Sprawozdanie z laboratorium z Podstaw Automatyki		Autorzy: Mazur Mateusz Pałosz Tomasz
Data: 04.05.2oo6 r.	Temat: Stabilność liniowych układów sterowania

1. Schemat blokowy badanego układu.

2. Transmitancje policzone za pomocą wzorów:

Gr=2.4*(tf([1],[1])+tf([1],[0.5 0])+tf([3],[0.12 1]));

Go=Gr*G;

Gz=Go/(1+Go);

Transmitancja układu otwartego.

0.432 s² + 15.26 s + 7.2

Go = -------------------------------------------------

0.36 s⁴ + 3.3 s³ + 2.56 s² + 0.5 s

Transmitancja układu zamkniętego.

0.1555 s⁶ + 6.921 s⁵ + 54.07 s⁴ + 63.05 s³ + 26.06 s² + 3.6 s

Gz = -------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1296s⁸ + 2.376s⁷ + 12.89s⁶ + 24.18s⁵ + 63.92s⁴ + 65.61s³ + 26.31s² + 3.6s

3. Miejsca zerowe równania charakterystycznego układu zamkniętego:

0; -8.7410; -8.3507; 0.0351 + 2.1841i; 0.0351 - 2.1841i; -0.5092; -0.4681; -0.3346;

Współczynniki równania charakterystycznego są dodatnie. Część rzeczywista dwóch pierwiastków (0.0351 + 2.1841i; 0.0351 - 2.1841i) jest dodatnia zatem układ jest niestabilny.

4. Kryterium Hurwitza.

Kryterium Hurwitza jest jednym z kryteriów sprawdzania stabilności układu. Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu jest istnienie dodatnich współczynników równania charakterystycznego transmitancji. Następnie konstruuje się macierz Hurwitza i liczy się podwyznaczniki tej macierzy. Jeśli któryś z wyznaczników jest ujemny to znaczy, że układ jest niestabilny. Zera oznaczają, że układ jest na granicy stabilności. Układ jest stabilny, jeśli wszystkie podwyznaczniki są dodatnie.

Układ zamknięty jest stabilny dla Ti >= 0.591

5. Kryterium Nyquista.

Kryterium Nyquista pozwala na badanie zamkniętego układu regulacji na podstawie otwartego układu regulacji. Jeśli układ otwarty jest stabilny to układ zamknięty też jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki Go(jω) układu otwartego przy zmianie ω od 0 do ∞, nie obejmuje punktu (-1, j0). Jeśli układ otwarty jest niestabilny i jego transmitancja ma r biegunów w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, to układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres Go(jω) obejmuje punkt (-1, j0) r/2 razy.

Zamknięty układ jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy logarytmiczna charakterystyka układu otwartego przy częstotliwości ω = -180 odpowiadającej przesunięciu fazowemu -180° ma wartość ujemną.

Charakterystyka Bodego przedstawia tą samą informację, co wykres, Nyquista, z tą różnicą, że pokazuje zależność amplitudy i fazy od częstotliwości w postaci wyraźnej.

6. Wykres z zapasem stabilności.

Zapas stabilności Gm = -1.74 dB; Pm = -1.94 deg.

7. Wykres linii pierwiastkowych.

Wykres linii pierwiastkowych. Matlab 6.5.

Wykres linii pierwiastkowych w powiększeniu. Matlab 6.5

Wykres linii pierwiastkowych pokazuje zera i bieguny układu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym przy zmianach wzmocnienia od zera do nieskończoności. Wykres ten pozwala na analizę położenia biegunów i zer w zależności od wzmocnienia, a w szczególności wpływu wzmocnienia na stabilność zamkniętego układu.

Regulacja członu statycznego III rzędu oraz dwuinercyjnego z astatyzmem I rzędu regulatorem PID.

rys. Układ stabilny. Kp=2; Ti=0.1; Td=0.5; rys. Układ na granicy stabilności. Kp=8.2; Ti=0.1; Td=0.5;

rys. Układ niestabilny. Kp=2; Ti=1;Td=0.5; rys. Ukł. stabilny. Kp=1; Ti=0.01; Td=2;

rys. Ukł. na granicy stabilności. Kp=2.2; rys. Ukł. niestabilny. Kp=1; Ti=0.01; Ti=0.01; Td=2; Td=0.1;

---