Budowa atomów

atom wodoru
atomy wieloelektronowe
zakaz Pauliego
układ okresowy pierwiastków

 

Budowa atomu wodoru

atom wodoru składa się z pojedynczego elektronu (-e)

związanego z jądrem – protonem (+e) przyciągającą siła

elektrostatyczną
rozmiary jądra – 10

-14

m

rozmiary atomu rzędu 10

-10

m

masa protonu = 1836 masy elektronu swobodnego
klasycznie energia elektronu przyjmuje dowolne wartości – w

rzeczywistości jest skwantowana
przy ruchu po orbicie elektron powinien tracić energię przez

promieniowanie i poruszając się po spirali spaść na jądro – w

rzeczywistości energia się nie zmienia

eksperyment Rutherforda

rok 1911

 

Równanie Schrodingera dla
atomu wodoru

atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału (naturalną
pułapką) dla elektronu
energia potencjalna oddziaływania elektron-jądro jest postaci

potencjał ma symetrię sferyczną
więc musimy wprowadzić
sferyczny układ współrzędnych

( )

r

e

r

U

o

πε

−

=

4

2

ϑ

=

ϕ

ϑ

=

ϕ

ϑ

=

cos

sin

sin

cos

sin

r

z

r

y

r

x

4

2

0

2

4

r[Å]

-10

-30

U[eV]

stan
podstawowy

r[Å]

 

(

)

Ψ

−

−

=

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

+

∂

Ψ

∂

U

E

m

z

y

x

2

2

2

2

2

2

2

2

h

Ψ

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

πε

+

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

∂ϕ

Ψ

∂

ϑ

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂ϑ

Ψ

∂

ϑ

∂ϑ

∂

ϑ

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

Ψ

∂

∂

∂

r

e

E

m

r

r

r

r

r

o

4

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

h

sin

sin

sin

0

4

2

1

2

2

2

2

=

Ψ

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

πε

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Ψ

r

e

E

m

dr

d

r

dr

d

r

o

h

(

)

ϕ

ϑ

Ψ

,

,

r

(

)

( ) ( ) ( )

ϕ

Φ

ϑ

Θ

=

ϕ

ϑ

Ψ

r

R

r ,

,

podstawiając tą funkcję do równania Schrodingera otrzymujemy
trzy równania z których każde opisuje zachowanie się funkcji falowej
w zależności od r,

ϑ, ϕ - równanie radialne, biegunowe i azymutalne

Rozpatrzmy najprostszy przypadek, gdy

Ψ jest tylko funkcją r

tzn. żaden kierunek w przestrzeni nie jest wyróżniony – stan s

( )

o

r

r

o

e

r

/

−

Ψ

=

Ψ

Funkcja spełniająca to równanie to:

Równanie Schrodingera dla
przypadku trójwymiarowego i
we współrzędnych sferycznych

 

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w
elemencie objętości

dr

r

dV

2

4

π

=

( )

dr

e

r

dr

r

r

dV

P

o

o

r

r

2

2

2

2

2

4

4

Ψ

π

=

π

Ψ

=

−

/

Fizyczna
interpretacja

wyrażenia na r

o

i E są identyczne jak w modelu Bohra

kwantyzacja wynikiem rozwiązania równania Schrodingera, a nie

postulatem jak u Bohra
r

o

to nie promień orbity, lecz odległość od jądra przy której

prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu jest największe
przyjęcie klasycznej orbity traci sens
dla rozpatrywanego stanu s moment pędu jest równy zeru

w ogólności moment pędu nie jest równy lecz

osiąga maksimum dla r = r

o

h

n

(

)

h

1

+

=

l

l

L

 

Dokładne rozwiązanie równania
Schrodingera

rozwiązaniem równania biegunowego jest funkcja postaci

m

l

=0, 1, 2.., l

( )

ϕ

Φ

=

ϕ

Φ

l

im

o

e

rozwiązanie równania radialnego istnieje jeśli energia elektronu
przyjmuje ściśle określone wielkości

2

2

2

2

4

1

32

n

me

n

E

o

⋅

ε

π

−

=

h

( )

r

R

l

n,

n – całkowita liczba dodatnia

rozwiązaniem równania azymutalnego są tzw. wielomiany Legendre’a

( )

(

)

( )

ϑ

=

=

ϑ

=

ϑ

Θ

cos

;

.

cos

0

1

0

0

1 P

P

np

P

l

m

l

l – całkowita liczba dodatnia

 

Orbitalny moment pędu elektronu

z rozwiązania równania kątowego wynika, że wartość L

orbitalnego momentu pędu elektronu w atomie jest

skwantowana

liczba całkowita l to orbitalna liczba kwantowa
rzut momentu pędu na wyróżniony kierunek (z) jest

również skwantowany

liczba m

l

to magnetyczna liczba kwantowa

wektora L nie można w żaden sposób zmierzyć, możemy

jedynie zmierzyć składową tego wektora wzdłuż danej osi

np. określonej przez pole magnetyczne

(

)

h

1

+

=

l

l

L

l = 0, 1, 2

h

l

z

m

L =

l

m

l

≤

m

l

=0, 1, 2.., l

 

elektron porusza się po orbicie kołowej

droga przebyta przez elektron
więc jego funkcja falowa jest postaci

z jednoznaczności funkcji falowej

otrzymujemy warunek kwantyzacji L

z

długość orbity równa całkowitej wielokrotności

λ,

fale nie wygaszają się – orbita dozwolona

= 6

h

Falowa interpretacja kwantyzacji
momentu pędu elektronu

k

r

L

z

r

p

h

=

=

ϕ

r

s =

( )

ϕ

ϕ

ikr

o

iks

o

e

e

Ψ

=

Ψ

=

Ψ

( )

(

)

π

+

ϕ

Ψ

=

ϕ

Ψ

2

)

(

π

+

ϕ

ϕ

Ψ

=

Ψ

2

ikr

o

ikr

o

e

e

1

2

=

π

ikr

e

l

m

kr =

h

l

z

m

L =

r

p

r

r

r

L

z

(

)

h

1

+

=

l

l

L

l

m

l

≤

m

l

=0, 1, 2.., l

r

m

l

π

λ

2

=

z

 

Liczby kwantowe

główna liczba kwantowa

n = 1, 2, 3,...

określa możliwe wartości energii
orbitalna (poboczna) liczba kwantowa l = 0, 1, 2,....n-1

określa momentu pędu (kształt powłoki)
magnetyczna liczba kwantowa

m

l

= -l, -l+1,..,-1, 0, 1,....,l-1,l

określa składowe momentu pędu
dla danej wartości n liczba możliwych l i m

l

, czyli

liczba niezależnych rozwiązań równania Schrodingera

odpowiadająca jednej wartości energii wynosi

(

)

2

1

0

1

2

n

l

n

l

=

+

∑

−

=

stan jest n

2

-krotnie zwyrodniały

 

Orbital atomowy

orbital atomowy to funkcja falowa

Ψ opisująca

stan elektronu w atomie zależna od trzech liczb

kwantowych: n, l, m
|

Ψ|

2

dV – określa prawdopodobieństwo znalezienia

się elektronu w elemencie objętości dV
obszar w którym występuje duże

prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu

nazywa się chmurą elektronową
każdy orbital atomowy jest związany z pewną

symetrią obszaru, w którym znajduje się elektron

orbitale: s, p, d, f, g, ....

l = 0, 1, 2, 3, 4,....

 

Orbitale s i p

orbital s (1,0,0)

orbitale p

(2,1,0)

(2,1,-1)

(2,1,1)

 

Orbitale d

(3,2,0)

(3,2,2)

(3,2,-2)

(3,2,-1)

(3,2,1)

 

Orbitalny moment magnetyczny

płaska ramka z prądem posiada moment magnetyczny

elektron krążący po orbicie kołowej też posiada tzw.
orbitalny moment pędu

elektron w atomie ma także moment pędu, zwany
orbitalnym (choć nie krąży), oraz towarzyszący mu
orbitalny moment magnetyczny

S

I

r

r

⋅

=

μ

L

m

e

p

r

m

e

l

r

r

r

r

2

2

−

=

×

−

=

μ

(

)

(

)

1

1

2

2

+

μ

−

=

+

−

=

−

=

μ

l

l

l

l

m

e

L

m

e

B

l

h

2

24

10

27

9

2

Am

m

e

B

−

×

=

=

μ

.

h

magneton Bohra – jednostka atomowego
momentu magnetycznego

 

Zjawisko Zeemana

B

m

Bm

m

e

B

U

l

B

l

l

μ

=

=

θ

μ

−

=

2

h

cos

Elektron w polu magnetycznym uzyskuje dodatkową energię
potencjalną, która jest skwantowana

pierwotny poziom energetyczny zostaje rozszczepiony na 2l+1
podpoziomów np. atom wodoru w stanie 2p (l=1) na 3 poziomy

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

×

−

=

=

×

=

−

−

1

10

27

9

0

0

1

10

27

9

24

24

l

l

l

m

J

m

m

J

U

,

,

Zjawisko Zeemana – rozszczepienie
linii widmowych w zewnętrznym
polu magnetycznym – potwierdza
skwantowanie orbitalnego momentu
pędu

2s

2p

m

l

1

0
-1

bez pola z polem

 

Doświadczenie Sterna-Gerlacha

W 1922 roku Stern i Gerlach badając wpływ niejednorodnego pola na
wiązkę atomów zaobserwowali jej rozszczepienie i parzystą liczbę
śladów na ekranie.

wiązka

elektromagnes

kolimator

detektor

położenie detektora

na

tęż

eni
e w
ią

zki

elektromagnes

włączony wyłączony

 

Spin elektronu

elektron charakteryzuje się własnym magnetycznym

momentem dipolowym, który związany jest z jego

spinowym momentem pędu (spinem)
choć słowo „spin” oznacza wirowanie

elektron w rzeczywistości nie wiruje
spin jest wewnętrzną własnością elektronu,

tak jak jego masa, czy ładunek elektryczny
wartość spinu jest skwantowana i zależy

od spinowej liczby kwantowej s = ½
rzut spinowego momentu pędu na wyróżniony

kierunek jest skwantowany

(

)

h

1

+

=

s

s

L

s

h

s

sz

m

L

=

m

s

= ½ lub m

s

= -½

Stan elektronu opisujemy za pomocą 4 liczb kwantowych n, l, m

l

, m

s

h/2

h/2

−

s s

=

+

=

1

3

h

h/2

( )

L

s

 

Atomy wieloelektronowe

Stan kwantowy n- elektronowego atomu zależy od

współrzędnych wszystkich n elektronów
Ścisłe rozwiązanie równania Schrodingera niemożliwe –

metoda przybliżona tzw. pola samouzgodnionego
Wyniki metody

„

opisanie stanu pojedynczego elektronu (orbital atomowy)

w atomie wieloelektronowym za pomocą jednoelektronowej

funkcji falowej

„

każdy orbital (funkcja jednoelektronowa ) jest określona za

pomocą zespołu liczb kwantowych n, l, m, s

„

elektrony obsadzające tą samą podpowłokę (stany o tej

samej liczbie n i l) mają tą sama energię

 

Zakaz Pauliego 1925 r

jeden orbital elektronowy (określony liczbami n,l,m)
mogą zajmować nie więcej niż dwa elektrony

n

l

m

2

0

0

1

1

0

-1

„

w danym stanie określonym czterema liczbami

kwantowymi (n, l, m, s

z

) może znajdować się nie więcej

niż jeden elektron

żadne dwa elektrony uwięzione w tej samej pułapce nie mogą

mieć jednakowych wszystkich liczb kwantowych

„

na n-tej powłoce może być N=2n

2

elektronów

„

rozmieszczenie elektronów odpowiada minimalnej energii

układu

liczbie kwantowej n=2 odpowiadają

cztery orbitale (2,0,0), (2,1,0), (2,1,-1),

(2,1,1) ⇒ 8 elektronów

Zasada Pauliego jest konsekwencją zasady nierozróznialności elektronów i

antysymetryczności funkcji falowej

 

Atom wodoru,
a atomy wieloelektronowe

wodór

H (Z = 1)

atomy wieloelektronowe

dla atomów wieloelektronowych energia zależy od liczby kwantowej l

niektóre poziomy o większej liczbie n

mają mniejszą energię

En
er

g

ia

 

Konfiguracja elektronów

notacja orbitalna

1s

2s

2p

1

H

↑

1s

1

2

He

↑↓

1s

2

3

Li

↑↓

↑

1s

2

2s

1

[He] 2s

1

6

C

↑↓

↑↓ ↑ ↑

1s

2

2s

2

2p

2

[He] 2s

2

2p

2

8

O

↑↓

↑↓ ↑↓ ↑ ↑

1s

2

2s

2

2p

4

[He] 2s

2

2p

4

lub

orbitalna liczba kwantowa

liczba elektr. na podpowłoce

główna liczba kwant.

zapis uproszczony

 

Energia jonizacji atomów

energia oderwania najsłabiej związanego elektronu

eV

n

n

me

n

E

o

2

2

2

2

2

4

1

6

13

1

32

.

−

=

ε

π

−

=

h

w atomie wodoru

w atomie He

+

(wodoropodobnym)

eV

n

Z

n

Z

E

n

E

o

2

2

2

2

6

13.

−

=

−

=

E

jon

13,6 eV

54,4 eV

24,6 eV

eV

n

Z

n

Z

E

n

E

ef

ef

o

2

2

2

2

6

13.

−

=

−

=

w atomie helu

czynnik Z

2

jest związany z różnicą ładunku jądra

czynnik Z

ef

wynika z ekranowania jądra przez drugi

elektron i odpychania się elektronów

największa

energia jonizacji

wśród

pierwiastków

 

d

l=2

f

l=3

Kolejność zapełniania powłok
elektronowych

stan

n

2

3

4

5

6

10

10

10

14

14

1

p

l=1

s

l=0

6

2

2

2

2

2

6

6

6

6

2

właściwości fizyczne i chemiczne pierwiastków
zmieniają się zgodnie z kolejnością 2,8,8,18,18,32

10

liczba elektronów

 

Tablica Mendelejewa

Dmitrij Mendelejew ( 1871 r.) - ułożenie znanych wówczas
pierwiastków chemicznych w tablicy zwanej Układem Okresowym,
wg. wzrastających liczb atomowych
pierwiastki w pionowych kolumnach (grupach układu) miały podobne
właściwości chemiczne
fizyka kwantowa systematyzuje atomy poprzez podanie ich
konfiguracji elektronowej
numer porządkowy okresu odpowiada głównej liczbie kwantowej n
czy chemiczne właściwości pierwiastków wynikają z ich konfiguracji
elektronowej?

 

Konfiguracja elektronowa, a
właściwości fizyczne atomów

wodór

H: 1s

1

hel

He: 1s

2

obojętny chemicznie, gaz szlachetny

lit

Li:1s

2

2s

1

elektron 2s słabo związany, wartościowość +1

beryl

Be:1s

2

2s

2

podobny do litu, wartościowość +2

od boru (Z=5)

B: 1s

2

2s

2

2p

1

do neonu (Z=10)

Ne:

1s

2

2s

2

2p

6

elektrony zapełniają powłokę 2p,

„

w miarę jej wypełniania wzrasta energia jonizacji atomu,

„

jądro jest ekranowane przez 1s

2

neon

Ne: 1s

2

2s

2

2p

6

ma całkowicie zapełnioną drugą

powłokę, gaz szlachetny
sód

Na: 1s

2

2s

2

2p

6

3s

1

energia jonizacji 5,1 eV,

wartościowość +1, duża aktywność chemiczna

 

Poziomy energetyczne
a konfiguracja elektronowa

dla atomu potasu (19):
stan 3d leży wyżej niż 4s

K: 1s

2

2s

2

2p

6

3s

2

3p

6

4s

1

(zamiast 3d)

dla atomu rubinu (37):
stan 4d leży wyżej niż 5s

Rb: 1s

2

.... 3p

6

3d

10

4s

2

4p

6

5s

1

(zamiast 4d)

K

Rb

 

Zakaz Pauliego, a układ okresowy

gazy szlachetne – zamknięte powłoki, momenty pędu i

magnetyczne równe zero, orbitale o symetrii sferycznej,

nie aktywne chemicznie
metale alkaliczne – jeden elektron walencyjny określa

moment pędu i magnetyczny, aktywne chemicznie
fluorowce (halogeny) – brak elektronu na ostatniej

podpowłoce, aktywne chemicznie
metale przejściowe – zapełniona ostatnia podpowłoka

ekranuje niecałkowicie zapełnione niższe podpowłoki,

podobne właściwości chemiczne, zbliżone energie

jonizacji, istotne właściwości magnetyczne
pierwiastki ziem rzadkich – lantanowce, zbliżone

właściwości chemiczne, metale aktywne chemicznie

 

Pułapki elektronowe

2

2

2

2

2mL

n

E

n

h

π

=

0

L

∞

∞

E

1

E

2

E

3

studnia
potencjału

stan podstawowy

2

2

2

2

4

1

32

n

me

n

E

o

⋅

ε

π

−

=

h

atom wodoru

E

o

kl

n

n

E

ω

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

h

2

1

oscylator harmoniczny

E

1

E

2

E

3

E

4

E

5

E

6