowaniu

układ stanowi wahadło fizyczne o okresie:

6/IV Na szalkę o masie M zawieszoną na sprężynie o współczynniku sprężystości k z wysokości h spada ciężarek o masie m i pozostaje na niej, wskutek czego szalka wraz z ciężarkiem zaczyna drgać ruchem harmonicznym. Znaleźć amplitudę tych drgań. Rozpatrzyć też przypadek, gdy masę szalki zaniedbujemy.

W przypadku, gdy szalka jest nieważka, wystarczy skorzystać z zasady zach. Energii. Jeśli oznaczyć przez d - dynamiczne odkształcenie sprężyny to mamy:

w celu otrzymania A drgań należy od d odjąć statyczne odkształcenie sprężyny s (gdyż położenie równowagi szalki obciążonej znajduje się o s niżej szalki nieobciążonej)

odkształcenie statyczne

poszukiwanie amplitudy drgań szalki z ciężarkiem oraz jej okres

w przypadku o masie m należy skorzystać z zasady zachowania pędu, gdyż zderzenia są niesprężyste.

Jeśli oznaczyć prędkość odważnika w chwili uderzenia o szalkę
to na podstawie tej zasady:

po zderzeniu można skorzystać z zasady zachowania energii mech.

- odkształcenie sprężyny pod ciężarem szalki

dynamiczne odkształcenie sprężyny wynosi:

poszukiwana amplituda drgań i okres

7/IV Aerometr w kształcie walca o powierzchni przekroju S i masie m. jest zanurzony w dwóch niemieszających się cieczach o gęstościach ρ₁ i ρ₂ w taki sposób, że w stanie równowagi w każdej cieczy znajduje się połowa aerometru. Obliczyć okres drgań aerometru.

W stanie równowagi: x=0

F_W1=ρ₁ρsa

F_W2=ρ₂ρsa

Z prawa Archimedesa

F_w=ρρV

F_w=F_w1+F_W2

F_w=ρ₁ρsa+ ρ₂ρsa

II zasada Newtona

mg= ρ₁ρsa+ ρ₂ρsa

mg=saρ(ρ₁+ ρ₂)=0

w pozycji wychylenia

8/IV na trzech nieważkich gumkach o stałych sprężystości k₁,k₂,k₃, połączonych jak na rysunku wisi ciężarek o masie m. ciężarek wytrącono z położenia równowagi tak, iż drga ruchem harmonicznym w kierunku pionowym. Obliczyć okres tych drgań.

Gumki połączone równolegle: k_2,3=k₂+k₃

Gumki połączone szeregowo

---