Ćwiczenia 1

Struktura modelu ekonometrycznego

Zadanie

W poniższych modelach wskaż zmienne objaśniane, zmienne objaśniające, zmienne endogeniczne, zmienne egzogeniczne:

a)
,

b)
,

c)
,

Zadanie

Odpowiedz na poniższe pytania.

a) Jaka jest część wspólna zbioru zmiennych objaśnianych i zmiennych endogenicznych?

b) Jaka jest część wspólna zbioru zmiennych egzogenicznych i zmiennych objaśniających?

c) Jaka jest rola składnika losowego
w modelu ekonometrycznym?

d) O czym informują nas parametry strukturalne występujące w modelu ekonometrycznym?

Zadanie

Który z poniższych modeli jest dynamiczny i dlaczego?

a)
,

b)
,

c)
,

d)
.

Zadanie

Dokonaj klasyfikacji poniższych modeli.

a)

gdzie: y_t - miesięczne zużycie paliwa przez autobusy ZKM (w litrach), x_t - liczba kilometrów przejechanych przez autobusy w ciągu miesiąca.

b)
;

gdzie: p_t - wielkość sprzedaży szamponu w tys. sztuk, y_t - cena jednego szamponu w zł/szt, z_t - wydatki na reklamę szamponu w mln zł.

c)
,

gdzie: y_t - miesięczne wynagrodzenie netto w sektorze prywatnym (w złotych),

d)
;

gdzie: y_t - wielkość zapasów surowca w magazynie firmy w mln sztuk, t - zmienna czasowa.

e)
;

gdzie: y_t - wielkość produkcji stoczni Gdynia (w mln zł), x_t1 - wartość majątku trwałego stoczni w cenach stałych (w mln zł), x_t2 - liczba osób zatrudnionych w stoczni (w osobach).

f)
,

gdzie: y_t - kwartalna stopa bezrobocia w Polsce, w %.

Ćwiczenia 2

Estymacja parametrów strukturalnych modelu za pomocą MNK.

Zadanie

Dany jest model ekonometryczny postaci:
. W oparciu o założenia numeryczne MNK, zaproponuj najmniejszą możliwą liczbę obserwacji.

Zadanie

Czy można zastosować estymator MNK do wyznaczenia ocen parametrów strukturalnych modelu:
mając dane następujące macierze obserwacji:

Zadanie

Za pomocą estymatora MNK oszacuj parametry strukturalne modelu

,

gdzie y_t - wartość lokat zdeponowanych w pewnym banku w tys.zł, x_t - wysokość stopy oprocentowania depozytów w %, wiedząc że:

Tablica

yt (w tys.zł)	10	10	8	7	5	3	3
xt (w %)	5	5	4	4	3	3	2

Źródło: dane umowne.

Zadanie

Mając dane macierze:

a) oszacuj parametry strukturalne modelu postaci:
,

b) zinterpretuj oszacowane parametry strukturalne.

Zadanie

Mając dane macierze:

gdzie: y_t - liczba przewiezionych pasażerów w osobach, x_t - liczba godzin przewozów pasażerskich SKM w ciągu doby.

a) oszacuj parametry strukturalne modelu postaci:
,

b) zinterpretuj oszacowane parametry strukturalne.

Zadanie

Oszacuj za pomocą metody najmniejszych kwadratów parametry

strukturalne modelu postaci:
, wiedząc, że :

Otrzymane wyniki zinterpretuj wiedząc, że: y_t - wielkość wydatków na kosmetyki, w zł, x_t - wielkość dochodu, w zł.

Ćwiczenia 3

Weryfikacja modelu ekonometrycznego - syntetyczne miary dopasowania

Zadanie

Uzupełnij poniższą tabelę, wykorzystując wyniki estymacji modelu postaci:
.

Tablica

12	1
10	2
9	3
9	4
7	5
8	6
55

1. Zapisz oszacowaną postać modelu.

2. Oblicz i zinterpretuj odchylenie standardowe składnika resztowego.

3. Oblicz średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych.

4. Oblicz i zinterpretuj współczynnik zmienności losowej.

5. Oblicz i zinterpretuj współczynniki: determinacji i zbieżności.

6. Zbadaj istotność parametrów strukturalnych dla poziomu istotności 0,1

Zadanie

Zmienne endogeniczne
i
przybierały w analizowanym okresie następujące wartości:
- (4, 6, 8, 11, 11, 10) oraz
- (22, 25, 24, 21, 26,30). Dla obu zmiennych oszacowano modele z dwoma zmiennymi objaśniającymi i otrzymano w obu przypadkach identyczny ciąg reszt:
- (2, 1, 0, -1, -3, 1). Który z modeli jest lepiej dopasowany?

Zadanie

Mając dane wyniki obserwacji
: 4, 3, 0, 1, 2, współczynnik determinacji
oraz wariancję resztową
, wskazać który z poniższych modeli w wyniku estymacji MNK dał takie rezultaty.

a)

b)

c)

d)

Zadanie

Oszacowano liniowy model ekonometryczny postaci
i otrzymano następujące wartości szeregu reszt:

Tablica

	2	4	4	3	5	9	10	8	12	14	11
	0	-1	-2	3	3	0	1	2	-3	2	1

Źródło: dane umowne.

1. Oblicz i zinterpretuj odchylenie standardowe składnika resztowego.

2. Oblicz i zinterpretuj współczynnik zmienności losowej.

3. Oblicz i zinterpretuj współczynniki: determinacji i zbieżności.

Zadanie

Mając dane:

,

1. oszacuj parametry strukturalne modelu postaci
   ,

2. oblicz i zinterpretuj średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych,

3. oblicz i zinterpretuj syntetyczne miary dopasowania.

Zadanie

Dany jest model postaci:
, gdzie y - wielkość wydatków na pieczywo (w zł), x - cena pieczywa (w zł/kg). Model oszacowano na podstawie danych miesięcznych za okres 2004 - 2007 i otrzymano następujące wyniki:

Ponadto wiadomo, że:

Wartości krytyczne dla

1. Sklasyfikuj model

2. Oblicz liczbę stopni swobody

3. Zinterpretuj parametry strukturalne modelu

4. Zinterpretuj współczynnik determinacji

5. Oblicz i zinterpretuj współczynnik zmienności losowej

6. Zbadaj istotność parametrów strukturalnych

Zadanie

Model postaci:
gdzie : y_t - kwartalna wielkość oszczędności gospodarstw domowych w Polsce (w zł), x_t1 - średnia wielkość dochodu gospodarstwa domowego (w zł), x_t2 - inflacja (w %).

Model oszacowano na podstawie danych kwartalnych za okres 2002 - 2008 i otrzymano następujące wyniki:

Ponadto wiadomo, że:

Wartości krytyczne dla

1. Zbadaj czy składnik losowy ma rozkład normalny.

2. Zbadaj istotność zmiennych objaśniających modelu.

3. Oblicz i zinterpretuj przedziały ufności parametrów strukturalnych.

Zadanie

Model postaci:
gdzie : y_t - koszt jednostkowy produktu (w zł/sztukę), x_t1 - wielkość produkcji produktu (w tysiącach sztuk), x_t2 - wysokość wydatków na reklamę produktu (w tysiącach złotych).

Model oszacowano na podstawie danych miesięcznych za okres 2005 - 2008 i otrzymano następujące wyniki:

Ponadto wiadomo, że:

Wartości krytyczne dla

1. Zbadaj czy składnik losowy ma rozkład normalny.

2. Zbadaj istotność zmiennych objaśniających modelu.

3. Oblicz i zinterpretuj przedziały ufności parametrów strukturalnych.

4. Zbadaj łączną istotność parametrów strukturalnych.

Zadanie

Dany jest model postaci:
, gdzie y - wielkość produkcji samochodów w pewnej fabryce (w mln sztuk), x - wartość majątku trwałego (w mln). Model oszacowano na podstawie danych kwartalnych za okres 2002 - 2007 i otrzymano następujące wyniki:

Ponadto wiadomo, że:

Wartości krytyczne dla

1. Sklasyfikuj model

2. Oblicz liczbę stopni swobody

3. Zinterpretuj parametry strukturalne modelu

4. Zinterpretuj współczynnik determinacji

5. Oblicz i zinterpretuj współczynnik zmienności losowej

6. Zbadaj istotność parametrów strukturalnych

Ćwiczenia 4

Liniowe modele optymalizacyjne - model optymalnej struktury asortymentowej i model diety (mieszanki).

Zadanie

Piekarnia produkuje 3 rodzaje bułek (B1, B2, B3), które odpowiednio kosztują 1, 3 i 2 złote. Na wypiek bułki pierwszej (B1) potrzeba 1 dkg mąki, 1 dkg cukru. Na wypiek bułki drugiej (B2) potrzeba 2 dkg mąki, 1 dkg cukru i 1 dkg rodzynek. Bułka trzecia (B3) wymaga 1 dkg mąki, 1 dkg cukru i 2 dkg rodzynek. Przy czym w magazynie piekarni dostępne jest tylko 5 dkg mąki, 4 dkg cukru i 1 dkg rodzynek. Ustal: ile i jakich bułek należy upiec, aby osiągnąć największy zysk, biorąc pod uwagę ograniczone zapasy składników.

1. Zapisz model decyzyjny

2. Rozwiąż zadanie za pomocą metody graficznej.

3. Zinterpretuj otrzymane wyniki

4. Zapisz model dualny

Zadanie

Stołówka ustala menu składające się z dwóch produktów: P1, P2 zawierających trzy składniki S1, S2, S3, na które minimalne zapotrzebowanie wynosi: 480, 312, 216. W produkcie P1 znajduje się 30 j. składnika S1, 12 j - S2 oraz 18 - S3, natomiast w P2 odpowiednio 30 j - S1, 24 j - S2 oraz 6 - S3W. Koszt zakupu P1 wynosi 32 zł, a P2 to 29 zł. Należy podjąć decyzję ustalającą skład dziennej diety minimalizującej koszt żywienia i jednocześnie zapewniającej wymagania dietetyczne.

1. Zapisz model decyzyjny

2. Rozwiąż zadanie za pomocą metody graficznej.

3. Zinterpretuj otrzymane wyniki

4. Zapisz model dualny

Zadanie

Zakład produkcyjny ma wytwarzać dwa wyroby A i B. Dane są następujące informacje dotyczące procesu produkcyjnego:

	Jednostka miary	Wyrób
				A	B
Zapotrzebowanie dzienne odbiorcy	jednostka	1000	2000
Pracochłonność	robocz-godz/jednostkę	3	6
Zużycie materiału	kg/jednostkę	18	6
Zysk	zł/jednostkę	18	12

Efektywny dzienny fundusz czasu pracy zakładu wynosi 24000 roboczo - godzin, zaś maksymalne dzienne zużycie materiału nie może przekroczyć 45 ton.

Określić optymalny plan produkcji zakładu, tak aby zapotrzebowanie odbiorcy było zaspokojone, przy czym jako kryterium optymalności przyjąć wielkość zysku.

1. Zapisz model decyzyjny

2. Rozwiąż zadanie za pomocą metody graficznej.

3. Zinterpretuj otrzymane wyniki

4. Zapisz model dualny

Zadanie

Zakład złożony z trzech zakładów produkcyjnych, w których odbywa się krojenie, mieszanie i paczkowanie, produkuje się dwa rodzaje herbaty: I i II. Maszyny w każdym wydziale mogą pracować po 8 godzin dziennie. Proces produkcji można w skrócie opisać w następujący sposób: pierwszy rodzaj herbaty najpierw jest krojony, a potem paczkowany. Wytworzenie każdej tony tej herbaty zajmuje ½ godziny krojenia i 1/3 godziny paczkowania. Herbata drugiego rodzaju jest najpierw mieszana, a następnie paczkowana. Na każdą tonę tej herbaty przypada 1 godzina mieszania i 2/3 godziny paczkowania. Herbata pierwsza może być sprzedawana za 800$ za tonę, natomiast druga za 600$ za tonę.

Jaki poziom produkcji obu wyrobów powinna ustalić firma, jeżeli jej celem jest maksymalizacja całkowitego dochodu?

1. Zapisz model decyzyjny

2. Rozwiąż zadanie za pomocą metody graficznej.

3. Zinterpretuj otrzymane wyniki

4. Zapisz model dualny

Zadanie

Gospodarstwo hodowlane zajmuje się hodowlą ryb. Zwierzęta żywione są dwoma rodzajami karmy KI i KII. Zwierzętom należy dostarczyć w pożywieniu między innymi składnika S1 w ilości, co najmniej 280j. Obie karmy zawierają również składnik S2, który jest niepożądany i ze względu na jej działanie uboczne nie powinien być dostarczony w ilości większej niż 300j. Ponadto w karmie KII znajduje się pożądany składnik S3, który powinien być dostarczony w ilości, co najmniej 80j. Zawartość składników przedstawia tablica:

Składnik odżywczy	Karma
		KI	KII
S1	4	4
S2	8	6
S3	0	2

Wiedząc, że cena karmy KI wynosi 30zł, a KII 40zł, określ wielkość zakupu produktów, aby zrealizować wymagania co do składu, a kosz zakupu był jak najmniejszy.

1. Zapisz model decyzyjny

2. Rozwiąż zadanie za pomocą metody graficznej.

3. Zinterpretuj otrzymane wyniki

4. Zapisz model dualny

Zadanie

Pewna osoba, aby zachować dobre zdrowie, musi przyjmować w codziennym pożywieniu określone ilości substancji odżywczych. Przyjmijmy, ze są to trzy typy substancji: wapń, proteiny i witamina A. Załóżmy, że dieta tej osoby składa się z dwóch rodzajów żywnościowych I i II (otręby pszenne i jogurt), których ceny i zawartości składników odżywczych podano w tabeli. Określone zostało również minimalne dzienne zapotrzebowanie za poszczególne składniki.

Składniki odżywcze	Żywność I rodzaju 1 kg	Żywność II rodzaju 1 kg	Min dzienne zapotrzebowanie
Wapń Proteiny Witamina A	10 5 2	4 5 6	20 20 12
Cena w zł/kg	6	10

Ułóż zagadnienie programowania liniowego.

Jaka kombinacja dwóch rodzajów żywności będzie zaspokajała dzienne zapotrzebowanie na substancje odżywcze najmniejszym kosztem?

1. Zapisz model decyzyjny

2. Rozwiąż zadanie za pomocą metody graficznej.

3. Zinterpretuj otrzymane wyniki

4. Zapisz model dualny

---