Temat: Wyznaczanie modułu Younga.

Marek Cupa

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną mierząc wydłużenie drutu wykonanego z danego materiału obciążonego stałą siłą.

Wstęp teoretyczny:

Jeśli na jakieś ciało wywrzemy pewną siłę to może ono ulec odkształceniu - deformacji. Może ono mieć postać związaną ze zmianą objętości - odkształcenie objętościowe lub też ze zmianą kształtu ciała - odkształcenie postaci. Siła odkształcająca powoduje zmianę odległości między cząsteczkami. Przeciwdziałają się temu siły międzycząsteczkowe, które w tym przypadku są siłami sprężystości. Są one równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane do sił odkształcających. Siła międzycząsteczkowa rośnie liniowo wraz z odkształceniem. Opisuje to prawo Hooke'a:

gdzie:

• p - ciśnienie;

• E - moduł Younga;

Moduł Younga - zależy on od rodzaju odkształcenia materiału, temperatury oraz od obróbki termicznej i mechanicznej materiału. Na jego podstawie możemy się zorientować o wielkości sił wewnętrznych (sprężystych) w danym materiale.

W momencie ustania działania zewnętrznej siły odkształcającej siły napięć wewnętrznych spowodują powrót do swych pierwotnych wydłużeń. Nastąpi to jednak wtedy gdy siła odkształcająca nie przekroczy pewnej granicy sprężystości. W przeciwnym bowiem razie doznane odkształcenia ciała nie ustąpią z chwilą zniknięcia sił zewnętrznych. Takie odkształcenie nazywamy plastycznym.

Prawo Hooke'a jest słuszne jedynie w odniesieniu do odkształceń sprężystych a więc znikających z działaniem sił zewnętrznych.

W naszym doświadczeniu nie przekraczamy progu sprężystości więc do wyznaczenia modułu Younga będziemy stosować prawo Hooke'a.

Po przekształceniu wzoru opisującego prawo Hooke'a i uwzględnieniu zależności p = F/S otrzymujemy:

Mając daną rozciągającą siłę zewnętrzną, powierzchnię przekroju i długość ciała, oraz mierząc wydłużenie Δl jesteśmy w stanie wyznaczyć moduł Younga dla danego materiału.

.

Współczynnik E nazywamy modułem Younga. Jest to wartość naprężenia potrzebna do wydłużenia ciała o długość początkową.

Jednakże, tej wiadomości nie da się bezpośrednio wykorzystać w praktyce do pomiaru wielkości modułu Younga, ponieważ granica stosowalności prawa Hooke'a (odkształcenie, dla którego ciało zachowuje własności sprężyste) dla większości ciał leży poniżej moduły Younga. Ale, rozszerzając w/w wzór otrzymujemy:

4mg Δl

  

Π d² l

Zatem, jeśli w prostokątnym układzie współrzędnych na osi X odłożymy wydłużenie względne, a na osi Y stosunek siły do powierzchni przekroju, to tangens kąta nachylenia powstałej prostej będzie modułem Younga.

m[kg]	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)	∆l(mm)
0,5	0,31	0,29	0,29	0,27	0,29	0,28	0,27	0,27	0,31	0,27
1	0,56	0,55	0,55	0,54	0,57	0,55	0,55	0,54	0,58	0,56
1,5	0,83	0,82	0,81	0,78	0,81	0,81	0,8	0,79	0,81	0,79
2	1,08	1,08	1,08	1,05	1,06	1,07	1,06	1,06	1,06	1,03
2,5	1,35	1,34	1,35	1,31	1,34	1,35	1,32	1,35	1,32	1,3
3	1,6	1,58	1,59	1,56	1,59	1,6	1,56	1,56	1,57	1,54
2,5	1,36	1,35	1,33	1,3	1,34	1,35	1,32	1,3	1,35	1,3
2	1,08	1,1	1,08	1,05	1,07	1,09	1,04	1,05	1,1	1,05
1,5	0,82	0,81	0,8	0,8	0,8	0,8	0,79	0,79	0,82	0,79
1	0,57	0,56	0,55	0,54	0,55	0,55	0,53	0,52	0,57	0,54
0,5	0,29	0,3	0,29	0,27	0,28	0,27	0,27	0,26	0,31	0,26

Pomiary dla pręta stalowego:

m[kg]	Średnie ∆l(mm)			d[m]
0,5	0,285			400*10^-6
1	0,555			395*10^-6
1,5	0,805			395*10^-6
2	1,063			390*10^-6
2,5	1,333			395*10^-6
3	1,575			dśr[m]
2,5	1,33			395*10^-6
2	1,071
1,5	0,802
1	0,548
0,5	0,28

Obliczenia:

Przyspieszenie ziemskie:

g=9,81[m/s²]

Masa odważnika:

m=3kg

Długość drutu:

l = 1,282 [m]

Średnica drutu:

d = 0,0000395 [m]

Obliczenia wartości modułu Younga:

E=(F*l)/(S*∆l)

dE/dm=4g/Πd²=80094954,57 [1/s²*m]

dE/dg=4m/Πd²= 4082311,65 [kg/m²]

dE/dd=-8mg/ Πd³= 2,02772*10¹¹ [kg/s³*m]

U_a(m)= 0,1/√3=5,77*10^-3 [kg]

U_b(m)=0,001 [kg]

Uc(m)= √(U_a²+U_b²)=5,77*10^-6 [kg]

U_c(g)=0,01/√3=5,77*10^-3 [m/s²]

U_a(d)= √∑ε²/20 =1,11803*10^-6 [m]

U_b(d)=(0,01*0,001)/√3= 5,780347*10^-6 [m]

U_c(d)= √(U_a²+U_b²)= 5,78*10^-6 [m]

Uc(E)= √( Uc(m)²* (dE/dm)² + U_c(g)²* (dE/dg)² + U_c(d)²* (dE/dd)² )=0,111*10¹¹ [N/m2]

Dla α=0,95

k=2

U(E)=0,22*10¹¹ [N/m2]

Ostatecznie:

Z obliczeń:

E=(1,94 ± 0,22) * 10¹¹ [N/m²]

Z wykresu:

E=1,97 * 10¹¹ [N/m²]

Wnioski:

Wyznaczone wartości modułu Younga umieściłem w powyższej tabeli. Wartości te, jak również wartość średnia wyznaczona ze wszystkich pomiarów są zbliżone do wartości odczytanej z tablic, która to dla stali winna wynosić 2,15·10¹¹N/m² co dowodzi poprawności wykonanego ćwiczenia.

Wykres dla wartości rosnących

Wykres dla wartości malejących.

---