Opis układu pomiarowego

Zastosowany w ćwiczeniu krążek Maxwella ma kształt koła zamachowego umocowanego na ośce o promieniu r = 2,5 ± 0,1mm. Masa koła z ośką m = 0,436 ± 0,001 kg. Możliwy do zrealizowania maksymalny spadek ciała wynosi około 65 cm. Całość jest umocowana na specjalnym wypoziomowanym statywie. Po nawinięciu linek na ośkę, krążek blokuje się w gornym położeniu za pomocą specjalnego mechanicznego wyzwalacza. Krążek posiada umieszczone na obwodzie otwory umożliwiające tę blokadę. Wyzwalacz jest sprzęgnięty elektronicznie z fotobramką. Całość umożliwia pomiar czasu spadku krążka Maxwella z dokładnością do 0,001s. W fotobramce zastosowano fotokomórkę reagującą na wąską wiązkę światła z zakresu podczerwieni. Wysokość położenia fotobramki można zmieniać przesuwając ją wzdłuż statywu. Całość zaopatrzona jest w pionowo ustawiony liniał. Znaczniki umieszczone na liniale umożliwiają wyznaczenie położeń ośki krążka oraz fotokomorki w fotobramce z dokładnością do 1 mm.

Wyniki pomiarów

		czas [s]
		t1	t2	t3	t4	t5	tśr
wysokości [mm]	h1=800	7,640	7,653	7,627	7,636	7,655	7,6422
		h2=700	7,180	7,188	7,140	7,160	7,187	7,1710
		h3=600	6,645	6,692	6,702	6,686	6,757	6,6964
		h4=500	5,994	5,987	5,999	5,987	5,983	5,9900
		h5=400	5,366	5,381	5,375	5,365	5,379	5,3732

Niepewność standardowa wyznaczenia czasu opadania

Wartość niepewności standardowej wyraża się wzorem:

Stosując podany wzór otrzymujemy kolejno dla podanych wysokości niepewności pomiaru czasu opadania krążka:

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

	u(t)
h1=800	0,005281
h2=700	0,009241
h3=600	0,017991
h4=500	0,002864
h5=400	0,003292

Przyspieszenie liniowe spadku krążka

Przyspieszenie liniowe obliczamy korzystając ze wzoru:

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

h[m]	a [m/s^s]
0,80	0,02739589
0,70	0,02722504
0,60	0,02676076
0,50	0,0278706
0,40	0,0277092

Bezwzględna niepewność złożona przyspieszenia

Tę niepewność obliczamy ze wzoru:

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

uc(a)

0,002871494

0,003352442

0,004418658

0,007804755

0,020829627

dla h=0,8m

dla h=0,7m

dla h=0,6m

dla h=0,5m

dla h=0,4m

Końcowa prędkość ruchu postępowego

Końcową prędkość ruchu postępowego obliczamy wg wzoru:

Stosując ten wzór otrzymujemy dla kolejnych wysokości:

h[m]	vk [m/s]
0,80	0,20936
0,70	0,19523
0,60	0,17920
0,50	0,16694
0,40	0,14889

Niepewność złożona bezwzględna prędkości końcowej

Wartości obliczamy wg wzoru:

Dla pozostałych wysokości:

h[m]	uc(vk) [m/s]
0,80	0,015113
0,70	0,016112
0,60	0,017277
0,50	0,019278
0,40	0,021491

Końcowa energia kinetyczna ruchu postępowego

Wartości obliczamy ze wzoru:

Stosując wzór dla poszczególnych wysokości otrzymujemy:

h[m]	Ekp [J]
0,80	0,009556
0,70	0,008309
0,60	0,007001
0,50	0,006076
0,40	0,004832

Bezwzględna niepewność złożona wyznaczenia energii

Niepewność tę obliczamy ze wzoru:

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

h[m]	uc(Ekp) [J]
0,80	0,006589295
0,70	0,007024923
0,60	0,007532853
0,50	0,008405196
0,40	0,009370063

Moment bezwładności krążka

Wartość obliczamy ze wzoru:

Kolejno dla podanych wysokości otrzymujemy:

h[m]	Jo [kg∙m^2]
0,80	0,001217
0,70	0,0014
0,60	0,001662
0,50	0,001916
0,40	0,002409

Niepewność bezwzględna złożona

Stosujemy wzór:

Otrzymujemy:

h[m]	uc(Jo)
0,80	0,00016378
0,70	0,00018674
0,60	0,00022013
0,50	0,00025157
0,40	0,00031453

Przyspieszenie kątowe ɛ

Przyspieszenie kątowe obliczamy wg wzoru:

Otrzymujemy:

h[m]	ɛ [rad/s^2]
0,80	10,95836
0,70	10,89002
0,60	10,7043
0,50	11,14824
0,40	11,08368

Niepewność złożona bezwzględna przyspieszenia kątowego

Niepewność tę możemy obliczyć wg wzoru:

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

h[m]	uc(ɛ) [rad/s^2]
0,80	0,8304943
0,70	0,9331606
0,60	1,0608319
0,50	1,3128246
0,40	1,6201962

Moment bezwładności ze wzoru 41.8

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

h[m]	Jo[kg∙m^2]
0,80	0,000973
0,70	0,000979
0,60	0,000996
0,50	0,000956
0,40	0,000962

Można zauważyć, że moment bezwładności jest zależny od przyspieszenia kątowego. Gdy przyspieszenie kątowe zwiększa się, to bezwładność maleje. Gdy natomiast przyspieszenie kątowe jest mniejsze, to bezwładność rośnie.

Końcowa prędkość kątowa krążka

Korzystamy ze wzoru:

Otrzymujemy:

	ω k[rad/s]
h1=800	83,74574
h2=700	78,09232
h3=600	71,68031
h4=500	66,77796
h5=400	59,55483

Bezwzględna niepewność prędkości kątowej krążka

Korzystamy ze wzoru:

Dla pozostałych wysokości:

h[m]	uc(wk)
0,80	6,347051
0,70	6,692451
0,60	7,106365
0,50	7,863884
0,40	8,705715

Końcowa energia kinetyczna ruchy obrotowego

Tę energię obliczamy ze wzoru:

Po podstawieniu wartości otrzymujemy:

h[m]	Eko
0,80	3,41217231
0,70	2,98570292
0,60	2,55929538
0,50	2,13250421
0,40	1,70603152

Bezwzględna niepewność końcowej energii kinetycznej ruchu obrotowego

Korzystamy ze wzoru:

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

h[m]	uc(Eko) [J]
0,80	0,246984
0,70	0,246974
0,60	0,246965
0,50	0,246958
0,40	0,246952

Stosunek energii kinetycznych ruchu obrotowego do postępowego

h[m]	Eko/Ekp
0,80	357,0829
0,70	359,33
0,60	365,5815
0,50	350,9838
0,40	353,034

Początkowa energia potencjalna krążka

Korzystamy ze wzoru:

Podstawiając do wzoru otrzymujemy:

h[m]	Ep [J]
0,80	3,421728
0,70	2,994012
0,60	2,566296
0,50	2,13858
0,40	1,710864

Bezwzględna niepewność początkowej energii potencjalnej krążka

Korzystamy ze wzoru:

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

h[m]	uc(Ep)
0,80	0,246984
0,70	0,246974
0,60	0,246965
0,50	0,246958
0,40	0,246952

WNIOSKI

Po wykonaniu obliczeń można zaobserwować związki pomiędzy energiami. Zasada zachowania energii mówi, że początkowa energia potencjalna (u nas E_p) krążka podczas ruchu zostaje zamieniona na sumę energii kinetycznej ruchu postępowego (E_kp) oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego (E_ko). Proste zsumowanie wartości za pomocą wzoru potwierdza zasadę zachowania energii:

Więc zmierzmy dla pierwszej wysokości (h=0,8m):

Jak widać wynik jest bezbłędny i nie ma konieczności uwzględniania niepewności pomiarowych. Dla pozostałych wysokości spadku krążka ten wzór będzie prawdziwy.

Zostało dowiedzione, że cała początkowa energia potencjalna zostaje zamieniona na sumę energii końcowych kinetycznej ruchu postępowego oraz kinetycznej ruchu obrotowego.

---