40. I i II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.

Jeśli na ciało działa kilka sił, ich moment wypadkowy jest równy sumie momentów:

Jeżeli na ciało sztywne nie działają żadne siły lub wypadkowy moment wszystkich sił jest równy zeru, ciało pozostaje w spoczynku lub obraca się ruchem jednostajnym.

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.

Odpowiednikiem drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego jest iloczyn momentu bezwładności ciała względem osi obrotu i przyspieszenia kątowego ciała wokół tej osi ( M=Iα)

Jednostka: kg∙m² ∙ rad/s²= Nm

41. Moduły sprężystości

Właściwości sprężyste ciał, czyli rodzaj i wielkość ich odkształcenia pod wpływem działających na nie sił, opisuje się za pomocą trzech modułów sprężystości. Są to współczynniki proporcjonalności między przyłożonym do ciała naprężeniem (określonym jako siła działająca na jednostkowe pole powierzchni) a odkształceniem ciała (określonym jako względna zmiana jego rozmiarów), zgodne z ogólnym równaniem:

Naprężenie= moduł sprężystości * odkształcenie.

Wyróżniamy 3 moduły:

1. Moduł Younga- rozciąganie i ściskanie

2. Moduł ścinania- naprężenie ścinające

3. Moduł ściśliwości materiału- naprężenie objętościowe

Naprężenie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Odkształcenie - miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym.

Rozciąganie i ściskanie. Gdy ciało jest rozciągane lub ściskane to ogólne równanie przyjmuje postać (prawo Hooke`a):

Naprężenie= F/S=E∆L/L

Gdzie:

∆L/L to odkształcenie ciała przy rozciąganiu/ ściskaniu

F- wartość siły, która powoduje odkształcenie

S- pole przekroju poprzecznego, na który działa siła F (siła działa prostopadle do powierzchni)

E- moduł Younga materiału, z którego zostało wykonane ciało

Prawo Hooke'a - prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej nań siły jest wprost proporcjonalne do tej siły.

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie. Moduł ma taka samą wartość zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu, natomiast naprężenie niszczące jest różne przy rozciąganiu i ściskaniu.

Moduł ścinania- naprężenie ścinające

Naprężenie ścinania „g” definiuje się jako siłę styczną, działającą na jedną ściankę (bryły), podzieloną przez pole powierzchni tej ścianki g= G/S

Gdy ciało jest poddane naprężeniu ścinającemu, ogólne równanie przyjmuje postać:

Naprężenie= F/S= G∆x/L

Gdzie:

∆x/L- odkształcenie ciała przy ścinaniu

∆x- przemieszczenie jednego końca ciała w kierunku przyłożonej siły

F- wartość siły powodującej odkształcenie (ścięcie)

S- pole przekroju poprzecznego, na który działa siła (równolegle do pola)

G- moduł ścinania materiału, z którego wykonano ciało.

Moduł ściśliwości materiału- naprężenie objętościowe. Gdy ciało podlega ściskaniu w całej objętości pod wpływem naprężenia działającego na nie ze strony otaczającej je cieczy, ogólne równanie ma postać:

Ciśnienie= p= K∆V/V

Gdzie:

p- ciśnienie (naprężenie objętościowe) działające ze strony cieczy

∆V/V- to względna zmiana objętości (odkształcenie) pod wpływem tego ciśnienia

K- moduł ściśliwości materiału, z którego wykonane jest ciało.

42. Prawo powszechnego ciążenia

Newton stwierdził, że nie tylko Ziemia przyciąga jabłko i Księżyc, ale każde ciało we wszechświecie przyciąga każde inne. Skłonność ciał do zbliżania się do siebie wzajemnie nazwał ciążeniem (grawitacją).

Przyciąganie ciał opisuje ilościowo prawo wprowadzone przez Newtona nazywane prawem powszechnego ciążenia, które mówi, że każda cząstka przyciąga każdą inną cząstkę siłą ciężkości (grawitacyjną) o wartości:

Gdzie:

Prawo grawitacji obowiązuje dla punktów materialnych, ale może być stosowane do ciał rzeczywistych, o ile ich rozmiary są małe w porównaniu z odległością- np para ciał Księżyc-Ziemia

Jeżeli któreś z ciał ma kształt jednorodnej powłoki kulistej lub jednorodnej kuli, to wypadkowa siła grawitacyjna, jaka działa ono na ciało zewnętrzne względem niego, może być obliczona przy założeniu, że cała masa powłoki lub kuli jest skupiona w jej środku.

Inne pojęcia związane z grawitacją:

Zasada superpozycji. Siła ciężkości podlega zasadzie superpozycji, co oznacza, że jeśli oddziałuje ze soba „n” cząstek, to siła wypadkowa F_1,wyp działająca na cząstke oznaczoną jako 1 jest sumą sił działających na nią ze strony „n” cząstek (lub całka w przypadku ciał rozciągłych)

Przyspieszenie grawitacyjne a_g jest to przyspieszenie, które nadaje czastce działająca na nie siła grawitacyjna. Z zestawienia wzorów

i F= ma_g wynika iż

Przyspieszenia grawitacyjne jest równe w przybliżeniu przyspieszeniu spadku swobodnego, nieznaczne różnice wynikają z tego, iż Ziemia nie jest ani jednorodna, ani kulista a ponadto obraca się wokół swej osi.

Grawitacyjna energia potencjalna układu dwóch cząstek o masach M i m znajdujących się w odległości r od siebie jest równa wziętej z przeciwnym znakiem pracy wykonanej przez siłę ciążenia, działającą ze strony dowolnej z tych cząstek na drugą z nich, przy zmianie odległości cząstek od nieskończonej (b. dużej) do r. Jej wartość:

Prędkość ucieczki. Jest to minimalna prędkość początkowa jaką należy nadać ciału, aby pokonało ono siłę grawitacji; nie zależy ona od kierunku, w jakim pocisk opuszcza planetę.

M- masa źródła pola grawitacyjnego, R- promień

43. Prędkości kosmiczne

44. Prawa Keplera

Prawami Keplera nazywamy trzy prawa astronomiczne, odkryte przez Jana Keplera i opisujące ruch planet wokół Słońca.

Pierwsze prawo Keplera stwierdza, że każda planeta Układu Słonecznego porusza się po orbicie w kształcie elipsy, w ognisku której znajduje się Słońce.

Drugie prawo Keplera: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity- jeśli S to pole powierzchni zakreślone przez tę linię, to wielkość dS/dt jest stała (stwierdzenie to jest równoważne zasadzie zachowania pędu); prościej: promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pole.

Trzecie prawo Keplera:

Dla orbit kołowych o promieniu r półoś wielka a jest równa promieniowi orbity r i prawo ma postać:

(a dla elips zamiast r wstawiamy a)

Wniosek z trzeciego prawa: T²/a³= const dla wszystkich orbit planet krążących wokół tego samego ciała o dużej masie (niezależnie od promienia orbity)

45. Cechy ruchu drgającego

Własności opisujące ruch drgający:

-częstość ν- liczba pełnych drgań wykonywanych w ciągu każdej sekundy; jednostka: 1/s= Hz

- okres ruchu T- czas w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie T=1/ν

46. Ruch harmoniczny prosty- równanie ruchu

Ruch harmoniczny jest ruchem okresowym (powtarzającym się w regularnych odstępach czasu), opisywany sinusoidalną funkcją czasu.

Zależność przemieszczenia od czasu można opisać wzorem:

x(t)= Acos(ωt + φ)

gdzie:

A- amplituda (określa maksymalne przemieszczenie)

φ faza początkowa; zależy od położenia i prędkości ciała w chwili t=0

ω- częstość kołowa. Częstość kołową wiąże z kresem i częstością zależność; ω= 2π/T= 2πν

(ω+φ)- faza ruchu

Nie wiem czy prędkość i przyspieszenie dotycza ruchu harm. prostego??

W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczeni, ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik proporcjonalności jest równy ω² tzn gdy przemieszczenie ma największą wartość dodatnią, to przyspieszenia osiąga największą wartość ujemną i odwrotnie, a gdy przemieszczenie jest równe zero, to przyspieszenie również ma wartość równą zero)

47. Energia i siła w ruchu harmonicznym

Siła. Pod wpływem siły opisanej prawem Hooke`a: F= -xk ciało o masie m porusza się ruchem harmonicznym.

x- przemieszczenie

k- stała sprężystości

Układ klocek-sprężyna tworzą liniowy oscylator harmoniczny

Częstość kołowa i okres dane są wzorami:

Energia. Ciało wykonujące ruch harmoniczny ma w każdej chwili energię kinetyczna równą E_k= mv²/2 oraz energię potencjalna E_p=kx²/2. Jeżeli nie występuje tarcie, to całkowita energia mechaniczna E= E_k+ E_p pozostaje stała, mimo że E_k i E_p się zmieniają.

48. Wahadła w fizyce: torsyjne, matematyczne i fizyczne

Przykładami urządzeń, które wykonują ruch harmoniczny są wyżej wymienione wahadła.

Wahadło torsyjne to kątowy odpowiednik liniowego oscylatora harmonicznego, w którym sprężystość jest związana ze skręcaniem zamocowanego na jednym końcu cienkiego pręta. Obrót krążka o pewien kąt φ wyidukuje drgania wokół położenia równowagi. Obrót ten w dowolnym kierunku powoduje powstanie momentu siły przywracającego stan równowagi, danego wzorem: M= - κφ

Gdzie κ to stała nazywana momentem kierującym, która zależy od długości, średnicy i materiału z którego wykonano drut.

Wzór na okres drgań wahadła torsyjnego (poprzez analogię do prawa Hooke`a):

I- moment bezwładności drgającego krążka

Wahadło matematyczne- punkt materialny zawieszony na cienkiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici o odpowiedniej długości, wykonujący wahania wokół położenia równowagi. Okres wahań (dla małych wychyleń) jest równy:

l- długość wahadła

Gdy amplituda wahań jest mała, okres wahań od niej nie zależy, tę własność nazywamy izochronizmem wahań.

Wahadło fizyczne- bryła sztywna wykonująca wahania wokół osi poziomej, nie przechodzącej przez środek masy pod wpływem siły ciężkości. Bryła ta, wychylona z położenia równowagi o niewielki kąt, wykonuje ruch wahadłowy, który dla małych kątów jest ruchem harmonicznym prostym. Okres wahań wahadła fizycznego wynosi:

I- moment bezwładności ryły sztywnej wokół osi obrotu; m- masa bryły; d- odległość osi obrotu od środka masy.

Wahadło fizyczne o podanych parametrach jest równoważne dynamicznie wahadłu matematycznemu o długości l₀ nazywanej długością zredukowana wahadła fizycznego, gdzie:

49. Ruch harmoniczny tłumiony

Oscylator tłumiony- jest to oscylator, którego ruch słabnie na skutek działania sił zewnętrznych

Drgania tłumione- to drgania oscylatora tłumionego

Równanie ruchu:

Energia mechaniczna w rzeczywistym układzie drgającym maleje podczas drgań, gdyż siły zewnętrzne, jak na przykład siły oporu, hamują drgania i powodują przekształcenie się energii mechanicznej w energię termiczną. W związku z tym o rzeczywistym oscylatorze i jego ruchu mówimy, że są tłumione.

Ruch drgający jest tłumiony wskutek oporów ośrodka. Siła oporu jest proporcjonalna do prędkości ruchu v= dx/dt, ale przeciwnie skierowana F_o= -bdx/dt= -bv

Siły związane z oscylatorem tłumionym (klocek+ sprężyna):

- Opisana wyżej siła oporu

- Siła z jaką sprężyna działa na klocek F= -kx

Wypadkowa sił z II zasady Newtona to: -bv - kx= ma

wielkość	Ruch harmoniczny tłumiony	Ruch harmoniczny nietłumiony
Częstość kołowa		bo b=0
	Jeżeli stała tłumienia jest bardzo mała ( ) to ω`~ ω
Energia		energia nie zależy od czasu i jest stała

50. Rezonans mechaniczny

Rezonans mechaniczny- zjawisko pobudzania do drgań za pomocą impulsów o częstotliwości równej częstotliwości drgań własnych pobudzanego układu.

Drgania układu wywołuje zewnętrzna, oscylująca siła wymuszająca.

Amplituda drgań układu jest najwyższa, gdy spełniony jest warunek rezonansu:

Rezonans- przykłady z wykładów

Rezonans mechaniczny dobry:

Rezonans mechaniczny zły:

51. Fale mechaniczne biegnące

Fala- zaburzenie rozchodzące się w ośrodku jednorodnym ze skończoną prędkością i przenoszące energię; zaburzenie to jest funkcją czasu i współrzędnych przestrzennych; ze względu na kierunek drgań dzielimy je na: poprzeczne i podłużne.

Fale mechaniczne- jest to najbardziej znany rodzaj fal, ponieważ napotykamy je prawie zawsze- typowe przykłady to: fale dźwiękowe, sejsmiczne. Wszystkie te fale maja pewne wspólne cechy: podlegają zasadom Newtona i mogą istnieć wyłącznie w jakimś ośrodku- wodzie, powietrzu, czy skale.

Fale biegnące- są to fale, które poruszają się od jednego punktu do drugiego, np: od jednego końca liny do drugiego. Istotne jest to, iż to fala porusza się w ośrodku od jednego punktu do drugiego, a nie ośrodek, w którym dana fala się rozchodzi. Zarówno fale poprzeczne, jaki i podłużne nazywamy falami biegnącymi

Fale poprzeczne- to fale, w których cząstki ośrodka drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali, przykład: fale w napiętej linie.

Fale podłużne- to fale, w których cząstki ośrodka drgają równolegle do kierunku rozchodzenia się fali, przykład: fale dźwiękowe w ośrodku gazowym lub ciekłym.

Zmiana ośrodka lub zmiana własności ośrodka

Gdy fala dociera do granicy ośrodka posiada składową odbitą oraz transmisyjną (przepuszczoną). Składowa przepuszczona nie zostanie odwrócona w fazie, natomiast składowa obita może, choć nie musi zostać odwrócona w fazie..

Zależności pomiędzy prędkością fali odbitej a prędkością fali przepuszczonej

52. Częstość kołowa fali, okres drgań i liczba falowa

---