6. Ciągła, dyskretna i szybka transformata Fouriera, widmo sygnału

Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne częstotliwości składają się na pierwotną funkcję. Inaczej mówiąc Transformacja Fouriera umożliwia nam przedstawienie sygnału zmiennego w czasie w skali częstotliwości. Każdy sygnał analogowy można przedstawić w postaci składowych sinusoidalnych o odpowiedniej amplitudzie, fazie i częstotliwości. Transformata Fouriera przetwarza funkcję z danej przestrzeni w ten sposób, że wyeksponowane są jej własności okresowe, częstotliwościowe (tak zwane spektrum funkcji). Przekształcenie jest bezstratne, i funkcja może zostać zrekonstruowana ze swojej transformaty Fouriera.

Transformata zadana jest wzorem

Transformacja Fouriera jest operacją odwracalną, zatem posiadając transformatę F[x(t)] możemy wyznaczyć jej oryginał

Szereg Fouriera:

Bardzo często w fizyce i innych naukach ścisłych mierzone wielkości mają charakter okresowy, tzn. taki, który powoduje powtarzanie się danej wielkości fizycznej z określonym okresem. Zazwyczaj taką funkcję okresową można przedstawić w postaci nieskończonego szeregu trygonometrycznego zwanego też szeregiem Fouriera.

Dyskretna transformata Fouriera

Ponieważ w praktyce w wyniku pomiarów otrzymujemy dane o charakterze dyskretnym, a nie ciągłym, konieczne jest zdefiniowanie dyskretnego odpowiednika ciągłej transformaty Fouriera (zastępuje się całkę poprzez sumę). Dla N-elementowego ciągu xn dyskretną transformatę Fouriera definiujemy następująco:

Obliczanie transformaty bezpośrednio ze wzoru jest nieefektywne ze względu na zbyt dużą złożoność obliczeniową. Dlatego wprowadzono FFT

Szybka Transformata Fouriera

FFT jest to DFT ze zmniejszoną liczbą niezbędnych operacji arytmetycznych. Celem FFT jest zmniejszenie długiego algorytmu obliczeniowego przez jego podział na krótsze i prostsze obliczenia DFT i skrócenie czasu obliczeniowego. Najpopularniejszą wersją FFT jest FFT o podstawie 2. Algorytm FFT o podstawie 2 jest bardzo efektywną procedurą wyznaczania DFT pod warunkiem, że rozmiar DFT będzie całkowitą potęgą liczby dwa. Dobrym podejściem jest dodanie wymaganej liczby próbek o wartościach zerowych do części końcowej ciągu danych czasowych, aby dopasować liczbę jego punktów do kolejnego rozmiaru FFT o podstawie 2. Algorytmy obliczające szybką transformatę Fouriera bazują na metodzie dziel i zwyciężaj rekurencyjnie. To znaczy dzielimy problem na podproblemy o mniejszym rozmiarze, a te rekurencyjnie znów dzielimy na mniejsze itd. Docierając do dostatecznie małych problemów rozwiązujemy je. Rozwiązanie początkowego problemu jest sumą rozwiązań podproblemów.

Przykłady transformaty Fouriera

Widmo sygnału:

Analiza Fouriera pozwala scharakteryzować częstotliwości sygnału okresowego, a zbiór tych częstotliwości nazywany jest widmem sygnału. Widmem sygnału nazywa się zarówno samą transformatę Fouriera F(jω) (wynik transformacji Fouriera), jak i wykres przedstawiający tę transformatę. Dziedziną funkcji F(jω) jest zbiór ciągły wartości rzeczywistych, czyli:
. Wykres widma jest graficznym przedstawieniem transformaty Fouriera jako funkcji częstotliwości lub pulsacji. Z wykresu widma można przykładowo odczytać, jakie składowe harmoniczne wchodzą w skład danego sygnału, czy sygnał ma ograniczone pasmo, jaka jest jego szerokość pasma, czy zawiera składowe wolnozmienne (o małych częstotliwościach) oraz szybkozmienne (o dużych częstotliwościach).

Analizator widma - urządzenie pomiarowe służące do prezentacji widma częstotliwościowego danej wielkości fizycznej zmiennej w czasie Widmo obserwowane na ekranie analizatora reprezentuje analizowany sygnał w funkcji częstotliwości. Analizator widma pokazuje więc, ile i o jakim poziomie sygnałów składowych o częstotliwościach z analizowanego zakresu zawiera się w badanym sygnale wejściowym. Wynikiem działania idealnego analizatora widma jest obraz sygnału wejściowego będący efektem przekształcenia matematycznego znanego jako transformata Fouriera.

---