Zasady zachowania energii i pędu

1. Dwa ciała o jednakowych masach m poruszające się po płaszczyźnie poziomej wzdłuż tej samej prostej zderzają się doskonale niesprężyście. Prędkości ciał mają zwroty przeciwne oraz wartości v1 i v2 w chwili zderzenia. Obliczyć: ilość wydzielonego ciepła podczas zderzenia, drogę jaką przebędą ciała od chwili zderzenia do zatrzymania się, jeżeli współczynnik tarcia ciał f.

2. Dwie kule o masach m1 i m2, poruszające się z taką samą prędkością v zderzają się centralnie. Zderzenie jest doskonale sprężyste. Podać warunki, jakie muszą być spełnione, aby:

1. pierwsza kula zatrzymała się;

2. druga kula zatrzymała się;

3. nastąpiła zmiana zwrotu prędkości każdej z kul.

3. Kulka o masie m lecąca poziomo, uderza w powierzchnię klina o masie M leżącego na poziomej płaszczyźnie tak, że odskakuje pionowo w górę na wysokość h. Zakładając, że zderzenie jest doskonale sprężyste, znaleźć prędkość, jaką uzyskał klin tuż po zderzeniu. Przyspieszenie ziemskie jest równe g.

4. Dwie kule o masach m1 i m2 zawieszone na dwóch równoległych niciach o

długości l każda, stykają się ze sobą. Mniejsza kula zostaje odchylona o kąt 90^o i puszczona. Znaleźć prędkość kul po zderzeniu zakładając, że zderzenie kul było:

1. doskonale sprężyste,

2. b) doskonale niesprężyste.

Jaka część energii początkowej zamieni się na ciepło w przypadku zderzenia doskonale niesprężystego?

5. Człowiek o masie m1, biegnący z prędkością v1, dogania wózek o masie m2 który jedzie z prędkością v2 i wskakuje na ten wózek. Z jaką prędkością będzie poruszał się wózek z człowiekiem? Jaka będzie prędkość wózka z człowiekiem w przypadku, gdy człowiek będzie biegł naprzeciwko wózka?

6. Człowiek stoi na nieruchomym wózku i rzuca do przodu kamień o masie m, nadając mu prędkość v. Wyznaczyć pracę, jaką musi wykonać przy tym człowiek, jeżeli Masa wózka wraz z nim wynosi M.

7. Ciało wyrzucono pionowo w górę z prędkością vo. Znaleźć wysokość, na której energia kinetyczna ciała będzie równa jego energii potencjalnej?

8. Kulka o masie M, znajdująca się na końcu mogącego się obracać cienkiego pręta o długości l (masę pręta pomijamy), została wychylona o 180^o ze swego najniższego położenia. Spadając kulka zderza się w najniższym położeniu z kulką plastelinową o masie m. Na jaką wysokość wzniosą się obie kulki po zderzeniu i zlepieniu się? W obliczeniach przyjąć, że l jest dużo większe niż rozmiary mas M i m.

9. Sanki zsunęły się za zbocza o nachyleniu α i długości s₁, po czym do chwili zatrzymania przebyły odległość s₂ po torze poziomym. Współczynnik tarcia na całej trasie jest jednakowy. Wyznacz jego wartość.

10. Oblicz wysokość, na jaką może wjechać samochód, który mając początkową prędkość v₀, porusza się w górę z wyłączonym silnikiem. Nachylenie zbocza wynosi α a efektywny współczynnik tarcia f.

11. Sanki zsuwają się ze szczytu toru o długości l pochylonego pod kątem a do poziomu, a następnie wjeżdżają na tor prosty. Wzdłuż całego toru działa na sanki siła tarcia. Współczynnik tarcia na torze pochyłym wynosi m 1, zaś na torze prostym m 2. Obliczyć jaką drogę s przebędą sanki po torze prostym.

12. Samochód wjeżdża na wzniesienie nachylone pod kątem a do poziomu ze stałą prędkością v1, a zjeżdża z tego wzniesienia ze stałą prędkością v2. Jaka będzie prędkość tego samochodu na poziomym odcinku drogi, jeżeli we wszystkich przypadkach silnik pracuje z jednakową mocą, a siły oporów ruchu określone są przez taki sam efektywny współczynnik tarcia.

13. Ciało rzucono pionowo w górę z prędkością vo. Na pewnej wysokości jego energia kinetyczna zrównała się z jego energią potencjalną. Obliczyć tę wysokość.

14. W klocek o masie M leżący na szczycie muru o wysokości h uderzył lecący poziomo z prędkością v pocisk o masie m i uwiązł w nim. W jakiej odległości od podstawy muru spadł klocek z pociskiem? Tarcie klocka o mur pominąć.

15. Pocisk poruszający się z prędkością v uderza w zawieszoną na pionowej nici kulkę z kitu i grzęźnie w niej. Na jaką wysokość wzniesie się kulka z pociskiem jeżeli masa kulki była 5 razy większa niż masa.

16. Pocisk lecący poziomo z prędkością v na wysokości H rozrywa się na dwie równe części. Jedna część porusza się pionowo w dół i spada na ziemię po upływie czasu t od momentu wybuchu. Znaleźć wartość i kierunek prędkości drugiej części pocisku bezpośrednio po wybuchu.

17. Wóz elektryczny o masie m porusza się ze stałą prędkością w górę po drodze s nachylonej pod kątem α od poziomu. Współczynnik tarcia wynosi f. Obliczyć pracę wykonaną przez wóz. Obliczyć średnią moc wozu, jeżeli drogę s przebywa on w czasie t.

18. Dźwig podnosi ciało w czasie t na wysokość h ruchem jednostajnie przyspieszonym. Ciężar ciała wynosi Q, a sprawność urządzenia h. Obliczyć średnią moc silnika elektrycznego napędzającego dźwig.

19. Model kolejki elektrycznej o masie m przebywa od chwili startu ruchem jednostajnie przyspieszonym drogę s w czasie t. Obliczyć pracę wykonaną w tym czasie oraz średnią moc silnika kolejki, jeśli sprawność urządzenia wynosi 80%.

20. Dźwig unosi w górę ciało o masie m ruchem jednostajnie przyspieszonym. Obliczyć moc z jaką pracuje silnik dźwigu, jeżeli podnoszenie ciała na wysokość h trwało t.

Bryła sztywna

1. Oblicz moment bezwładności układu składającego się z 3 mas: m1, m2 oraz m3, umieszczonych wrogach trójkąta równobocznego o boku długości a, względem osi przechodzącej przez środek masy układu i prostopadłej do płaszczyzny trójkąta.

2. Oblicz moment bezwładności „hantli” składającej się z cienkiego pręta o masie m1 i długości l oraz dwóch kul o masach m2 i o promieniach R względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek ciężkości.

3. Jednorodny poziomy pręt, z przyczepionym do jednego końca obciążnikiem o masie M, znajduje się w równowadze, jeżeli jest podparty w odległości 0.2L od obciążnika. Znajdź masę pręta, jeżeli jego długość wynosi L.

4. Jednorodną poziomą belkę o długości L i ciężarze Q podparto w odległości d=L/4 od jej środka masy. W którym miejscu belki powinien usiąść człowiek o masie M, aby belka będąc w pozycji poziomej pozostawała w równowadze.

5. Do jednorodnego krążka o promieniu r i masie m (Io = 1/2 mr²) przyłożono stycznie do jego obwodu siłę o wartości F. Po jakim czasie krążek uzyska prędkość kątową ω?

6. Koło zamachowe pod wpływem siły napędzającej obracało się z częstotliwością f. Kiedy wyłączono silnik napędzający koło, zatrzymało się ono po t. Jaki był moment siły hamującej? Moment bezwładności koła wynosi I.

7. Metalowa kula o momencie bezwładności I wiruje z prędkością kątową ω wokół osi przechodzącej przez jej środek. Oblicz moment siły hamującej, która spowoduje zatrzymanie się kuli po czasie t.

8. Nieruchomy walec o momencie bezwładności I został wprawiony w ruch obrotowy wokół osi równoległej do tworzącej i przechodzącej przez jego środek. Moment siły względem osi obrotu wynosił M. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia obracania się walec wykona N obrotów? Wiadomo, że jego prędkość kątowa rośnie liniowo, poczynając od wartości 0.

9. Cienkościenna rura toczy się bez poślizgu pod wpływem siły ciężkości po równi nachylonej do poziomu pod kątem α. Oblicz przyspieszenie ruchu postępowego środka masy.

10. Jednorodna kula i jednorodny walec staczają się po równi pochyłej bez poślizgu. Moment bezwładności kuli I=2/5(mr²), walca I=1/2(mr²). Zakładamy, że prędkości początkowe kuli i walca są równe zeru. Obliczyć stosunek prędkości środka kuli do prędkości osi walca po przebyciu tej samej drogi na równi pochyłej.

11. Z jednakowej wysokości staczają się bez poślizgu po równi pochyłej dwa walce: jeden pusty, a drugi wydrążony (rura cienkościenna), o tym samym promieniu. Obliczyć stosunek ich prędkości końcowych. Moment bezwładności względem osi podłużnej walca jest dla walca pełnego dwa razy mniejszy niż dla walca wydrążonego.

12. Koło zamachowe o momencie bezwładności względem osi obrotu I, obraca się ze stałą częstością f. Gdy moment obrotowy sił zewnętrznych przestanie działać koło zatrzyma się na skutek tarcia w łożyskach po upływie czasu t. Obliczyć moment sił tarcia, przy założeniu, że jest on stały.

13. Koło o promieniu r i momencie bezwładności I obraca się z częstością n. Do obwodu koła przyciśnięto klocek hamulcowy siłą F skierowaną wzdłuż promienia. Koło zatrzymało się po upływie czasu t. Obliczyć współczynnik tarcia między klockiem a kołem.

14. Oblicz moment bezwładności układu składającego się z 3 mas: m₁, m₂ oraz m₃, umieszczonych wrogach trójkąta równobocznego o boku długości a, względem osi przechodzącej przez środek masy układu i prostopadłej do płaszczyzny trójkąta.

15. Ile wynosi praca, jaką należy wykonać, aby koło zamachowe o momencie bezwładności I rozpędzić tak, by wykonywało n obrotów w ciągu jednostki czasu?

16. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Momenty bezwładności tarcz wynoszą I1 oraz I2, a ich prędkości kątowe w 1 i w 2. Po upadku tarczy górnej na dolną obie tarcze ( w wyniku działania sił tarcia) obracają się razem jak jedno ciało. Wyznaczyć:

a) prędkość kątową tarcz po złączeniu;

b) pracę wykonaną przez siły tarcia.

17. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I (względem osi pionowej przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m. Obliczyć prędkość kątową tarczy w , gdy człowiek zacznie poruszać się wzdłuż jej brzegu z prędkością v względem niej.

18. Listwa drewniana o długości l i masie m może się obracać dookoła osi prostopadłej do listwy, przechodzącej przez jej środek. W koniec listwy trafia pocisk o masie m1, lecący z prędkością v1 w kierunku prostopadłym do osi i do listwy. Znaleźć prędkość kątową, z jaka listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk.

19. Z równi pochyłej o kącie nachylenia α do poziomu stacza się bez poślizgu jednorodny walec o masie m. Obliczyć wartość działającej w tym ruchu siły tarcia. Moment bezwładności walca względem osi geometrycznej wyraża się wzorem I = 1/2 mr².

20. Z wierzchołka równi pochyłej o wysokości h zjeżdża wózek którego masa bez kół wynosi m, a cztery kółka mają postać wałków o masie m₁ każde. Moment bezwładności wałka względem osi geometrycznej I=1/2m₁r². Prędkość początkowa wózka równa jest zero. Obliczyć prędkość wózka u podstawy równi.

Drgania

1. Oblicz, po jakim czasie od chwili początkowej punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne przesunie się na odległość równą połowie amplitudy, jeżeli faza początkowa jest równa zeru a okres drgań wynosi T?

2. Drgania punktu materialnego odbywają się zgodnie ze wzorem: x = 0.03 sin π(t-0.5). Znaleźć największe wartości szybkości i przyspieszenia. Jakie będzie wychylenie, prędkość, energia kinetyczna, potencjalna i całkowita po czasie 2/3 s od chwili rozpoczęcia drgań? Masa ciała jest równa 0.01 kg.

3. Ciało o masie 10 g wykonuje drgania, które w układzie SI opisać można równaniem: x = 0.2 sin(π /2(t+1/3)) Znaleźć liczbowe wartości energii kinetycznej i potencjalnej ciała po upływie 4 s od chwili początkowej. Jaka jest całkowita energia ciała? Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia drgań energia kinetyczna jest równa potencjalnej.

4. Znaleźć masę ciała wykonującego drgania harmoniczne o amplitudzie 0.1 m, częstotliwości 2 Hz i fazie początkowej 30°, jeżeli całkowita energia ciała jest równa 7,7*10-3 J. Po ilu sekundach od chwili początkowej energia kinetyczna będzie równa energii potencjalnej?

5. Znaleźć amplitudę drgań harmonicznych punktu materialnego, jeżeli całkowita energia jest równa E a siła działająca przy wychyleniu równym połowie amplitudy jest równa F.

6. Kulka wisząca nieruchomo na nici została pchnięta i zaczęła się wahać. Po upływie 1 s energia kinetyczna kulki jest 3 razy większa od jej energii potencjalnej. Jaki jest okres drgań kulki?

7. Drgania ciała wzdłuż osi y opisuje równanie: y = 0.3 sin(2t+ π /6) Po jakim czasie energia potencjalna będzie 3 razy większa od energii kinetycznej tego ciała, jeśli m=0.02 kg.

8. Drgania ciała wzdłuż osi z opisuje równanie: z=2sin(π t/2-5 π /6) Oblicz wychylenie, prędkość i przyspieszenie ciała po 2s od chwili rozpoczęcia drgań. Oblicz maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia ciała.  

9. Ruch ciała o masie 0.2 kg opisuje równanie: x = 2sin(π t-2 π /3) Oblicz energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą po upływie 1s od chwili rozpoczęcia drgań.

---