Przepływ cieczy

1. Opis ruchu cieczy

1. opis Lagrange'a

2. opis Eulera

2. Rodzaje przepływu cieczy

1. przepływ laminarny

2. przepływ turbulentny

3. Równanie ciągłości

4. Równanie Bernoulliego

5. Przepływ cieczy przez okrągłą rurę

1. długość odcinka stabilizacji hydrodynamicznej

2. wzór Newtona (siła lepkości)

3. prędkość warstwy płynu jako funkcja odległości od osi rury

4. definicja wydajności strumienia cieczy Q

5. wzór Poisenville'a

Opis ruchu cieczy

1. Podajemy położenie każdej cząstki cieczy w funkcji czasu - opis Lagrange'a

2. Wybieramy punkt przestrzeni, rejestrujemy prędkości, z którymi przechodzą przez dany punkt cząstki cieczy - opis Eulera

Rodzaje przepływu cieczy

1. Przepływ ma charakter warstwowy. Cząstki cieczy nie przechodzą z warstwy do warstwy.

2. Płyn miesza się (nie zachowuje charakteru warstwowego). Prędkość cząstek w danym punkcie zmienia się chaotycznie.

Kryterium podziału na ruch laminarny i turbulentny jest wielkość bezwymiarowa zwana liczbą Reynoldsa R_e.

gdzie:

ρ - gęstość cieczy

ν - średnia (w przekroju poprzecznym) prędkość

η - współczynnik lepkości

l - charakterystyczny rozmiar przekroju poprzecznego (bok kwadratu)

Dla małych R_e - przepływ laminarny. Począwszy od tzw. wartości krytycznej R_ekr - przepływ turbulentny.

Przejście przepływu laminarnego w turbulentny zachodzi, gdy R_e > R_ekr.

Wielkość R_ekr zależy od szeregu czynników: gładkości ścianek rury, sposobu wprowadzania cieczy do rury. Dla gładkich powierzchni rur R_ekr ≈ 2300.

Wprowadzamy pojęcie linii prądu:

Linią prądu nazywamy krzywą w każdym punkcie styczną do prędkości cieczy przepływającej przez ten punkt.

Linie prądu mają zwroty zgodne ze zwrotami odpowiednich wektorów prędkości.

Umówiono się, że gęstość linii prądu jest proporcjonalna do wartości prędkości w danym miejscu.

W przepływie stacjonarnym każda cząstka, która przechodzi przez dany punkt przestrzeni, ma tę samą wartość prędkości, kierunek i zwrot. Linie prądu pokrywają się z torami cząstek cieczy.

Obszar cieczy ograniczony liniami prądu nazywamy rurką cieczy (strugą).

Cząstki cieczy poruszają się wewnątrz rurki, nie przecinają jej bocznych ścianek.

Równanie ciągłości

Rozważmy strugę cieczy, wybierając dwa dowolne przekroje S₁ i S₂, przez które przepływa ciecz z prędkościami odpowiednio
i

Przez poprzeczny przekrój strugi S₁ wciągu czasu Δt przepływa masa cieczy
Δm₁ = ρ₁S₁ν₁Δt, zaś przez przekrój S₂ Δm₂ = ρ₂S₂ν₂Δt (ρ₁, ρ₂ - gęstość cieczy w pobliżu przekroju S₁ i S₂). Ponieważ ciecz nie wypływa ze strugi, anhi nie dopływa więc:

równanie ciągłości

Równanie Bernoulliego

Stacjonarny strumień cieczy nielepkiej i nieściśliwej.

P₁ - siła parcia na powierzchnię S₁; P₁ = p₁S₁

p₁ - ciśnienie na powierzchnię S₁

P₂ - siła parcia na powierzchnię S₁; P₂ = p₂S₂

p₂ - ciśnienie na powierzchnię S₂

W czasie Δt przez powierzchnię S₁ przepływa ciecz o masie m₁ = ρ₁l₁S₁, zaś przez S₂ m₂ = ρ₂l₂S_2. Z prawa ciągłości ρ₁l₁S₁ = ρ₂l₂S_2. Przyrost energii Δε warstwy cieczy o masie m₁ = m₂ = m równy jest pracy wykonanej przez siły zewnętrzne na tą warstwą cieczy.

równanie Bernoulliego

Przepływ cieczy przez okrągła rurę

Rozkład prędkości płynu w różnych przekrojach cylindrycznych rury.

Odległość miedzy przekrojami 1-1 i 5-5 nazywamy długością odcinka stabilizacji hydrodynamicznej.

W przepływie cieczy istotną rolę odgrywa siła tarcia pomiędzy warstwami cieczy zwana siłą lepkości. W laminarnym przepływie cieczy siła lepkości między dwiema sąsiednimi warstwami, poruszającymi się z prędkościami ν,
ν + dν wynosi:

wzór Newtona

gdzie:

F_η - siła lepkości

η - współczynnik lepkości

S - powierzchnia styku warstw

- szybkość zmian prędkości w kierunku prostopadłym do samej

prędkości (gradient prędkości cieczy)

Zmianie odległości od osi rury równej dr odpowiada zmiana prędkości o dν.

Rozważmy ciecz w walcu o promieniu r i długości l; p₁, p₂ - ciśnienie na powierzchnie 1, 2. Siła parcia na powierzchnię 1 wynosi: p₁π r², zaś na powierzchnię 2: p₂π r². Wypadkowa siła parcia wynosi: (p₁ - p₂) π r². Zwrot tej siły jest zgodny z ruchem cieczy.

Jednocześnie działa siła lepkości

Warunek stacjonarności ma postać:

Wartość wypadkowej siły parcia równa jest wartości siły lepkości (zwroty tych sił są przeciwne).

Prędkość maleje wraz ze wzrostem odległości od osi rury czyli:

stąd

Rozdzielamy zmienne

Całkujemy stronami

Stałą całkowania obliczamy przyjmując, że dla r = R ν = 0

stąd

podstawiając tę wartość C otrzymujemy:

lub

Wartość prędkości na osi wynosi:

Można zatem wzór zapisać

gdzie:

ν − prędkość w odległości r od osi

Przy założeniu, że przepływ jest laminarny obliczamy tzw. wydajność strumienia cieczy Q. Wartość liczbowa Q równa jest objętości cieczy, która przepływa przez przekrój poprzeczny rury w jednostce czasu.

Poprzeczny przekrój rury dzielimy na pierścienie o grubości dr. Przez pierścień o promieniu r przepływa w jednostce czasu ciecz o objętości równej iloczynowi powierzchni poprzecznego przekroju pierścienia 2πrl i prędkości przepływu w odległości r od osi rury Zatem

Wydajność strumienia cieczy Q otrzymamy całkując to wyrażenie w granicach od zera do R.

ale
stąd

wzór Poisenville'a

Wydajność strumienia Q jest wprost proporcjonalna do spadku ciśnienia na jednostkę długości
rury oraz czwartej potęgi promienia rury R. Zależy od cieczy (temperatury). Tę zależność określa współczynnik η. Q jest odwrotnie proporcjonalne do współczynnika lepkości η.

Przepływ cieczy • Fizyka 2002 - 2003

2

---