Systemy czasu dyskretnego: nie posiadające pamięci: wyjście w każdym punkcie y[n] zależy tylko od wejścia x[n]; liniowe: spełniają zasadę superpozycji T{ax1[n]+bx2[n]}=aT{x1[n]}+bT{x2[n]}, gdy a=b=1 to addytywność, gdy b=0 to homogeniczność; nieliniowe: wystarczy jedno n nie będące addytywne lub homogeniczne; kumulujące: y[n]=∑(k=-∞,n)x[k], (może być liniowy); przyczynowe: opóźnienie (przesunięcie) jest takie samo na wejściu jak i na wyjściu x1[n]=x[n-n0] => y1[n]=y[n-n0]; kompresujące: y[n]=x[Mn], M>0, wyjście zawiera, co M-te wejście, nie jest niezmienny w czasie; stabilny; w sensie ograniczonego we-wy (BIBO) jest w.i.t.w.g każde ograniczone wejście daje ograniczone wyjście, |x[n]|≤B<∞; wyznaczenie wyjścia dla danego wejścia i odp impulsowej (LTI): wyjście to superpozycja odpowiedzi na pojedyncze impulsy; y[n]=T{x[n]}=T{∑x[k]δ[n-k]}=∑x[k]∙hk[n]= ∑x[k]∙h[n-k] - splot dyskretny; właściwości LTI: przemienność: x[n]*h[n]=h[n]*x[n]; rozdzielczość dodawania względem splotu: x[n]*(h1[n]+h2[n])=x[n]* h1[n]+x[n]* h2[n]; połączenie szeregowe: mnożenie; równoległe: dodawanie; stabilność: LTI jest stabilny S=∑|h[k]|<∞ - każde ogr pobudzenie powoduje ogr odpowiedź (war. konieczny i wystarczający); |x(n)|<M => |y(n)|=| ∑h(k)∙x(n-k)| ≤ ∑|h(k)|∙|x(n-k)| < M∙∑|h(k)| < ∞; dow. war. wystarczającego: trzeba pokazać, że dla S=∞ ogr wejście powoduje nieogr odp x[n]={ h*[-n] / |h[n]|, h[n]≠0 lub 0, h[n]=0 wtedy y[0]=∑x[-k]∙h[k]=∑ |h[k]|2 / |h[k] = S więc możliwe jest aby ogr wygnał wejściowy dawał na wyj sygnał nieogr przyczynowość: x1(n)=x2(n), n<n0 => y1(n)<y2(n), n<n0 charakterystyka częstotliwościowa: jeśli wejście: x[n]=ejωn to odp układu y[n]= ejωn∙∑h[k]∙ejωk a ch-ka f H(ejω)=∑h[k]∙e-jωk rozwinięcie w szereg Fouriera: Jeśli szereg a0/2 + (a1cosx+b1sinx) + (a2cos2x+b2sin2x) + … jest jednostajnie zbieżny to jest szeregiem Fouriera a jego współczynniki określone są wzorami: ak=1/π ∫(-π,π) f(x)coskxdx, bk=1/π ∫(-π,π) f(x)sinkxdx; jeśli funkcja jest parzysta to bk=0 i ak=2/π ∫(0,π) f(x)coskxdx; jeśli funkcja jest nieparzysta (symetryczna wzgl pocz ukł współ) to ak=0 i bk=2/π ∫(0,π) f(x)sinkxdx transformata Fouriera: prosta: X(jω)=∫x(t)e-jω dt odwrotna: x(t)=1/2π ∫X(jω)ejωdω warunki istnienia: x(t) musi spełniać warunki Dirichleta: ∫|x(t)|dt<∞; x(t) posiada skończone wartości minimów i maximów w każdym skończonym przedziale; posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale; właściwości tr Fouriera: liniowość: ax(t)+by(t)=aX(jω)+bY(jω) - wynika z linowości całkowania; symetria: X(jt)2πx(-ω) D: t→Ω, F(X(jt))=∫X(jt)e-jωndt=2π(1/2π ∫X(jΩ)ejΩ(-ω)dΩ)=2π∙(-ω) skalowanie: x(at)1/a X(ω/a) D: τ=at => dτ=dt/a, F(x(at))=∫x(at)e-jωdt = 1/a ∫x(τ)e-jωτ/adτ=1/a X(ω/a) przesunięcie w dziedzinie czasu: x(t-t0)e-jωX(jω) D: F(x(t-t0))=∫x(t-t0)e-jωdt=∫x(τ)e-jω(τ+t0)dτ=e-jωt0∫x(τ)e-jωτdτ=e-jω0X(jω)=|X(jω)|e^(j∙{arg[X(jω)]-ωt0} przesunięcie w dziedzinie częstotliwości: e±jωt0x(t)X(j(ω±ω0)) D: F(e±jωt0x(t))=∫[ e±jω0tx(t)]e-jωdt=∫x(t)e-j(ω±ω0)dt= X(j(ω±ω0)) modulacja rzeczywista: x(t)cos(ω0t)½[X(ω-ω0)+X(ω+ω0)], x(t)sin(ω0t)-j/2[X(ω-ω0)-X(ω+ω0)] D: wynika ze wzorów Eulera, liniowości całkowania i modulacji zespolonej iloczyn sygnałów: z(t)=x(t)y(t) Z(jω)=1/2π ∫X(jv)Y(j(ω-v))dv=X(jω)○Y(jω) splot sygnałów: z(t)= x(t)○y(t)=∫x(τ)y(t-τ)dτ Z(jω)= X(jω)Y(jω) pochodna sygnału: dnx(t)/dtn (jω)nX(jω) całka sygnału: ∫(-∞,τ) x(τ)dτ 1/jω X(jω)+πX(0)δ(ω) korelacja sygnau: z(t)=∫x(τ)y*(t-τ)dτZ(jω)=X(jω)Y*(jω) równość Parservala: ∫|x(t)|2dt=1/2π ∫(X(jω)|2dω D: ∫|x(t)|2dt=∫x(t)x*(t)dt=∫(1/2π ∫X(jω)ejωdω)x*(t)=1/2π ∫X(jω) (∫x*(t)ejωdt)dω=1/2π ∫X(jω)X*(jω)dω=1/2π ∫(X(jω)|2dω parametry okien czasowych: względny poziom tłumienia największego listka bocznego - różnica pomiędzy max poziomem listka głównego i listka bocznego; szerokość listka głównego - różnica f pomiędzy max listka głównego i pierwszym minimum widma; okna nieparametryczne: prostokątne: w(n)=1, dla n=0..N-1, widmo sin(x)/x trójkątne bartletta: w(n)={2n / N-1 gdy 0≤n≤ (N-1)/2 lub 2-(2n/ N-1) gdy (N-1)/2≤n≤N-1) kosinusowe: w(n)=a0-a1cos(2πn/N-1)+a2cos(4πn/N-1)-a3cos(6πn/N-1), dla L=3 hamminga:a0=0,42 a1=0,46 parametryczne: poisonna: w(n)=exp(-2a∙|n|/N),0 |n| N/2 próbkowanie sygnałów: przekształca sygnał o ciągłym czasie na sygnał o czasie dyskretnym; np. próbkowanie równomierne sygnału x(t) to mnożenie go przez szereg impulsów diraca xδ(t)=x(t)∙∑δ(t-kT); iloczyn w dziedzinie czasu splot w dzie f; tw: Shannona-Kotelnikowa: Jeśli fmax jest max f sygnału analogowego x(t) to aby odtworzyć z sygnału spróbkowanego sygnał oryginalny f próbkowania fp musi być co najmniej 2 razy większa od fmax fp≥2fmax aliasing: weźmy sygnał x(t)=(2πf0t); próbkujemy z fs , otrzymamy zbiór wartości dyskretnych w chwilach ts=1/fs, czyli x[n]=sin(2πf0∙n∙1/fs)= sin(2π(f0+k∙fs)∙n∙ts) wynika z tego że ciąg próbek reprezentuje nie jedną ciągłą sinusoidę o f f0 ale przebiegi o f równych sumie f przebiegu podstawowego oraz wielokrotności f próbkowania. Po próbkach w czasie dyskretnym nie rozróżnimy f przebiegu. Wynika stąd, że widmo dowolnego spróbkowanego sygnału ciągłego będzie zawierało okresowa powielenia jego widma. Np. gdy sygnał będzie się skandal z dwu sinusoid o f f0 i f0+kfs wtedy nie będzie możliwe jednoznaczne odróżnienie tych przebiegów i efekt ten to aliasing; likwiduje się za pomocą fdp próbkowanie pasmowe: stosujemy, jeśli sygnał jest skupiony wokół pewnej f nośnej fc a szerokości sygnału jest ograniczona - szerokość spektralna wynosi B wtedy (2fc-B)/m≥fs≥(2fc+B)/(m+1) a m - liczba naturalna - zapewnia że fs≥2B; w wyniku takiego próbkowania czasem jest odwrócone widmo względem zera częstotliwości