RAFAŁ MALON 2000-02-28

IV rok FIZYKI

prowadzący :

dr R. Styrkowiec

dr P. Mazur

Ć W I C Z E N I E

TEMAT : WYZNACZANIE STAŁEJ PLANCKA W OPARCIU O ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE.

I. ZAGADNIENIA TEORETYCZNE.

1. TEORIA KWANTÓW.

Zdolność emisyjna. Prawo Kirchoffa. Ciało doskonale czarne: prawa promieniowania i rozkład emisji.

Wielkością charakteryzującą natężenie promieniowania cieplnego jest mierzony w watach strumień energii. Strumień energii emitowany przez jednostkę powierzchni promieniującego ciała we wszystkich kierunkach, zawartych wewnątrz kąta bryłowego 2π, nazywamy emitancją energe­tyczną lub całkowitą zdolnością emisyjną ciała. Będziemy oznaczali tę wielkość literą R. Całkowita zdolność emisyjna jest funkcją temperatury. Promieniowanie złożone jest z fal o różnych częstościach ω (lub o różnych długościach λ). Oznaczmy strumień energii emitowany przez jednostkową powierzchnię ciała w przedziale częstości dω przez dR_ω. W przypadku małego przedziału dω strumień dR_ω jest proporcjonalny do dω

(1)

Wielkość r_ω nosi nazwę zdolności emisyjnej ciała. Zdolność emisyjna, podobnie jak i emitancją energetyczna, silnie zależy od temperatury. Zatem r_ω jest funkcją częstości i temperatury.

Zdolność emisyjną i emitancję energetyczną można ze sobą powiązać za pomocą wzoru:

(2)

Aby podkreślić, że emitancją energetyczna i zdolność emisyjna są zależne od temperatury opatrzone zostały indeksem T.

Promieniowanie można opisywać za pomocą częstości ω oraz — za­miennie — za pomocą długości fali λ. Odcinkowi widma częstości dω odpowiada przedział długości fali dλ. Ze wzoru λ = 2πc/ω wynika prosty związek pomiędzy wielkościami dω i dλ opisującymi ten sam odcinek wid­ma. Po zróżniczkowaniu otrzymujemy

(3)

Znak minus w tym wyrażeniu nie ma istotnego znaczenia, wskazuje on jedynie na to, że ze wzrostem jednej wielkości (ω lub λ) druga wielkość maleje. Dlatego też nie będziemy dalej uwzględniać tego znaku.

Przypadającą na przedział dλ część emitancji energetycznej możemy przedstawić — analogicznie do (1) - w postaci

(4)

Jeżeli pomiędzy występującymi we wzorach (1) i (4) przedziałami dω i dλ zachodzi relacja (3), to znaczy jeśli odnoszą się one do tego samego fragmentu widma, to wielkości dR_ω i dR_λ powinny się pokrywać

Podstawiając do ostatniego wzoru wyrażenie (3) zamiast dλ otrzymujemy

skąd:

(5)

Za pomocą wzoru (5) możemy przechodzić od r_λ do r_ω i z powrotem. Niech na mały element powierzchni ciała pada strumień energii pro­mienistej dΦ_ω, w postaci fal elektromagnetycznych, których długości za­warte są w przedziale dω. Ciało będzie pochłaniać część tego strumienia dΦ_ω'. Bezwymiarowa wielkość

(6)

nosi nazwę zdolności absorpcyjnej ciała. Zdolność absorpcyjna jest funkcją częstości i temperatury.

Z definicji a_ωT nie może być większe od jedności. W przypadku ciała i całkowicie pochłaniającego padające nań promieniowanie o wszystkich częstościach zachodzi a_ωT ≡ 1. Takie ciało nazywamy ciałem doskonale czarnym. Ciało, dla którego a_ωT = a_T = const < l, nazywamy ciałem szarym.

Istnieje związek pomiędzy zdolnością emisyjną a zdolnością absorpcyjną dowolnego ciała. Można przekonać się o tym rozpatrując poniższe doświadczenie.

Rys.1.

Wyobraźmy sobie zamkniętą powłokę utrzymywaną w stałej tempera­turze T. Umieśćmy wewnątrz kilka ciał (rys.1) oraz niech pozostały obszar wewnątrz powłoki wypełnia próżnia. W tej sytuacji wymiana energii pomiędzy ciałami oraz między ciałami i powłoką może odbywać się jedynie na drodze emisji i absorpcji fal elektromagnetycznych. Doświadczenie wskazuje, że taki układ po pewnym czasie osiągnie stan równowagi termicz­nej - wszystkie ciała będą miały tę samą temperaturę równą temperaturze powłoki T. W takim stanie ciało mające większą zdolność emisyjną r_ωT traci z jednostki powierzchni w jednostce czasu więcej energii niż ciało mające mniejsze r_ωT. Ponieważ temperatura (a zatem i energia) ciał nie zmienia się, ciało emitujące więcej energii powinno również więcej energii pochłaniać, czyli mieć większe a_ωT. Wynika stąd zależność

(7)

gdzie indeksy l, 2, 3 itd. odnoszą się do różnych ciał.

Wzór (7) wyraża odkryte przez Kirchhoffa prawo, które można sfor­mułować w następujący sposób: stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej nie zależy od rodzaju ciała i jest on dla wszystkich ciał jednakową (uniwersalną) funkcją częstości (długości fali) i temperatury:

(8)

Obie wielkości r_ωT i a_ωT mogą się bardzo silnie zmieniać przy prze­chodzeniu od ciała do ciała. Jednakże ich stosunek pozostaje jednakowy dla wszystkich ciał. Oznacza to, że ciało silniej pochłaniające dowolne promieniowanie również silniej je emituje (nie należy tu mylić emisji promieni z ich odbiciem).

Dla ciała doskonale czarnego z definicji mamy a_ωT ≡ 1. Zatem ze wzoru (8) wynika, że dla takiego ciała r_ωT równe jest f(ω,T). W ten sposób uniwersalna funkcja Kirchhoffa nie jest niczym innym jak zdolnością emisyjną ciała doskonale czarnego.

W przypadku rozważań teoretycznych jako charakterystyki składu widmowego zrównoważonego promieniowania cieplnego wygodniej jest używać funkcji częstości f(ω,T). Jednakże w pracach doświadczalnych dogodniej jest stosować funkcję długości fali ϕ(λ,T). Obie te funkcje wiąże ze sobą wzór:

(9)

analogiczny do wzoru (5). Zgodnie z (9) na to, aby na podstawie znanej funkcji f(ω,T) znaleźć ϕ(λ,T), należy w f(ω,T) zamiast ω podstawić 2πc/λ i otrzymane w ten sposób wyrażenie pomnożyć przez 2nc/λ²:

(10)

Aby znaleźć f(ω,T) na podstawie znanego ϕ(λ, T), należy skorzystać ze wzoru

(11)

Ciała doskonale czarne w rzeczywistości nie istnieją. Sadza i czerń platynowa mają zdolność absorpcyjną a_ωT bliską jedności, ale jedynie w ograniczonym zakresie częstości; w dalekiej podczerwieni ich zdolność absorpcyjna jest znacznie mniejsza od jedności. Jednakże możliwe jest skonstruowanie urządzenia o własnościach dowolnie bliskich własnościom ciała doskonale czarnego. Takie urządzenie ma postać prawie zamkniętej wnęki, tj. wnęki z małym otworem (rys.2). Po przeniknięciu do wnętrza przez otwór, promieniowanie, nim uda mu się wydostać tą samą drogą z powrotem na zewnątrz, ulega wielokrotnym odbiciom. Przy każdym odbiciu część energii jest pochłaniana, w wyniku czego praktycznie całe promieniowanie o dowolnej częstości jest przez taką jamę pochłaniane.

Rys.2

Zgodnie z prawem Kirchhoffa zdolność emisyjna takiego urządzenia jest bardzo zbliżona do f (ω,T), przy czym T oznacza temperaturę ścianek wnęki. Zatem, jeżeli ścianki wnęki utrzymywane są w temperaturze T, to z otworu emitowane jest promieniowanie, którego skład widmowy jest bardzo bliski promieniowaniu ciała doskonale czarnego o tej samej tem­peraturze. Rozszczepiając to promieniowanie za pomocą siatki dyfrakcyjnej i mierząc natężenie poszczególnych fragmentów otrzymanego w ten sposób widma, można doświadczalnie znaleźć postać funkcji f(ω,T) lub ϕ(λ,T)

Rys.3

Wyniki takich doświadczeń przedstawiono na rys.3. Poszczególne krzywe odnoszą się do różnych wartości temperatury T ciała doskonale czarnego. Powierzchnia pod krzywą odpowiada emitancji energetycznej ciała dosko­nale czarnego o danej temperaturze.

Z rysunku 3 widać, że wraz ze wzrostem temperatury emitancja energetyczna (całkowita zdolność emisyjna ciała) ciała doskonale czarnego silnie wzrasta, natomiast maksimum zdolności emisyjnej przesuwa się w kierunku fal krótszych.

Prawo Stefana-Boltzmanna i prawo Wiena

Teoretyczne wyjaśnienie praw promieniowania ciała doskonale czarnego miało ogromne znaczenie w historii fizyki — doprowadziło ono do powsta­nia pojęcia kwantów energii.

Przez dłuższy czas próbowano teoretycznie wyprowadzić funkcję f(ω,T) nie uzyskując jednak ogólnego rozwiązania.

D. Stefan (w 1879r.) na podstawie analizy danych doświadczalnych doszedł do wniosku, że emitancja energetyczna R dowolnego ciała jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej. Jednakże późniejsze bardziej dokładne pomiary wykazały, że jego wnioski były błędne.

L. Boltzmann (1884r.) wychodząc z rozważań termodynamicznych, otrzymał na drodze teoretycznej następujący wzór na emitancję energe­tyczną ciała doskonale czarnego:

(12)

gdzie σ - stały współczynnik, T — temperatura bezwzględna. Zatem wnio­sek, do którego Stefan doszedł dla ciał nie będących ciałami czarnymi (nie przeprowadzał przecież doświadczeń z ciałami doskonale czarnymi), okazał się słuszny jedynie dla ciał doskonale czarnych.

Związek (12) między emitancja energetyczną ciała doskonale czarnego a jego temperaturą bezwzględną otrzymał nazwę prawa Stefana-Boltzmanna. Podobnie współczynnik σ nazywamy stalą Stefana-Boltzmanna. Jej wartość doświadczalna wynosi

σ = 5,7•10^-8W/m² K⁴). (13)

W. Wien (w 1893r.) posługując się nie tylko termodynamiką, ale również i teorią elektromagnetyzmu, wykazał, że funkcja rozkładu widmo­wego powinna mieć postać

(14)

gdzie F — pewna funkcja ilorazu częstości i temperatury.

Zgodnie z (10) otrzymujemy następujące wyrażenie na funkcję ϕ(λ,T):

(15)

gdzie ψ(λT) - pewna funkcja iloczynu λT.

Wyrażenie (4) pozwala znaleźć zależność między temperaturą a dłu­gością fali λ_m, dla której funkcja ϕ(λ,T) osiąga maksimum. Zróżniczkujmy to wyrażenie po λ:

(16)

Wyrażenie w nawiasach kwadratowych stanowi pewną funkcję Ψ(λT). Dla długości fali λ_m odpowiadającej maksimum funkcji ϕ(λ,T) wyrażenie (5) powinno przyjmować wartość zerową

Z doświadczenia wiadomo, że λ_m ma wartość skończoną (λ_m ≠ ∞). Powinien być zatem spełniony warunek: Ψ(λ_mT) = 0. Rozwiązanie ostatniego równania względem niewiadomej λ_mT daje dla tej niewiadomej pewną liczbę, którą oznaczymy literą b. Otrzymujemy w ten sposób związek

(17)

noszący nazwę prawa przesunięć Wiena.

Wyznaczona doświadczalnie wartość stałej b wynosi

(18)

Wzór Rayleigha-Jeansa

Rayleigb i Jeans, wychodząc z twierdzenia klasycznej statystyki o równomierności rozkładu energii na wszystkie stopnie swobody, spróbowali wyznaczyć gęstość promieniowania zrównoważonego u(ω,T). Założyli, że na każde drganie elektromagnetyczne przypada średnio energia równa dwóm połówkom kT; jedna połówka przypada na energię elektryczną, a druga na magnetyczną (przypomnijmy, że według klasycznych wyobrażeń na każdy stopień swobody oscylatora przypada średnio energia równa dwóm połówkom kT).

Promieniowanie zrównoważone we wnęce stanowi układ fal stojących. Bez uwzględnienia wszystkich możliwych rodzajów polaryzacji liczba fal stojących w jednostce objętości wnęki określona jest wzorem:

(19)

w któ­rym prędkość v należy przyjąć równą c. Wzdłuż wybranego kierunku mogą rozchodzić się dwie fale elektromagnetyczne, różniące się kierunkiem polaryzacji (spolaryzowane wzajemnie prostopadle). Aby to uwzględnić, należy równanie (19) pomnożyć przez dwa. Otrzymujemy zatem

(20)

Jak już mówiliśmy, Rayleigh i Jeans, wychodząc z zasady ekwipartycji energii, przypisywali każdej oscylacji energię <ε> równą kT.. Po pomnożeniu wzoru (20) przez <ε> otrzymujemy gęstość energii przypadającą na prze­dział częstości do:

Skąd

(21)

Przekształcając równanie (21) zgodnie ze wzorem wiążącym zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego z gęstością energii zrównoważonego promieniowania cieplnego:

f(ω,T)=
u(ω,T) (22)

otrzymujemy wyrażenie na zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego

(23)

Zauważmy, że funkcja (23) spełnia otrzymany przez Wiena warunek (14).

Wyrażenia (21) i (23) są równoważne i każde z nich nazywamy prawem Rayleigha-Jeansa. Prawo to dość dobrze zgadza się z danymi doświad­czalnymi dla dużych długości fali, natomiast dla małych długości fali pojawia się silna rozbieżność z doświadczeniem (patrz rys. 4), na którym linią ciągłą przedstawiono krzywą doświadczalną, a linią przerywaną - krzywą opisywaną wzorem Rayleigha-Jeansa).

Rys.4

Scałkowanie wyrażenia (21) po ω w granicach od 0 do ∞ daje nie­skończoną wartość równowagowej gęstości energii u(T). Wynik ten, który otrzymał nazwę katastrofy w nadfiolecie, również jest sprzeczny z doświad­czeniem. Równowaga między promieniowaniem i ciałem promieniującym ustala się dla skończonych wartości u(T).

Wzór Plancka

Wyprowadzenie wzoru Rayleigha-Jeansa jest z klasycznego punktu widzenia bez zarzutu. Dlatego też rozbieżność między tym prawem i do­świadczeniem wskazuje na występowanie jakichś prawidłowości sprzecz­nych z wyobrażeniami fizyki klasycznej.

W 1900 r. Max Pianek osiągnął sukces, znajdując postać funkcji u(ω,T), dokładnie odpowiadającą danym doświadczalnym.

Musiał w tym celu zrobić założenie, które było całkowicie obce klasycznym wyobraże­niom, a mianowicie przyjąć, że promieniowanie elektromagnetyczne emito­wane jest w postaci osobnych porcji energii o wartości proporcjonalnej do częstości promieniowania:

(24)

Współczynnik proporcjonalności
został później nazwany stalą Plancka (właściwie mówiąc, stałą Plancka nazywamy współczynnik proporcjonalności między ε i częstością ν, ε=hv. Natomiast stała
(h kreślone) jest równa stałej Plancka h podzielonej przez 2π.)

Wartość liczbowa stałej Plancka wynosi h = 6,62-10^-34 J•s = 6,62-10^-27 erg•s.

W mechanice występuje wielkość o wymiarze „energia•czas", która nosi nazwę działania. Dlatego też niekiedy stałą Plancka nazywamy kwantem działania. Zwróćmy uwagę, że h ma taki sam wymiar jak moment pędu. Jeżeli promieniowanie emitowane jest porcjami po
ω, to jego energia ε_n powinna być równa wielokrotności
ω:

(25)

W stanie równowagi energia powinna rozkładać się na poszczególne oscylacje według prawa Boltzmanna. Prawdopodobieństwo P_n tego, że energia oscylacji o częstości ω ma wartość ε_n określone jest wzorem

(26)

Znając prawdopodobieństwo pojawiania się poszczególnych wartości energii oscylacji, można znaleźć średnią wartość tej energii <ε>. Zgodnie ze wzorem

(27)

Podstawiając tu wzory (25) i (26) na otrzymujemy następujące wyrażenie na średnią wartość energii promieniowania:

(28)

Dla ułatwienia obliczeń wprowadźmy oznaczenie x=
ω/kT i załóżmy, że x może przyjmować ciągłe wartości. Wyrażenie (28) możemy zapisać w postaci

(29)

Argumentem logarytmu we wzorze (29) jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego, którego pierwszy wyraz równy jest jedności, a iloraz e^-x. Ponieważ iloraz jest mniejszy od jedności, szereg jest zbieżny i, jak wiadomo z algebry,

Podstawiając sumę szeregu do (29) i różniczkując otrzymujemy

Na koniec podstawiając
ω/kT zamiast x, otrzymujemy ostateczne wyra­żenie na średnią energię promieniowania o częstości ω:

(30)

Zauważmy, że dla
dążącego do zera wzór (30) przekształca się w kla­syczne wyrażenie <ε> = kT. Można się o tym przekonać, podstawiając exp (
ω/kT) ≈ l+
ω/kT, które to przybliżenie jest tym lepsze, im mniejsze jest
. Widać zatem, że gdyby energia mogła przyjmować ciągłe wartości, to jej średnia wartość byłaby równa kT.

Mnożąc przez siebie wyrażenia (19) i (30), otrzymujemy wzór na gęstość energii przypadającą na przedział częstości dω:

Skąd

(31)

Korzystając z zależności (22), dochodzimy do wzoru

(32)

Wyrażenia (31) i (32) są równoważne i każde z nich nosi nazwę wzoru Plancka. Wzór ten dokładnie zgadza się z danymi doświadczalnymi w całym zakresie częstości od zera do nieskończoności. Funkcja (32) spełnia kry­terium Wiena (14). W przypadku gdy
ω/kT<<l (małe częstości lub duże długości fali), funkcję eksponens można zastąpić przybliżeniem l +
ω/kT, w wyniku czego wzór Plancka [(31) lub (32)] przechodzi we wzór Rayleigha-Jeansa [(21) lub (23)]. Wynika to także z tego, że w omawia­nym przypadku wyrażenie (30) jest w przybliżeniu równe kT.

Korzystając z wzoru (10), przekształcamy wyrażenie (31) do postaci

(33)

Na rysunku 5 zestawiono wykresy funkcji (32) i (33), wykreślone dla tej samej temperatury (5000 K). Logarytmiczne skale na osi odciętych

Rys.5

wybrano w ten sposób, by związane wzorem λ = 2πc/ω wartości λ i ω na­kładały się na siebie. Z rysunku widać, że odpowiadająca maksimum funkcji f(ω,T) częstość ω_m nie pokrywa się z 2πc/λ_m gdzie λ_m - długość fali odpowiadająca maksimum ϕ(λ,T).

Z kolei otrzymujemy wyrażenie na emitancję energetyczną ciała do­skonale czarnego

Zamiast ω wprowadźmy bezwymiarową zmienną x =
ω/kT. Podstawienie ω = (kT/
) x, dω = (kT/
)dx przekształca wzór na R* do postaci

Można obliczyć wartość całki określonej w ostatnim wyrażeniu. Jest ona równa π⁴/15 ≈ 6,5. Podstawiając tę wartość, dochodzimy do prawa Stefana-Boltzmanna;

(34)

Po podstawieniu do tego wzoru wartości liczbowych stałych k, c i
, otrzy­mujemy dla stałej Stefana-Boltzmanna wartość 5,6696-10^-8 W/m²•K⁴). bardzo zbliżoną do danych doświadczalnych (13).

Na zakończenie obliczymy wartość stałej b w prawie przesunięć Wiena (17). W tym celu zróżniczkujemy funkcję (33) po λ i otrzymaną pochodną przyrównamy do zera

Spełniające to równanie wartości λ = 0 i λ = ∞ odpowiadają minimom funkcji ϕ(λ,T). Dla wartości λ_m przy której funkcja ϕ osiąga maksimum, wyrażenie zawarte w liczniku w nawiasach klamrowych jest równe zeru. Oznaczając 2π
c/kTλ­_m = x, otrzymujemy równanie

Rozwiązanie tego równania przestępnego daje x = 4,965.

Zatem, 2π
c/kTλ_m= 4,965, skąd

(35)

Po podstawieniu liczbowych wartości
, c i k otrzymujemy dla stałej b war­tość zgodną z wyznaczoną doświadczalnie (18).

Tak więc wzór Plancka daje wyczerpujący opis zrównoważonego promieniowania termicznego.

2. METODY WYZNACZANIA STAŁEJ PLANCKA.

Metoda R*ntgena.

Badanie widm promieni R*ntgena stwierdziło, że w promieniowaniu wysyłanym przez antykatodę mamy dwa odmienne jego rodzaje. Jeden to tzw. promieniowanie hamowania, drugi - to tzw. promieniowanie charakterystyczne. Promieniowanie hamowania daje widmo ciągłe, podobnie jak światło białe, z tą różnicą, że od strony fal krótkich nagle się kończy. Promieniowanie hamowania powstaje przy nagłym zahamowaniu przez antykatodę elektronów biegnących z wielką prędkością jako promienie katodowych. To nagłe zahamowanie wywołuje zaburzenie pola elektromagnetycznego rozchodzące się na wszystkie strony. Rozkład widmowy promieniowania hamowania nie zależy od materiału antykatody, lecz natężenie jego wzrasta z numerem porządkowym i gęstością pierwiastka umieszczonego na antykatodzie. Promieniowanie to od strony fal długich zanika stopniowo, od strony fal krótkich urywa się na fali pewnej określonej długości. Krótszych od niej fal już nie ma w widmie. Długość tej najkrótszej z fal da się obliczyć z równania Einsteina: eU=¹/₂ m v² = hν_max wyrażającego, że energia kinetyczna elektronu zamienia się w całości na energię powstającego fotonu hν_max. Najzasobniejsze w energię fotony wysyłane przez lampę rentgenowską mają energię wynoszącą tyle elektronowoltów, ile woltów wynosi napięcie przyłożone do lampy. Wziąwszy pod uwagę związek ν=c/λ można obliczyć, że najkrótsza fala dawana przez lampę przy danym napięciu U wyraża się w angstremach wzorem λ_min=12345*/U. Teraz wyznaczając wartości λ_min odpowiadające różnym wartościom U, z równania Einsteina można wyznaczyć dokładnie wielkość h.

Stałą Plancka można również wyliczyć korzystając z wiadomości na temat stanu wzbudzonego atomów. Po raz pierwszy doświadczalnie udowodniono istnienie takich stanów w roku 1914, a dokonali tego J.Franck i G.Hertz.

Z efektu fotoelektrycznego.

Do wyznaczenia stałej Plancka wykorzystuje się także zjawisko fotoelektryczne. W zjawisku tym pochłaniane przez ciało fotony przekazują swoją energię elektronom. Gdy energia ta jest większa od pracy wyjścia elektronów to możliwa jest wówczas emisja elektronów z ciała (efekt fotoelektryczny zewnętrzny). Gdy energia fotonów jest mniejsza od pracy wyjścia to zmienia się tylko stan energetyczny elektronów (efekt fotoelektryczny wewnętrzny). W półprzewodnikach i dielektrykach powoduje ono wzrost ich przewodnictwa, zaś w półprzewodniku, który jest w kontakcie z metalem, pojawienie się siły elektromotorycznej. Istotę efektu fotoelektrycznego starał się wytłumaczyć Albert Einstein. Swoją teorię oparł on na założeniach Plancka. W myśl niej foton posiada pęd równy
, gdzie c jest tu prędkością światła. Efekt fotoelektryczny polega na oddziaływaniu fotonów z elektronami, przy czym foton ginie, a elektron przejmuje jego energię. Gdy energia zaabsorbowana będzie większa od pracy wyjścia to elektron zostanie wyemitowany z ciała, natomiast nadwyżka energii zamieni się w energie kinetyczną elektronu.

, gdzie ω - praca wyjścia.

Badając efekt fotoelektryczny za pomocą fotokomórki możemy zapisać, iż energia kinetyczna wynosi E_k = hν - ϕ_{e ,} gdzie ϕ_e jest pracą wyjścia elektronów z katody. Równocześnie możemy napisać następującą zależność :

E_k = e(U₀ + U_p) = eU₀ + ϕ_k - ϕ_e , gdzie ϕ_e - praca wyjścia z anody.

Ostatecznie więc mamy zależność postaci: hν = eU₀ + ϕ_k bądź jak kto woli:
.

Z tego związku możemy znaleźć stałą Plancka, wykreślając zależność U₀(ν) i znajdując współczynnik nachylenia prostej.

3. ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE.

Zjawisko fotoelektryczne. Selektywne zjawisko fotoelektryczne. Fotokomórki.

Bardzo ważną rolę w rozwoju poglądów na naturę światła odegrało zjawisko fotoelektryczne. Zjawisko to, wspomniane już kilkakrotnie w różnych rozdziałach tego kursu, zostało zauważone jeszcze w roku 1888 przez H. G. Hertza, który stwier­dził, że w iskierniku zaopatrzonym w kulki cynkowe iskra występuje o wiele łatwiej, gdy oświetlamy jedną z kulek promieniowaniem nadfioletowym. Zjawiskiem tym zajęli się następnie fizyk rosyjski A. G. Stoletow i fizyk niemiecki W. Hallwachs. Urządzenie, którym posługiwał się Stoletow, widzimy na rys.6 .Płytka K, oświetlana wiązką promieni nadfioletowych, znajduje się w naczyniu opróżnionym z powietrza i zaopatrzonym w kwarcowe okienko O.

Rys.6 Schemat do­świadczenia Stoletowa (O — okienko kwarcowe, K — katoda, A — ano­da,

O — galwanometr. B — bateria)

Na wprost K mamy elektrodę A; pomiędzy K i A wytwarzamy różnicę potencjałów V. Gdy na K pada wiązka promieni nadfioletowych, galwanometr G włączony do obwodu wykazuje przepływ prądu. Sto­letow stwierdził, że prąd płynie tylko wtedy, gdy K jest połączone z biegunem ujemnym baterii, nie płynie zaś, gdy płytkę połączymy z biegunem dodatnim. Ze względu na warunki doświadczenia oznacza to, że płytka K pod wpły­wem naświetlania tymi promieniami traci naboje ujemne. Stoletow stwierdził dalej, że natężenie prądu, który bę­dziemy nazywać fotoelektrycznym. jest proporcjonalne do natężenia padającego promieniowania. Wynik ten potwier­dzony został przez J. Elstera i H. Geitela, którzy zmie­niali natężenie wiązki światła w bardzo szerokich granicach. Dzisiaj wiemy, ze proporcjonalność zostaje zachowana nawet wtedy gdy zmienimy natężenie światła w stosunku l:10⁹. Wreszcie Stoletow stwierdził, że przepływ prądu fotoelektrycznego nie wykazuje dostrzegalnego zapóźnienia wzglę­dem naświetlania; prąd ten pojawia się wraz z naświetlaniem.

Dopiero w roku 1899 Ph. Lenard, który podjął systematyczne badania zjawiska fotoelektrycznego stwierdził, że ujemnie naładowane cząstki wybiegające z naświetlo­nej płytki są to elektrony; można to było wykazać mierząc odchylenie wiązki fotoelektronów w poprzecznym polu elektrycznym i magnetycznym i określając dla nich stosunek e/m (masy do naboju).

Najbardziej charakterystyczny dla zjawiska fotoelektrycznego wynik uzyskał Lenard badając prędkości i energie fotoelektronów. W tym celu stosuje się zmienną różnicę potencjałów V między naświetlaną płytką K a płytką A (rys. 7). Zależność natężenia prądu od przyłożonego napięcia widzimy na rys.7 Jak widać, prąd fotoelektryczny płynie jeszcze i wówczas, gdy płytka A ma napięcie ujemne w sto­sunku do K; oznacza to, że fotoelektrony, wybiegające z K mają pewną energię pozwalającą im przebyć hamującą różnicę potencjałów.

Rys.7. Urządzenia Lenarda do bada­nia prędkości i energii fofcoelektronów (A — anoda

z okienkiem, O — galwano-metr, B - bateria)

Rys. 8. Zależność natężenia prądu I od przyłożonego napięcia U w do­świadczeniu Lenarda

Zauważyć należy, że gdy w grę wchodzą małe różnice potencjału między A i K, trzeba zwracać uwagę na napięcia kontaktowe występujące w obwodzie, które są rzędu l V i mogą spowodować występowanie dodatkowych różnic potencjału Przeciwnapięcie, przy którym natężenie prądu fotoelektrycznego spada do zera, pozwala określić maksymalną energię fotoelektronów ze wzoru

(1)

Systematyczne pomiary doprowadziły Lenarda do nieoczekiwanego wniosku, że maksymalna energia fotoelektronów zupełnie nie zależy od natężenia wyzwalającego fotoelektrony światła. Okazało się natomiast, że energia fotoelektronów rośnie, gdy długość fali użytego światła maleje, a więc gdy jego częstotliwość rośnie. Taki stan rzeczy jest zupełnie niezrozumiały z punktu widzenia teorii światła. Według tej teorii fotoelektrony muszą czerpać swoją energię z fali świetlnej, w której -gęstość energii rozłożona jest równomiernie i proporcjonalna jest do natężenia światła. Gdy zatem pada światło o większym natężeniu, fotoelektrony mają do rozporządzenia większy zasób energii i energia ich powinna być odpowiednio większa.

W roku 1905 A. Einstein podał wytłumaczenie praw rządzących zjawiskiem fotoelektrycznym, oparte na fotonowej teorii światła.

M. Planck, chcąc uzasadnić teoretycznie wzór dający rozkład natężeń w widmie promieniowania zrównoważo­nego, zmuszony został do założenia, że emisja i pochłanianie promieniowania o częstotliwości ν przez atomy odbywa się porcjami — kwantami — wielkości energii

ΔE = hν (2)

gdzie h oznacza stalą uniwersalną o wymiarze działania (energia•czas). Einstein dla wytłumaczenia zjawiska fotoelektrycznego uczynił dalej idące założenie, a miano­wicie że samo promieniowanie posiada nieciągłą strukturę, składając się z kwantów hν. W dzisiejszej terminologii kwanty świetlne nazywamy fotonami, przy czym fotony uważamy za paczki energii, rozłożone przestrzennie w obszarze, przez który przechodzi fala świetlna.

Jeśli założenie Einsteina jest słuszne, to za elementarny akt, wywołujący wy­rwanie fotoelektronu, możemy uważać pochłonięcie fotonu przez fotoelektron. Wobec tego energia fotoelektronu może być co najwyżej równa energii fotonu, a nawet może być mniejsza, gdyż na wyrwanie fotoelektronu z metalu otoczonego wałem potencjału musi być również zużyta pewna energia.

Rys 9. Schemat doświadczenia Millikana do sprawdzenia wzoru Einsteina (O - okienko

kwarcowe, C - elektroda zbierająca, połączona z galwanometrem, Na, K, Li - próbki, S - elektroda pomocnicza, P - urządzenie do szlifowania próbek pod próżnią, p - połączenie do pompy próżniowej.

Wobec tego bilans zjawiska fotoelektrycznego da się według Einsteina ująć we wzór

hν=P + ½ mv². (3)

We wzorze tym P oznacza pracę wyrwania elektronu, ½ mv² oznacza - energię kinetyczną najszybszych fotoelektronów; jeśli przez V oznaczymy potencjał potrzebny do ich zahamowania, to:

hν=P + eV. (4)

Oczywiście, fotoelektrony wyrwane z głębi metalu mogą stracić część swojej energii przez zderzenia z innymi elektronami w metalu, a wobec tego w wiązce fotoelektronów znajdują się - i to w większości - elektrony o mniejszej energii kinetycznej.

Liczba wyrwanych fotoelektronów, przy danej długości fali, jest dokładnie proporcjonalna do natężenia padającego światła. Dokładniejsze badania przedsięwzięte przede wszystkim przez R. Pohla, wykazują, że istotną rolę odgrywa tu ilość energii pochłoniętej przez metal, a nie ilość energii padającej na metal; przy tym ujęciu zjawiska nie odgrywa roli kąt padania światła.

Ze zmianą długości fali natężenie prądu fotoelektrycznego nawet przy stałej ilości pochłoniętej energii świetlnej zmienia się bardzo silnie. Odróżnić tu należy dwa przypadki:

1. tzw. normalne zjawisko fotoelektryczne

2. zjawisko fotoelektryczne selektywne.

W zjawisku fotoelektrycznym normalnym tzw. wrażliwość fotoelektryczna (wrażliwością fotoelektryczną nazywać będziemy stosunek natężenia prądu fotoelektrycznego do pochłoniętej energii świetlnej) szybko rośnie w miarę zmniej­szania długości fali światła padającego Jednakże natężenie to zależy bardzo silnie od stanu powierzchni metalu, a zwłaszcza od jego utlenienia, bądź też od adsorbowanych na powierzchni metalu warstewek gazu. Od tych warstewek zależy też bardzo silnie długofalowa granica zjawiska fotoelektrycznego. Niektóre metale jak rubid, a zwłaszcza cez, wykazują zjawiska fotoelektryczne jeszcze dla długo­falowego krańca widma widzialnego, a dla cezu granica leży dopiero przy 1100nm. Dla fal o długości mniejszej od 250nm wszystkie metale wykazują zjawisko foto­elektryczne.

Selektywne zjawisko fotoelektryczne wykazują przede wszystkim potasowce i wapniowce; polega ono na występowaniu bardzo wyraźnego maksimum wrażliwości fotoelektrycznej dla pewnego obszaru widmowego

Rys.10 Zależność wrażliwości fotoelektrycznej względnej od długości fali dla Cs

Rys.11. Zależność wrażliwości fotoelektrycznej od długości fali dla światła spolaryzowanego.

W zjawisku fotoelektrycznym selektywnym ujawnia się falowy charakter światła, zatarty w normalnym zjawisku fotoelektrycznym. B. Pohl i P. Pringsheim, którzy zbadali selektywne zjawisko fotoelektryczne, wykryli bardzo charakterys­tyczny wpływ polaryzacji światła na to zjawisko. Okazuje się mianowicie, że zjawisko selektywne występuje jedynie wówczas, gdy światło padające posiada składową wektora elektrycznego prostopadłą do powierzchni metalu, a więc gdy jest ono spo­laryzowane w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny padania, bądź też gdy posiada przynajmniej składową tak spolaryzowaną (rys.11). Jeżeli natomiast światło spolaryzowane jest w płaszczyźnie padania, a więc jeśli jego wektor elektrycz­ny jest równoległy do powierzchni metalu, to — jak pokazuje krzywa na rys.11 — zjawisko fotoelektryczne ma przebieg charakterystyczny dla zjawiska normalnego. Selektywne zjawisko fotoelektryczne świadczy bardzo wyraźnie, że właśnie wektor elektryczny jest wektorem świetlnym, gdyż oczywiście emisja fotoelektronów jest ujawniona właśnie wtedy, gdy wektor elektryczny fali świetlnej posiada składową prostopadłą do powierzchni metalu. Zjawisko to świadczy również o tym, że wektor elektryczny fali świetlne] jest prostopadły do płaszczyzny polaryzacji światła.

Selektywne zjawisko fotoelektryczne bardzo silnie zależy od stanu powierzchni metalu; ścisła jego teoria nie została jeszcze opracowana.

Przy użyciu dalekiego nadfioletu powinniśmy się spodziewać występowania zjawiska fotoelektrycznego na powierzchni wszystkich ciał stałych; jednakże materiał doświadczalny (jakim rozporządzamy) jest jeszcze niewielki. Również i ciecze powinny dawać fotoelektrony pod działaniem krótkofalowego nadfioletu. Dla cieczy badania te są utrudnione przez parę nasyconą, powstającą nad cieczą; w przypadku izolatorów komplikacje powoduje nabój ujemny, gromadzący się w związku ze zja­wiskiem fotoelektrycznym na ich powierzchni.

Należy podkreślić, że obserwowana emisja fotoelektronów stanowi jedynie ułamek rzędu 1

tej, jakiej należałoby się spodziewać na podstawie obrazu foto­nowego. Jeśli mianowicie metal absorbuje pewną energię świetlną E, zawartą w wiązce światła o częstotliwości ν, oznacza to pochłonięcie E/hν fotonów; porów­nanie tej liczby z liczbą emitowanych fotoelektronów, wynikającą z natężenia prądu fotoelektrycznego, świadczy o tym, że dominująca część energii pochłoniętej zostaje przetworzona nie w energię fotoelektronów, lecz w energię wewnętrzną metalu.

Rys.12. Teoretyczny przebieg natę­żenia prądu fotoelektrycznego w zależ­ności od, długości fali

Decydującą rolę odgrywa tu niewątpliwie stan powierzchni metalu i powstająca tam bariera potencjału. Gdyby nie te wtórne efekty, to przy stałej mocy strumienia światła należałoby się spodziewać liniowego wzrostu natężenia, prądu fotoelektrycznego w miarę wzrostu długości fali i nagłego spadku natężenia do zera przy przekroczeniu granicznej długości fali (rys.12), wbrew danym doświadczalnym.

Rys.13. Schemat komórki fotoelektrycznej (A — anoda, K — katoda)

Zjawisko fotoelektryczne znalazło zastosowanie w tzw. komórkach fotoelektrycznych różnych typów, używanych w technice. Taką fotokomórkę widzimy na rys 13. Stanowi ona naczynie szklane lub kwarcowe, pokryte z jednej strony od wnętrza warstwą światłoczułą, naprzeciw której mamy anodę w postaci pętli z drutu; warstwa światłoczuła i anoda zaopatrzone są we wtopione w szkło lub w kwarc doprowadzenia prądu. Warstwa światłoczuła jest to odpowiednio spreparowana warstwa metalu, najczęściej potasowca. Pomiędzy anodą i katodą przykładamy napięcie z baterii lub stabilizatora; natężenie fotoprądu jest ściśle proporcjonalne do natężenia padającego światła, przy czym nie występuje dostrzegalne zapóźnienie emisji, tak że fotoprąd nie wykazuje żadnej bezwładności.

Rys. 14. Schemat wzmacniacza do pracy z fotokomórkami (F — fotokomórka, L — lampa

elektro­nowa, R — opór rzędu 10 MΩ, B_S — bateria siatkowa, B_a — bateria anodowa, M — miliamperomierz)

Fotokomórki bywają dwóch typów: próżniowe bądź wypełnione gazem. W komórce próżniowej mamy do czynienia z prądem czysto elektronowym o natężeniu rzędu 10^-10 A/lx. Komórki takie używane są zwykle w połączeniu z wzmacniaczem lampowym, jak na rys.14, gdzie S oznacza duży opór, rzędu 10 MΩ, na którym pod wpływem przepływu prądu ustala się spadek potencjału, zależny od natężenia światła padającego. Zmiany natężenia prądu anodowego rejestruje miliamperomierz w obwodzie anodowym. Zwykle stosujemy układ, w którym prąd anodowy kompensujemy przy pomocy innego prądu; miliamperomierz M służy wówczas jako przyrząd zerowy.

Rys.15. Zależność natężenia prądu fotoelektrycznego od napię­cia na fotokomórce:

I — fotokomórka próżniowa, II — fotoko­mórka gazowa.

W komórkach gazowych, wypełnionych zwy­kle argonem lub innym gazem szlachetnym, fotoelektrony przyspieszane są przyłożonym do fotokomórki napięciem i "wywołują jonizację ato­mów gazu, co daje silny wzrost płynącego przez fotokomórkę prądu. Charakterystyki fotokomó­rek, próżniowej i gazowej, widzimy na rys.15. Jak widać, prąd fotoelektryczny w komórce gazowe] nie wykazuje nasyce­nia. Przy przekroczenia pewnego napięcia granicznego w komórce takiej może na­stąpić zapalenie się samoistnego wyładowania, podobnie jak w rurce Geialera, co powoduje uszkodzenie warstwy światłoczułej.

Fotokomórki znajdują ostatnio coraz szersze zastosowanie w różnych gałęziach techniki, zwłaszcza w różnych urządzeniach przekaźnikowych reagujących na świa­tło. Można więc użyć fotokomórek do rozmaitych urządzeń liczących (przedmioty przesuwają się w poprzek strumienia światła padającego na fotokomórkę, przery­wając ten strumień), do urządzeń zabezpieczających, do filmu dźwiękowego, do tele­wizji itp. Bardzo szerokie zastosowanie uzyskały fotokomórki w fotometrii, do roz­maitego rodzaju mierników oświetlenia (luksomierzy) i to zarówno wykazujących chwilową wartość oświetlenia, jak i całkujących strumień światła w ciągu pewnego okresu czasu. W astronomii również czułe fotokomórki znajdują coraz szersze za­stosowanie.

W zastosowaniach tych jednak coraz częściej chodzi o innego typu fotokomórki, oparte na tzw. wewnętrznym zjawisku fotoelektrycznym.

II. CZĘŚĆ DOŚWIADCZALNA

Kolejne czynności, które wykonywałem podczas przeprowadzania ćwiczenia:

1. Zestawiłem układ pomiarowy wg schematu:

2. W oparciu o widmo helu wycechowałem monochromator (dane potrzebne do tego znajdują się na następnej stronie.

Zgodnie z poleceniem wykonałem cechowanie pięciokrotnie. Do wykreślenia krzywej cechowania przyjąłem wartości średnie. Ze względu na położenie punktów względem siebie na wykresie cechowania założyłem zależność liniową pomiędzy długością fali a położeniem prążka wg skali monochromatora. Ponieważ ćwiczenie to nie jest przeprowadzane w ciemni niemożliwe było 100% osłonięcie szczeliny wejściowej przed światłem rozproszonym. Może to mieć wpływ na ostateczny wynik ćwiczenia.

3. Następnie dla siedmiu wybranych przeze mnie prążków (siedmiu różnych długości fali - odczytanych z wykresu cechowania dla różnych wskazań monochromatora) sporządziłem charakterystyki prądowo-napięciowe fotokomórki. Oto wybrane przeze mnie prążki wraz z odpowiadającą im długością fali:

• 85 - 380 nm

• 100 - 429 nm

• 120 - 494 nm

• 135 - 542 nm

• 150 - 591 nm

• 170 - 655 nm

• 185 - 703 nm

Wyniki zanotowałem w tabeli pomiarowej, a zależności I=I(U) przedstawiłem na wykresach - dla każdej fali osobno.

Jak widać na wykresach tych dla coraz to większych wartości długości fali zależność ta jest coraz bardziej „stroma”.

4. Dzięki temu, że charakterystyki były znormalizowane w taki sposób, aby dla U=0 V wskazywać wartość I=1nA, można zaobserwować po ekstrapolacji odcinka prostoliniowego każdego z tych wykresów dla I=0 nA, w jaki sposób zmienia się wartość maksymalnego napięcia hamującego w miarę wzrostu długości fali. Widać, że wtedy to wartość ta maleje.

5. Uzyskawszy wartości maksymalnych wartości napięcia hamującego dla określonych długości fali sporządzam wykres zależności max.U_ham.=f(ν), gdzie ν - częstotliwość jest powiązana z długością fali zależnością:

ν = c/λ [1/s]

6. Z otrzymanego wykresu wyznaczyłem stałą Plancka wg metody opisanej w części teoretycznej (metoda oparta o efekt fotoelektryczny). Otrzymany przeze mnie wynik h = 3,204E-34 Js stanowi ok. 50% wartości rzeczywistej wartości stałej Plancka. Wynik ten uważałem za zbyt mało dokładny dlatego też uważniej przyjrzałem się wykresowi zależności max.U_ham.=f(ν).

Zależność ta jest prostoliniowa, a wartość jej współczynnika kierunkowego (tgα = a) wynosi: 2E-15 = h/e skąd można obliczyć h = 2E-15•e, gdzie e=1,602E-19 C. Patrząc na ten właśnie wykres widać, że dwa ostatnie punkty znacznie odbiegają od zależności liniowej (pozostałe 5 punktów tworzą prawie linię prostą. Dlatego też postanowiłem wyznaczyć h z wykresu składającego się tylko z pięciu punktów. Zależność dla tych pięciu prążków przedstawiłem na osobnym wykresie. Po dokonaniu identycznych czynności jak powyżej uzyskałem wartość stałej Plancka h = 6,408E-34 J•s.

Hel

λ	I	eV
			E
7281,35	30	22,02
7065,19	70	22,91
6678.15	100 cz.	23,71
6560,13	100	52,07
5875,62	1000 ż.	23,06
5411.55	50	53,31
5047,74	15	------
5015,68	100 z.	23,08
4921,93	50 z.	23,72
4713,14	40	23,58
4685,75	300	51,00
4471,48	100 n.	23,72
4387,93	30	24,04
4143,76	15	24,21
4120,81	25	23,97
4026,19	70	24,04
3964,73	50	23,73
3888,65	1000 f.	23,00

λ - długość fali w A

l - intensywność linii

E - wyładowanie w rurce Geislera

( małe litery oznaczają barwę - niebieską, zieloną, żółtą, czerwoną ) wg ." Wstęp do optyki" J . R . Meyer - Arendt

III. WNIOSKI.

Jak widać wartość h otrzymana przeze mnie przy nieuwzględnieniu ostatnich dwóch (znacznie odbiegających) wartości jest niezwykle zgodna z wartością rzeczywistą stałej Plancka ( h_rzecz. = 6,62491•10^-34 Js).

Ponieważ jednak fotokomórka jest gazowana i jej geometria nie jest sferyczna należy to uwzględnić w wyniku. Wartość poprawki wynosi k =1,5.

W ten sposób otrzymuję ostateczne wyniki pomiaru stałej Plancka:

h_{dla 7 prążków} = 4,806E-34 Js,

h_{dla 5 prążków} = 9,612E-34 Js.

Jak widać rzeczywista wartość h jest zawarta pomiędzy tymi dwiema wartościami. To właśnie poważny błąd 2 pomiarów (dla prążków 85 i 100) zaważył na tej odchyłce. Błąd ten mógł być spowodowany przez kilka czynników: błąd przyrządów pomiarowych, niedokładne wyznaczenie maks.U_ham. z wykresów I=I(U) itp.

Mimo to odchyłka nie jest, aż tak wielka. Wynosi około 27% dla h= 4,806E-34 Js.

F

A

K

G

V

---