Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Politechnika Wrocławska
Fizyka dla elektroników 2
Nr ćwiczenia:	Temat:
10	Sprawdzanie prawa Hooke'a i wyznaczanie modułu Younga
Termin zajęć	Prowadzący	Sprawozdanie wykonał	Ocena
Wt., 16 III 2010 Godz. 15.15-16.45	Dr inż. Ewa Oleszkiewicz	Andrzej Głowacki 163968

1. Cel ćwiczenia

Sprawdzenie prawa Hooke'a oraz wyznaczenie modułu Younga badanego drutu metodą pomiaru wydłużenia.

2. Spis przyrządów

• Urządzenie do pomiaru wydłużenia

• Przymiar metrowy

• Śruba mikrometryczna

• Komplet metalowych walców

• Waga

3. Układ pomiarowy

Po dokonaniu wstępnych pomiarów takich jak pomiar początkowej długości drutu, oraz pomiarów koniecznych do wycechowania mikroskopu, mierzone było wydłużenie drutu pod wpływem walców o zmierzonej wcześniej masie. Możliwe wówczas było wyznaczenie zależności względnego wydłużenia drutu od naprężenia (sprawdzenia prawa Hooke'a). Na tej podstawie metodą regresji liniowej wyznaczony został moduł Younga dla badanego drutu.

4. Wyniki i opracowanie pomiarów

(błędy bezwzględne były przybliżane do pierwszej cyfry znaczącej w górę, o ile wstępne przybliżenie nie zmieniało ich wartości o więcej niż 10% - w przeciwnym wypadku do dwóch cyfr znaczących)

1. Parametry stałe drutu oraz cechowanie mikroskopu

Tabela 1 - Wyniki wstępnych pomiarów i obliczeń

[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	∆ [mm]
613	±1	1,19	1,185	±0,010	0,77	0,778	±0,006
								1,18			0,78
								1,20			0,79
								1,17			0,77
								-			0,78

Oznaczenia:

- długość badanego drutu

- i-ty pomiar średnicy badanego drutu

- statystycznie wyznaczona średnica badanego drutu (średnia arytmetyczna)

- i-ty pomiar średnicy wskaźnika za pomocą śruby mikrometrycznej

- statystycznie wyznaczona średnica wskaźnika (średnia arytmetyczna)

Tabela 2 - Wyniki pomiarów i obliczeń dotyczących cechowania mikroskopu

[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[mm/dz]	[mm/dz]
1,42	1,438	±0,022	4,27	4,270	±0,013	2,832	±0,035	0,275	±0,006
1,49											4,25
1,41											4,26
1,42											4,27
1,45											4,30

Oznaczenia:

- i-ty pomiar górnej krawędzi wskaźnika za pomocą mikroskopu

- statystycznie wyznaczona górna krawędź wskaźnika (średnia arytmetyczna)

- i-ty pomiar dolnej krawędzi wskaźnika za pomocą mikroskopu

- statystycznie wyznaczona dolna krawędź wskaźnika (średnia arytmetyczna)

- wypadkowa średnica wskaźnika zmierzona za pomocą mikroskopu

- wartość działki skali mikroskopu

Wykorzystane wzory i przykładowe obliczenia:

Długość badanego drutu zmierzona została przymiarem metrowym o dokładności 1 mm zatem za błąd bezwzględny tego pomiaru przyjęto ±1 mm. Pomiary średnicy badanego drutu, średnicy wskaźnika zmierzonej za pomocą śruby mikrometrycznej, oraz położenia dolnej i górnej krawędzi wskaźnika w mikroskopie dokonane zostały kilkakrotnie, zatem pomiary te poddane zostały analizie statystycznej. W charakterze najlepszej oceny wartości rzeczywistej tych pomiarów przyjęto średnią arytmetyczną z serii. Natomiast za miarę niepewności pomiaru przyjęto wartość oszacowaną z wykorzystaniem rozkładu Studenta-Fishera, zgodnie z zależnością:
, gdzie k jest współczynnikiem rozkładu t-Studenta (w obliczeniach wykorzystano wartości dla poziomu ufności 0,75),
-odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru
, n - liczba prób w serii pomiarów.

Przykładowo dla pomiaru średnicy wskaźnika:

Wypadkowa średnica wskaźnika zmierzona za pomocą mikroskopu została wyznaczona jako:
, natomiast błąd bezwzględny jako:
.

Wartość działki skali mikroskopu wyliczona została zgodnie z zależnością:
. Niepewność bezwzględna tego pomiaru wyznaczona została metodą różniczki zupełnej:
.

2. Pomiary wydłużenia drutu

Dokładanie walców:

Tabela 3 - Część pomiarów dotyczących wydłużenia drutu (dokładanie walców)

[kg]	[kg]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[N]	[N]	[ ]	[ ]
0,9986	±0,0001	4,29	±0,02	4,16	±0,02	9,796	±0,001	1,10	±0,02	8,91	±0,17
1,9970	±0,0002						4,06				19,591	±0,002			17,81	±0,33
2,9950	±0,0003						3,98				29,381	±0,003			26,7	±0,5
3,9937	±0,0004						3,78				39,178	±0,004			35,6	±0,7
4,9918	±0,0005						3,71				48,970	±0,005			44,5	±0,9
5,9900	±0,0006						3,43				58,762	±0,006			53,4	±1,0

Oznaczenia:

- sumaryczna masa dołożonych walców

- początkowe położenie wskaźnika

- położenie wskaźnika po wydłużeniu pod wpływem dołożonych walców

- siła z jaką walce działały na drut (siła ciężkości)

- powierzchnia przekroju drutu

- naprężenie drutu

Tabela 4 - Ostateczne wyniki obliczeń (dokładanie walców)

		[mm]	[mm]
8,91	±0,17	0,036	±0,012	0,6	±0,2	7,1	±0,8	1,41	±0,16
17,81	±0,33	0,063	±0,013	1,03	±0,22
26,7	±0,5	0,085	±0,013	1,39	±0,22
35,6	±0,7	0,140	±0,015	2,28	±0,25
44,5	±0,9	0,160	±0,015	2,61	±0,25
53,4	±1,0	0,237	±0,017	3,9	±0,3

Oznaczenia:

- naprężenie drutu

- wydłużenie drutu

- względne wydłużenie drutu

E - moduł Younga

Zdejmowanie walców:

Wyniki w tabelach zostały przedstawione w odwrotnej kolejności niż dokonywane były pomiary w celu wygodniejszej korelacji z wynikami dla dokładania walców.

Tabela 5 - Część pomiarów dotyczących wydłużenia drutu (zdejmowanie walców)

[kg]	[kg]	[dz]	[dz]	[dz]	[dz]	[N]	[N]	[ ]	[ ]
0,9986	±0,0001	4,28	±0,02	4,15	±0,02	9,796	±0,001	1,10	±0,02	8,91	±0,17
1,9970	±0,0002						4,02				19,591	±0,002			17,81	±0,33
2,9950	±0,0003						3,9				29,381	±0,003			26,7	±0,5
3,9937	±0,0004						3,8				39,178	±0,004			35,6	±0,7
4,9918	±0,0005						3,68				48,970	±0,005			44,5	±0,9
5,9900	±0,0006						3,43				58,762	±0,006			53,4	±1,0

Tabela 6 - Ostateczne wyniki obliczeń (zdejmowanie walców)

		[mm]	[mm]
8,91	±0,17	0,036	±0,012	0,6	0,2	6,7	±0,8	1,49	±0,18
17,81	±0,33	0,072	±0,013	1,17	0,22
26,7	±0,5	0,105	±0,014	1,71	0,24
35,6	±0,7	0,132	±0,014	2,15	0,24
44,5	±0,9	0,165	±0,015	2,69	0,25
53,4	±1,0	0,234	±0,017	3,8	0,3

Wykorzystane wzory i przykładowe obliczenia:

Każdy z walców ważony był osobno z dokładnością 0,1 g, zatem błąd bezwzględny sumarycznej masy dołożonych walców, jest sumą niepewności masy pojedynczych walców.

Jako błąd pomiaru odczytów z mikroskopu, ze względu na nieostry obraz, przyjęto ±0,02 [dz]. Siłę działającą na drut wyznaczono jako:
, gdzie
oznacza sumaryczną masę dołożonych walców, zatem
. Przykładowo dla jednego walca:
,
.

Powierzchnia przekroju drutu wyznaczona została zgodnie z zależnością:
, gdzie d oznacza średnicę drutu, zatem
. Obliczenia:

,
.

Wartość naprężenia drutu wyznaczyć można ze wzoru:
, zatem
(wyznaczone metodą różniczki zupełnej). Przykładowo:

,

Wydłużenie drutu obliczone zostało jako:
. Pomiary
oraz
obarczone są niepewnością ±0,02 [dz], zatem
[dz]. Niepewność bezwzględną pomiaru wydłużenia drutu obliczyć więc można jako:

(wyznaczone metodą różniczki zupełnej). Przykładowo (dla dokładania walców):

,
.

Względne wydłużenie drutu wynosi:
i obarczone jest niepewnością:
. Przykładowo:
,

.

Współczynnik sprężystości
(odwrotność modułu Younga) wyznaczony został metodą regresji liniowej jako nachylenie prostej postaci:
:
, gdzie
,
, n=6 (liczba punktów pomiarowych) oraz
. Niepewność współczynnika sprężystości wyniosła:
, gdzie
.

Moduł Younga wyznaczony został jako odwrotność współczynnika sprężystości, a jego niepewność wyniosła:
.

5. Wnioski

Otrzymane w wyniku analizy przeprowadzonych pomiarów wartości modułu Younga dla procesu dokładania i zdejmowania obciążenia są bardzo zbliżone i biorąc pod uwagę przedziały niepewności, można stwierdzić, że są niesprzeczne (wyniki mają część wspólną). Warto zauważyć, że ostatni z pomiarów (dla 6 walców) nieco bardziej odstaje od liniowego rozłożenia pozostałych punktów pomiarowych (nie jest to błąd gruby - po zakończeniu pomiarów właściwych podczas laboratorium, został on niezależnie powtórzony w celu weryfikacji), można więc wnioskować, że naprężenia działające na drut przy obciążeniu sześcioma walcami są blisko granic, w których stosować można prawo Hooke'a dla badanego drutu. Odstępstwo ostatniego punktu pomiarowego byłoby nieco lepiej widoczne, gdyby prostą aproksymującą, wyliczoną metodą regresji liniowej, wyznaczyć nie biorąc go pod uwagę. Pozostałe punkty pomiarowe cechują się dobrą liniowością, co jednoznacznie potwierdza prawo Hooke'a.

Wyniki pomiarów modułu Younga obarczone są stosunkowo dużą niepewnością (w obu przypadkach błąd względny wyniósłby ok. 11-12%) na co istotny wpływ miało rozproszenie punktów pomiarowych względem prostej aproksymującej (szczególnie ostatni punkt pomiarowy), jako że niepewność tego pomiaru wyznaczona została na podstawie metody regresji liniowej.

7

---