1. Świat zjawisk fizycznych, wstęp matematyczny

Fizyka jako nauka zajmująca się prawidłowościami i relacjami występującymi w naszym otoczeniu pozwala przynajmniej na częściowe zrozumienie funkcjonowania otaczającego nas świata. Poznawanie to odbywa się zasadniczo w dwóch kierunkach - w skali makro- i mikroświata. Ich rozróżnienie związane jest z takimi wielkościami fizycznymi jak: rozmiar „r”, masa „m” i czas „t”. Pojmowanie (wyobrażenia) tych światów ułatwiają wprowadzane modele fizyczne. Przybliżane są one przez zjawiska występujące w otoczeniu człowieka.

Rys.1 Logarytmy dziesiętne z wartości rozmiarów, mas i czasów związanych z obiektami obserwowanymi we Wszechświecie wyrażonych w jednostkach SI

Przykładem może tu być model orbitalny (powłokowy) wykorzystywany zarówno do opisu Układu Słonecznego jak i modelu atomu czy jądra atomowego (w wersji kwantowej). Oprócz powyższych wielkości fizycznych nie można nie powiedzieć o energii, która jest pierwotna w stosunku do pozostałych (teorie kosmologiczne). Korelacje między rozmiarami, masą i czasem w potocznym ujęciu przedstawia rysunek 1. Na linii trendu pojawiają się kolejno: cząstki elementarne, atomy, mikroorganizmy, człowiek, Ziemia, Układ Słoneczny, Galaktyka i Wszechświat. Odejście od głównego kierunku prowadzi do nietypowych stanów materii takich jak: czarna dziura ze skrajnie dużą gęstością masy i przestrzeń kosmiczna ze skrajnie małą gęstością masy (poza lokalnymi skupiskami masy).

Uświadomienie sobie miejsca człowieka we Wszechświecie prowadzi z jednej strony do rozbudzenia zainteresowań związanych z jego budową i funkcjonowaniem, z drugiej zaś strony budzi pokorę wobec ogromu (wielkości mas, odległości, przedziałów czasu) oraz bogactwa obserwowanych zjawisk. Nieodparty ciąg umysłu ludzkiego do poznawania otaczającego nas świata prowadził przez tysiąclecia do intelektualnego rozwoju ludzkości. Jest to szczególnie widoczne w ostatnich latach, gdy rozwój fizyki i innych nauk ścisłych przyczynił się do dynamicznego postępu technicznego i towarzyszących mu zmian w takich dziedzinach jak: biologia, medycyna, technika, informatyka i inne. Nikt dziś nie wyobraża sobie życia na przykład bez komputerów i sieci internetowej. Ich powstanie umożliwiło szybki rozwój informatyki. Dzisiaj wszyscy zgodzą się, że najcenniejszym „towarem” jest informacja i jej szybki przekaz. Odzwierciedlenie tego faktu widoczne jest nie tylko w naukach ścisłych, ale i w innych takich jak ekonomia czy nauki humanistyczne. U podstaw wielkiego skoku cywilizacyjnego XX wieku stoją geniusz i żmudna praca fizyków, matematyków i innych przedstawicieli nauk ścisłych.

Spróbujmy teraz określić fizykę jako naukę, czyli zbiór obserwacji otaczającego nas świata i prawidłowości występujących między nimi. Fizyka to podstawowa nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem fundamentalnych i uniwersalnych właściwości materii i zjawisk w otaczającym nas świecie. Właściwości te wiążą się ściśle z podstawowymi oddziaływaniami między elementarnymi składnikami materii obdarzonymi pewnymi wielkościami ogólnymi jak np. masą czy ładunkiem. Badania tych oddziaływań prowadzą do formułowania praw fizycznych w postaci ilościowych związków przyczynowo-skutkowych i bardziej ogólnych zasad zachowania. Dlatego też językiem oraz skutecznym narzędziem fizyki jest matematyka. Odgrywa ona ogromną rolę przy planowaniu, opracowywaniu wyników eksperymentów i tworzeniu syntezy w postaci modeli lub teorii fizycznych.

Fizyka jest ściśle związana z innymi naukami przyrodniczymi. Doprowadziło to do powstania nauk takich jak: geofizyka, astrofizyka, biofizyka, chemia fizyczna, biologia molekularna, fizyka medyczna. Fizyka jest też motorem napędowym i zapleczem teoretycznym dla techniki.

Dążenie fizyków do ujednolicenia opisu zjawisk i oddziaływań fizycznych prowadzi do prób przedstawienia jednolitej teorii nazywanej „Teorią Unifikacji”. Teoria ta ma łączyć ze sobą oddziaływania grawitacyjne, elektromagnetyczne i słabe. Szersza od niej „Teoria Wszystkiego” ma uwzględnić również oddziaływania silne. Poniżej zostanie przedstawiony zarys Teorii „Wielkiego Wybuchu” (Big Bang -BB), który być może ułatwi czytelnikowi zrozumienie jedności świata widzianego w ogromnej różnorodności form odbieranych przez naszą świadomość.

Rozwój obserwacji astronomicznych, fizyki kwantowej i relatywistycznej oraz fizyki cząstek elementarnych doprowadził do powstania hipotezy dotyczącej powstania naszego wszechświata. Potwierdzana wnioskami z obserwacji astronomicznych Teoria „Wielkiego Wybuchu” (np. odkrycie promieniowania tła) znajduje coraz większe rzesze swoich zwolenników. Nadmienić należy także, że w 1954 roku została uznana przez Watykan jako niesprzeczna z doktryną Kościoła.

Według tej teorii przed miliardami lat cały wszechświat skupiony był w pierwotnej osobliwości o rozmiarze znikomo małym (1 jednostki umownej - 1 j.u.) - o ile to coś znaczy. Stan ten charakteryzował się ogromną gęstością materii, przekraczającą kryterium Plancka , które w przeliczeniu na gęstość masy
wynosi 10⁹⁷ kg/m³. Jej związek z pozostałymi stałymi uniwersalnymi i uzyskany z analizy wymiarowej przedstawiany jest w postaci:

,

gdzie: c- prędkość światła w próżni, G - stała grawitacyjna, h - stała Plancka.

Rys.2 Ekspansja wszechświata po Wielkim Wybuchu (BB)

Można powiedzieć, że poniżej progu Plancka nie istniały takie wielkości jak: czas, przestrzeń, masa, ładunek. Istniejące wtedy „pracoś” wiązane było przez jakieś pierwotne oddziaływanie. Przekroczenie progu Plancka zapoczątkowało gwałtowne przyspieszenie ekspansji związane z powstaniem „naszego” czasu, przestrzeni i cząstek elementarnych obdarzonych masą (cóż za brak symetrii). Okres ten charakteryzował się przyspieszaniem ekspansji rozmiarów przestrzeni o 50 rzędów od BB. Zwany jest on epoką inflacji (tu nazwano ją - inflacja I dla odróżnienia inflacji II - rysunek 2).

Powstanie odpowiedniej ilości szeroko rozumianych cząstek elementarnych umożliwiło powstanie atomów wodoru. Ich ogromne ilości oraz fluktuacje masy w przestrzeni prowadziły do powstawania skupisk materii a po przekroczeniu pewnych wartości gęstości, ciśnienia i temperatury do ich syntezy termojądrowej czyli do powstania gwiazdy. Proces ten wiązał się z tworzeniem się cięższych jąder atomowych i emisją wielkich ilości energii unoszonej przez fotony, cząstki elementarne oraz inne składniki promieniowania kosmicznego. Po wypaleniu się paliwa do reakcji jądrowych gwiazdy kończyły swój żywot jako karły, supernowe, gwiazdy neutronowe lub czarne dziury. Końcowy etap wiązał się z wyrzuceniem w przestrzeń kosmiczną ich powłoki zawierającej jądra lub atomy pierwiastków cięższych. Te „kosmiczne śmieci” służyły z kolei do tworzenia kolejnych pokoleń gwiazd i układów planetarnych. Tak prawdopodobnie powstał Układ Słoneczny, w którego centrum „zapaliło się” Słońce, a z pozostałości powstały planety i ich księżyce oraz komety.

Obecne obserwacje astronomiczne i obliczenia prowadzą do wniosku, że jesteśmy aktualnie świadkami kolejnego etapu przyspieszenia ekspansji wszechświata (inflacja II). Fakt ten wiązany jest z tzw. „ciemną materią” oraz jej grawitacyjnym odpychaniem i budzi wątpliwości interpretacyjne. A może wystarczyłoby bardziej symetrycznie podejść do procesu powstawania materii z energii („praczegoś”) po przekroczeniu progu Plancka.

Kolejnym czynnikiem mającym wpływ na interpretację założeń teorii BB jest teoria względności. Ogromną zasługą Szczególnej teorii względności jest m.in. relatywizacja odległości, prędkości, masy i czasu oraz powiązanie zmiennych przestrzennych i czasowych w tzw. czasoprzestrzeni Minkowskiego. Zasługą Ogólnej teorii względności jest z kolei powiązanie masy z zakrzywieniem przestrzeni. Przykład takiego zakrzywienia w pobliżu obiektu do bardzo dużej masie M przedstawia rysunek 3. Widać z niego, że obliczenie promienia orbity z jego obwodu daje zupełnie inną wartość niż odległość od centrum siły grawitacyjnej.

Rys.3 Zakrzywienie przestrzeni w pobliżu wielkiej masy M (np. czarnej dziury)

Innym, ważnym zagadnieniem dotyczącym budowy wszechświata jest pytanie: czy jest on ograniczony i skończony? Rysunek 4 przedstawia modele dwóch wszechświatów nieskończonych. Jeden w postaci koła jest ograniczony i drugi w postaci prostej nieograniczony. Nasz sposób pojmowania przestrzeni (trzy wymiary zamiast jednego) prowadzi nas intuicyjnie do wyboru drugiej wersji. Widzimy, że dla obu modeli każdemu punktowi jednego zbioru możemy przyporządkować punkt z drugiego zbioru. Ale jaki ma to związek z ograniczonością wszechświata? Otóż przyjmuje się, że nasza 3-wymiarowa przestrzeń jest zakrzywiona. Kwantowe modele przestrzeni narzucają też warunek tożsamości osobliwości początkowej i końcowej. Warunek ten spełnia model świata ograniczonego. Astronauta rozpoczynający swoją wędrówkę po prostej w przestrzeni 3-wymiarowej poczynając od punktu środkowego wróci do niego po dostatecznie długim czasie.

Rys.4 Nieskończony wszechświat i jego cykliczność

Na rysunku 4 przeanalizowano przykład jednowymiarowy odpowiednik naszej przestrzeni 3-wymiarowej. Rysunek 5 przedstawia powyższą cykliczność dla „płaszczaka” poruszającego się po modelu wszechświata w postaci opony o otworze środkowym zredukowanym do punktu. Dla takiego obserwatora spełniony jest warunek tożsamości osobliwości początkowej i końcowej.

Jeśli założymy, że środek odpowiada BB to otrzymujemy również model pulsującego wszechświata. W modelu tym, wg teorii BB po okresie ekspansji powinien nastąpić okres zapadania się wszechświata i powtórzenie cyklu. Z poniższego rysunku widać, że wcale nie musi wystąpić „ruch wsteczny”. Kontrakcja będzie tu naturalną konsekwencją ekspansji i zakrzywienia przestrzeni.

rys. 5 Model cykliczności wszechświata w postaci „opony” z centralnym punktem

zawierającym osobliwość początkową tożsamą z osobliwością końcową

Powstaje pytanie: po co mamy uczyć się fizyki skoro na samym początku mamy tyle pytań i wątpliwości co do powstania, budowy i ewolucji wszechświata. Odpowiedź jest prosta. Czas naszego życia w porównaniu z czasami ewolucji życia na Ziemi (nie mówiąc już o epokach kosmologicznych) jest tak mały, że aby pojedynczy człowiek mógł funkcjonować w swym środowisku musi poznać reguły na „TU” i „TERAZ”. Chcąc wykonać najprostszą czynność i wykorzystać najprostsze narzędzie a także przewidzieć efekt swego działania musi on posiadać elementarną wiedzę i „kulturę techniczną”. Jest wiele osób upominających się o kulturę humanistyczną . Niestety jest zbyt mało ludzi rozumiejących potrzebę posiadania również odpowiedniej „kultury przyrodniczej”.

Wstęp matematyczny

Poniżej przypomniane zostaną wybrane wiadomości z matematyki mające istotne znaczenie dla posługiwania się językiem przyrody. W otaczającym nas świecie mamy głównie do czynienia z wielkościami fizycznymi posiadającymi wartość i nazywanymi skalarami oraz z wielkościami, do opisu których wymagane jest także, oprócz wartości podanie: punktu zaczepienia, kierunku oraz zwrotu i nazywanymi wektorami. Przykładami skalarów są: masa, czas, energia, moc, ładunek, potencjał, rezystancja, strumień indukcji. Do wielkości wektorowych zaliczamy np.: prędkość, przyspieszenie, pęd, siłę, natężenie i indukcję pola wektorowego.

Wektor
możemy rozłożyć na składowe we współrzędnych prostokątnych na wektory
Ostatnie składowe odpowiadają wektorom w kierunku osi x, y i z (rysunek 6). Wprowadzimy teraz wersory, czyli wektory jednostkowe w kierunkach osi x, y i z oraz oznaczymy je jak na rysunku:
Ponieważ są to wektory o wartości równej 1 możemy je zdefiniować w następujący sposób:

,
,
.

Wykorzystując powyższe równania możemy zapisać wektor
w postaci:

lub skrótowo: (w_x, w_y, w_z).

Rys.6 Rozkład wektora na składowe we współrzędnych prostokątnych

Przypomnimy teraz podstawowe działania na wektorach. Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę oraz mnożyć wektory przez siebie (iloczyn skalarny lub wektorowy). Dodanie wektorów
i
polega na dodaniu odpowiednio ich współrzędnych. Otrzymujemy równanie:

.

Skrótowo można to zapisać za pomocą znaku sumy Σ:

.

Mnożenie wektora przez skalar polega na wymnożeniu jego wszystkich składowych przez tą samą liczbę:

.

Mnożenie wektorów przez siebie może w wyniku dawać skalar i mówimy wtedy o iloczynie skalarnym lub wektor i mówimy wtedy o iloczynie wektorowym. Iloczyn skalarny wektorów
i
to takie działanie, które tej parze wektorów przyporządkowuje liczbę (skalar) c taki, że jego wartość jest równa:

,

gdzie α jest kątem między wektorami. Ponieważ funkcja cosinus jest parzysta to iloczyn wektorowy jest przemienny:

.

Wartość jednego z wektorów pomnożona przez cosα jest równa długości rzutu tego wektora na kierunek drugiego wektora. Tak więc sens geometryczny iloczynu skalarnego jest taki, że jest to iloczyn długości jednego z wektorów i długości rzutu drugiego na kierunek pierwszego. Warto w tym miejscu zauważyć, że w przypadku wersorów iloczyn skalarny tych samych wersorów jest równy 1 a różnych 0.

dla
(cos 0 = 1),

dla
(cos 90^o=0).

We współrzędnych prostokątnych możemy iloczyn skalarny zapisać:

.

Mając wyliczony iloczyn skalarny (ze współrzędnych) i znane długości wektorów można obliczyć cosinus kąta między nimi:

.

Iloczyn wektorowy wektorów
i
to takie działanie, które tej parze wektorów przyporządkowuje wektor
taki, że:

• jego wartość jest równa: c = u·w·sinα ,

• 
  i
  ,

• zwrot wektora
  określamy z reguły śruby prawoskrętnej,

• wektor
  jest funkcją kąta α.

Zauważmy, że w⋅sinα jest długością wysokości w równoległoboku wyznaczonym przez wektory
i
. Oznacza to, że wartość (długość) wektora
jest równa wartości pola powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
.

Mając współrzędne wektorów
i
można wyliczyć współrzędne wektora
przy pomocy wyznacznika:

=
=
.

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że iloczyn wektorowy wektorów równoległych jest równy 0 (sin 0^o = 0). Iloczyn wektorowy nie jest też przemienny [sin(-α) = - sinα]. Stąd:

.

Aby nie zniechęcić czytelnika zostaną teraz przedstawione niektóre cechy wielkości pochodnych i pierwotnych występujących w fizyce. Łączą się one z matematycznymi pojęciami pochodnej i całki. Wielkość fizyczną (np. szybkość v - skalar) pochodną w stosunku do danej wielkości fizycznej (np. s - droga liczona w układzie toru) możemy traktować jako szybkość zmian tej drugiej w funkcji zmiennej niezależnej (np. czasu - t). Rysunek 7 przedstawia wykres zależności drogi od czasu s(t).

Rys. 7 Ilustracja interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji

Na rysunku zaznaczono dwa punkty o współrzędnych (t₁, s₁) i (t₂, s₂) oraz odpowiadające im różnice Δs i Δt. Te ostanie dwie wartości pozwalają wyliczyć iloraz różnicowy Δs/Δt równy tangensowi α₁, czyli współczynnikowi kierunkowemu siecznej przechodzącej przez te punkty. Sens fizyczny tego ilorazu różnicowego wyraża średnią szybkość ciała. Jeśli punkt drugi będziemy przesuwać w kierunku pierwszego (t₂→t₁) to wartość ilorazu różnicowego będzie zmierzać do wartości równej tgα, czyli współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji s(t) dla t=t₁. Wielkość tą nazywamy w tym przypadku szybkością chwilową ciała w momencie t₁. Mówimy, że szybkość definiujemy jako pochodną drogi po czasie i zapisujemy:

.

Tak więc nachylenie stycznej do wykresu s(t) w punkcie t₁ jest miarą pochodnej wielkości zależnej s (funkcji s(t)) względem wielkości niezależnej t. Czyli szybkość v jest pochodną drogi s po czasie t. W drugą stronę s jest wielkością pierwotną w stosunku do v. Policzymy teraz drogę s w przedziale od t₁ do t₂. Rysunek 8 przedstawia zależność szybkości od czasu i sposób liczenia drogi.

Rys.8 Sposób liczenia drogi w przedziale od t₁ do t₂ .

Wycinamy cienki pasek powierzchni Δs tak aby można było przyjąć stałą wartość szybkości v. W tym przedziale pole powierzchni Δs będzie równe:

Δs= v Δt .

Wartość całkowitej powierzchni pod wykresem v(t) obliczymy sumując przyczynki Δs_i w przedziale od t₁ do t₂. Chcąc obliczyć dokładną wartość pola powierzchni pod krzywą v(t) musimy przeprowadzić podział na nieskończenie małe elementy ds (ds to Δs→0), a następnie przeprowadzić ich nieskończone sumowanie. Proces matematyczny odpowiadający tej procedurze nazywamy całkowaniem i zapisujemy:

.

Pole powierzchni pod krzywą jest więc miarą wielkości pierwotnej (drogi) w stosunku do wielkości będącej tu zmienną zależną (szybkości).

Relacje między wielkościami pierwotnymi i pochodnymi obrazuje rysunek 9. Ukazuje on również stopniowanie tych pojęć. Zaznaczono na nim pochodną po czasie z szybkości (drugą pochodną z drogi po czasie) jaką jest przyspieszenie.

Rys. 9 Wielkości pochodne i pierwotne w fizyce

W rozdziale 3 przedstawimy podobną do szybkości, ale wektorową wielkość nazywaną prędkością. Jest ona definiowana jako pochodna wektora położenia po czasie.

---