MODEL BOHRA ATOMU

• Niels Bohr (1913) - prosty model atomu wodoru, niezgodny z najnowszą teorią, ale symbolika używana do dziś.

• Bohr założył, że elektrony poruszają się wokół jąder atomowych po kołowych orbitach (jak klasycznie orbity planet), ale wielkość, „opisująca” ten ruch - moment pędu - jest skwantowana:

• Teoria współczesna mówi, że ruch po klasycznych „orbitach” nie jest poprawnym opisem zachowania elektronu jak również, że wartość momentu pędu równa jest:
, ale mimo to teoria Bohra doprowadziła do (w miarę) poprawnych obliczeń poziomów energetycznych atomu wodoru (tak więc w sumie niewłaściwe rozumowanie doprowadziło do poprawnych wniosków - zdarza się...).

MODEL BOHRA ATOMU - c.d.¹

• Z postulatu Bohra wynika następujący wzór na promień orbity elektronu:

• Przyrównując siłę dośrodkową do siły elektrostatycznej (Coulomba):

(Z - liczba atomowa)

• Podstawiając wyrażenie na promień orbity, obliczamy prędkość elektronu na „n”-tej orbicie:

• Energia elektronu to suma energii kinetycznej i potencjalnej:

i uwzględnijmy, że:

MODEL BOHRA ATOMU - c.d.²

• Ostatecznie otrzymujemy wzory na energię elektronu na „n”-tej orbicie i promień tejże orbity:

• Wzory te bardzo dobrze zgadzają się z wzorami, otrzymanymi we współczesnej teorii kwantowej, dla atomu jednoelektronowego (wodoru). Model Bohra daje też prostą odpowiedź na pytanie o „rozmiary” atomu (
).

• Dla atomu wodoru (
) mamy:

co dla poszczególnych wartości
daje znane serie widmowe przejść elektronowych (Lymana, Balmera, ...).

• Wzór Bohra nie daje jednak dobrych wyników dla atomów wieloelektronowych (np. helu)!

ATOM WODORU

- ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE

• Energia potencjalna oddziaływań międzycząsteczkowych (elektrostatycznych) w atomie:

• Rozwiązanie przybliżone:

równoważna studnia prostokątna

- Założenia:

- maksymalna odległość elektronu od środka studni z punktu widzenia fizyki klasycznej;

- średnia odległość elektronu;

- równoważna głębokość studni prostokątnej;

ATOM WODORU

ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE (2)

- Sposób rozwiązania:

• Fala stojąca w studni prostokątnej:

• Pęd de Broglie`a jako średni pęd elektronu:

• Średnia energia kinetyczna:

- Rozwiązanie:

• Przybliżony „promień” funkcji falowej elektronu:

• Przybliżona wartość energii:

TRÓJWYMIAROWE RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

• Trójwymiarowe równanie Schrödingera niezależne od czasu:

• Współrzędne sferyczne:

• Równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych:

ATOM WODORU -

ROZWIĄZANIE ŚCISŁE

• Podstawiamy wyrażenie na energię potencjalną:

do równania Schrödingera i... rozwiązujemy!

• „Najprostsze” rozwiązanie: funkcja wykładnicza

a stąd:

i

(energia wiązania)

• „Promień” atomu wodoru:
, a stąd:

ATOM WODORU -

ROZWIĄZANIE ŚCISŁE - c.d.¹

• Kolejne rozwiązania:

dla:

- główna liczba kwantowa

ATOM WODORU -

ROZWIĄZANIE ŚCISŁE - c.d.²

• Ogólna postać rozwiązania równania Schrödingera:

gdzie:

i:
oraz:

liczba
związana jest z orbitalnym momentem pędu cząstki względem osi z:

Przykład:

wszystkie

mają energię:

Dla dużych
i
gęstość prawdopodobieństwa
skupiona jest na okręgu o promieniu
, którego środek leży na osi
- gęstość ta tworzy orbitę, jaką przewidział Bohr, ale w teorii kwantowej elektron jest jednorodnie „rozmyty” na całej orbicie!

ATOM WODORU -

ROZWIĄZANIE ŚCISŁE - c.d.³

• Unormowanie funkcji falowych:

(aby było to prawdopodobieństwo bezwzględne).

• Wartość oczekiwana:

Gdy funkcja falowa jest kombinacją liniową kilku unormowanych funkcji własnych, odpowiadających tej samej wartości własnej energii
:

to wartość oczekiwana energii jest równa:

Ta wartość zostałaby uzyskana po wykonaniu serii pomiarów, z których każdy byłby wykonywany na układzie opisywanym tą samą funkcją falową
.

EMISJA FOTONU

• Elektrodynamika kwantowa - nowa dziedzina fizyki, stosująca mechanizmy mechaniki kwantowej do opisu oddziaływań elektromagnetycznych.

• Emisja fotonu - naładowane cząstki mogą wysyłać lub pochłaniać pojedyncze fotony, a prawdopodobieństwo tego procesu można wyliczyć na podstawie teorii kwantowej.

• Emisja spontaniczna - według teorii kwantowej istnieje pewne prawdopodobieństwo, że cząstka samoistnie przejdzie z poziomu o wyższej energii na poziom o energii niższej, jednocześnie emitując foton.

Energia takiego emitowanego fotonu jest równa:

(różnica energii na poziomach
-tym i
-tym).

EMISJA FOTONU - c.d.

• Liczba możliwych przejść zależy od ilości poziomów energetycznych w atomie (przykład: 4 poziomy -> 6 przejść):

• Linie spektralne w widmie emisyjnym atomu - jeśli atomowi dostarczona zostanie energia (np. poprzez podgrzanie lub wyładowanie elektryczne), to atomy ze stanu podstawowego mogą zostać wzbudzone na wyższe stany energetyczne a następnie mogą one „wrócić” do stanu podstawowego z jednoczesną emisją fotonów - światło wysyłane przez atom powinno zawierać ściśle określone linie widmowe.

• We współczesnej (kwantowej) teorii cząstek elementarnych foton traktowany jest jako cząstka o orbitalnej licznie kwantowej (tzw. spinie)
równej jedności, co powoduje w trakcie emisji fotonu zmianę tej liczby kwantowej atomu (następny wykład...).

WIDMO ATOMU WODORU

• Biorąc pod uwagę wyprowadzone wzory na poziomy energetyczne w atomie wodoru:

możemy podać wzór na możliwe częstości jego linii widmowych:

• Dla
mamy do czynienia z tzw. serią Lymana - linie tej serii leżą w nadfioletowej części widma fal elektromagnetycznych.

• Dla
mamy do czynienia z serią Balmera - linie tej serii odpowiadają kolejno długościom fal:

656 nm, 486 nm, 441 nm, 433 nm, ... , 365 nm.

WIDMO ATOMU

• Gdy światło o ciągłym widmie (zawierające cały zakres promieniowania) przechodzi przez chłodny gaz (wodór), to atomy tego gazu mogą pochłonąć (zaabsorbować) te fotony, których energia odpowiada akurat energii przejścia na wyższy stan energetyczny - na spektrogramie można zaobserwować brak pewnych linii widmowych. Jest to tzw. widmo absorpcyjne.

• Proces wzbudzania atomów na wyższe poziomy energetyczne przez ich oświetlanie nazywamy pompowaniem optycznym.

• Istnieje jeszcze jedna możliwość emisji promieniowania przez atom: emisja wymuszona - gdy atom umieszczony jest w polu zewnętrznego promieniowania fotonów o energiach odpowiadających charakterystycznym dla tego atomu przejściom energetycznym, to prawdopodobieństwo wypromieniowania takiej właśnie energii przez atom się zwiększa. Foton wypromieniowany w trakcie takiej emisji będzie miał taką samą fazę i ten sam kierunek, co foton „wymuszający”.

LASER (1960)

• Załóżmy, że mamy zbiór atomów (cząsteczek), w którym większość atomów znajduje się już w stanie wzbudzonym (np. poprzez pompowanie optyczne). Atomy te znajdują się pomiędzy dwoma zwierciadłami, które wymuszają wielokrotne przejście wiązki wyemitowanych fotonów „poprzez” te atomy.

(Emisja wymuszona:) przejście fotonu o pewnej energii „obok” wzbudzonych atomów wywołuje emisję fotonu o tej samej energii (i w tym samym kierunku i o tej samej fazie!), co powoduje lawinowy (reakcja łańcuchowa!) przyrost kolejnych „jednakowych” fotonów.

Cześć fotonów jest oczywiście absorbowana a poza tym trzeba ciągle dostarczać energii atomom, które wyemitowały promieniowanie, co powoduje konieczność ciągłego „pompowania” atomów na wyższe poziomy energetyczne (np. poprzez ciepło) - inwersja obsadzeń.

Jeśli jedno z luster jest częściowo przepuszczalne, otrzymujemy wiązkę spójnego promieniowania elektromagnetycznego.

11

---